第二章 數(shù)學史上的三次危機

1、第二章數(shù)學史上的三次危機13第二章第二章數(shù)學史上的三次危機數(shù)學史上的三次危機第一節(jié)第一節(jié)數(shù)學發(fā)展簡史數(shù)學發(fā)展簡史一、數(shù)學史的研究對象一、數(shù)學史的研究對象數(shù)學史的研究對象是數(shù)學概念、數(shù)學方法和數(shù)學思想的起源與發(fā)展，及其與社會政治、經(jīng)濟和一般文化的聯(lián)系。簡言之，數(shù)學史研究數(shù)學發(fā)展的過程及規(guī)律。二、數(shù)學發(fā)展史的四個階段二、數(shù)學發(fā)展史的四個階段1、數(shù)學形成時期、數(shù)學形成時期（公元前6世紀以前）2、常量數(shù)學時期、常量數(shù)學時期（公元前6世紀——公元

2、17世紀）常量數(shù)學時期也稱初等數(shù)學時期。3、變量數(shù)學時期、變量數(shù)學時期（公元17世紀——19世紀）變量數(shù)學時期也稱近代數(shù)學時期。第三個時期的基本結果，如解析幾何、微積分、微分方程，高等代數(shù)、概率論等已成為高等學校數(shù)學教育的主要內(nèi)容。4、現(xiàn)代數(shù)學時期、現(xiàn)代數(shù)學時期（公元19世紀70年代——）現(xiàn)代數(shù)學時期的結果，部分地成為高校數(shù)學、力學、物理學等學科數(shù)學教學的內(nèi)容，并被工作者所使用。第二節(jié)第二節(jié)數(shù)學史上的三次危機數(shù)學史上的三次危機、一、一、

3、第一次數(shù)學危機第一次數(shù)學危機無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)2畢達哥拉斯學派對數(shù)學最重要的貢獻之一是發(fā)現(xiàn)了畢達哥拉斯定理（在中國被稱為勾股定理或商高定理），即：直角三角形斜邊長度的平方等于二直角邊長度的平方和。而我國古代《周髀算經(jīng)》卷上記載西周開國時期（公元前11世紀）商高答周公問時提到“勾廣三，股修四、經(jīng)隅五”，這是勾股定量的特例。三國時期的趙爽，他在《周髀算經(jīng)注》中，作“勾股圓方圖”，其中的弦圖，相當于運用面積的“割補”方法，證明了勾股定理。畢達哥拉斯

4、學派的基本信條是“萬物皆數(shù)”（Everythingisnumber）。這樣，錯誤結論就是，任意兩條線段都是可公度的，也就是說，對任意給定的兩條線段，都可以找到第三條線段，以它為單位線段能將給定的那兩條線段劃分為整數(shù)份。反例就是：在等腰直角三角形中，兩直角邊，斜邊為，由于1??bac，那么。是一個實實在在的線段長，但它能不能表示成整2222???bac2?cc數(shù)的比呢？若它可表示為兩個整數(shù)的比，不妨設(，是互素的整數(shù))，則有???c??，

5、。即，為偶數(shù)。不妨設，于是，即??c?22222?????c???2?2224???。于是，也是偶數(shù)。222????所以，，均為偶數(shù)，這與它們互素的最初假設矛盾。??也就是說，不能表示成兩個整數(shù)的比，或者說是不可公度的。這樣就c2第二章數(shù)學史上的三次危機14出現(xiàn)了不同于“萬物皆數(shù)”結論的危機。約公元前500年發(fā)現(xiàn)之后，人們又陸續(xù)發(fā)現(xiàn)了許多其它的無理數(shù)。最終2危機的解決辦法是，無理數(shù)與數(shù)系的擴張。二、第二次數(shù)學危機二、第二次數(shù)學危機1、危

6、機的產(chǎn)生和發(fā)展牛頓（IssacNewton16421727）和萊布尼茨（GottfriedWilhelmLeibniz16461716）發(fā)明微積分。但無法給出“無窮小量”明確的解釋，這樣，微積分理論在邏輯上的明顯缺陷，這標志著第二次數(shù)學危機的產(chǎn)生。2、危機的解決19世紀70年代，“數(shù)學分析之父”維爾斯特拉斯給出了無窮小量的嚴格定義：設函數(shù)的某一去心鄰域內(nèi)有定義.對于任意給定的正數(shù)(不論它多么0)(xxf在點?小)總存在正數(shù)使得當x滿足不

7、等式時對應的函數(shù)值都?????00xx)(xf滿足不等式那么稱時的無窮小量，記作??)(xf0)(xxxf?為當.)(0)(0)(lim00xxxfxfxx????當或三、第三次數(shù)學危機三、第三次數(shù)學危機1、集合論19世紀末，集合論出現(xiàn)了。人們感覺到，集合論有可能成為整個數(shù)學的基礎。2、羅素的“集合論悖論”引發(fā)危機羅素悖論引發(fā)的危機，就稱為第三次數(shù)學危機。羅素悖論的通俗化——“理發(fā)師悖論”：某村的一個理發(fā)師宣稱，他給且只給村里自己不給自

8、己刮臉的人刮臉。問：理發(fā)師是否給自己刮臉？如果他給自己刮臉，他就屬于自己給自己刮臉的人，按宣稱的原則，理發(fā)師不應該給他自己刮臉，這與假設矛盾。如果他不給自己刮臉，他就屬于自己不給自己刮臉的人，按宣稱的原則，理發(fā)師應該給他自己刮臉，這又與假設矛盾。4危機的消除為了消除悖論，數(shù)學家們要將康托“樸素的集合論”加以公理化；并且規(guī)定構造集合的原則。悖論消除了。但是，新的系統(tǒng)的相容性尚未證明。因此，龐加萊在策梅洛的公理化集合論出來后不久，形象地評論

9、道：“為了防狼，羊群已經(jīng)用籬笆圈起來了，但卻不知道圈內(nèi)有沒有狼”。這就是說，第三次數(shù)學危機的解決，并不是完全令人滿意的。四、三次數(shù)學危機與四、三次數(shù)學危機與“無窮無窮”的聯(lián)系的聯(lián)系第一次數(shù)學危機是無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，其要害是不認識無理數(shù)，而無理數(shù)是2無限不循環(huán)小數(shù)。第二次數(shù)學危機是無窮小量的解釋，其要害是極限理論的邏輯基礎不完善，即還沒有給出極限的概念。???第三次數(shù)學危機是認為集合論是一切數(shù)學的基礎，其要害是“所有不屬于自身的集合”這樣界定