梁的平面彎曲及微分方程公式

1、210第九章第九章梁的平面彎曲梁的平面彎曲與桿的拉壓、軸的扭轉(zhuǎn)一樣，彎曲是又一種形式的基本變形。承受彎曲作用的桿，稱之為梁。本章研究梁的應(yīng)力和變形。工程中最常見的梁，可以分為三類，即簡(jiǎn)支梁、外伸梁和懸臂梁。由一端為固定鉸，另一端為滾動(dòng)鉸鏈支承的梁，稱為簡(jiǎn)支梁簡(jiǎn)支梁；若固定鉸、滾動(dòng)鉸支承位置不在梁的端點(diǎn)，則稱為外伸梁外伸梁(可以是一端外伸，也可以是二端外伸)；一端為固定端，另一端自由的梁，則稱為懸臂梁懸臂梁。分別如圖9.1(a)、(b)、

2、(c)所示。在平面力系的作用下，上述簡(jiǎn)支梁、外伸梁或懸臂梁的約束力均為三個(gè)，故約束力可以由靜力平衡方程完全確定，均為靜定梁。工程中常見的梁，其橫截面一般至少有一個(gè)對(duì)稱軸，如圖10.2(a)所示。此對(duì)稱軸與梁的軸線共同確定了梁的一個(gè)縱向?qū)ΨQ平面，如圖10.2(b)。如果梁上的載荷全部作用于此縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，則稱平面彎曲梁平面彎曲梁。平面彎曲梁變形后，梁的軸線將在此縱向?qū)ΨQ面平面內(nèi)彎曲成一條曲線，此曲線稱為平面彎曲梁的撓曲線。MqB(a)簡(jiǎn)支

3、梁AFB(b)外伸梁AFC(c)懸臂梁AFB圖9.1梁的分類212固定端A處有三個(gè)約束力，但因梁上無x方向載荷作用，故FAx=0；只有FAy、MA如圖所示。列平衡方程有：?Fy=FAy?F=0?MA(F)=MA?Fl=0得到：FAy=F；MA=Fl2）求截面內(nèi)力。在距A為x處將梁截?cái)啵∽蠖窝芯?，截面?nèi)力按正向假設(shè)，如圖9.3(b)所示。在0?xl內(nèi)，有平衡方程：?Fy=FAy?FQ=0?MC(F)=MAM?FAyx=0得到：FQ=F；

4、M=?F(l?x)注意，在x=l的右端B點(diǎn)，因?yàn)榱禾幱谄胶猓珺點(diǎn)右邊截面之內(nèi)力均為零。梁二端點(diǎn)外內(nèi)力為零，以后將不再贅述。3)畫內(nèi)力圖。在0?x?l內(nèi)，剪力FQ?F，剪力圖為水平線，如圖9.3(c)所示。彎矩M隨截面位置線性變化；當(dāng)x=0時(shí)，M=?Fl；x=l時(shí)，M=0；彎矩圖為連接此二點(diǎn)的直線，如圖9.3(d)所示。此懸臂梁在固定端A處彎矩值最大。例9.2求圖9.4所示簡(jiǎn)支梁各截面內(nèi)力并作內(nèi)力圖。解：1）求約束力。注意固定鉸A處FAx