9第九講 定積分的證明問題與應用

1、1泰山學院信息科學技術學院教案數值分析教研室課程名稱高等數學研究授課對象授課題目第九講定積分的證明題與應用課時數2教學目的通過教學使學生掌握有關定積分的存在性問題與不等式的證明方法，掌握微元法、面積、體積及弧長的計算。重點難點1不定積分有關的的存在性問題的證明；2不定積分有關的的不等式的證明；3面積、體積、弧長的計算。教學提綱第九講第九講定積分的證明題與應用定積分的證明題與應用一、定積分的性質二、定積分證明題（１）存在性證明（２）積分表

2、示的不等式的證明三、定積分應用1微元法2面積（1）直角坐標情形（2）極坐標情形3體積4弧長1）y=f(x)在區(qū)間[ab]上可導，且連續(xù)，則在[ab]上的曲線可求長，且弧長)(xf?，是弧長公式。dxxfLba???)(122）參數方程（）)(tx??)(ty??????x在上連續(xù)，則??????????與????，????dtttL?????????223【證明】略例３例３:在上連續(xù)，在上二階可導，證明存在，使得)(xf][ba0)(?

3、xf)(ba??。?????babadxxfdxxfdxxf)(21)()(??例４例４:在上連續(xù)，在，，證明存在不同)(xf]0[?0)(0???dxxf0cos)(0???xdxxf的點，使得。)0(21????0)()(21????ff【證】令，，??xdttfxF0)()()()(xfxF??0)()0(???FF??????????0000)(sin|)(cos)(coscos)(dxxxFxxFxxdFxdxxf＝０???0

4、)(sindxxxF存在使得，)0(???0)(sin???F0)(0sin????F………兩次使用中值定理得證。2.積分表示的不等式的證明積分表示的不等式的證明例５例５:比較大小dtttdtttnn|ln|)]1[ln(ln???１０１０與【證明】在上，，]10[ttttttttnnnnln)]1[ln(ln)]1[ln(0)1ln(???????dtttdtttnn|ln|)]1[ln(ln????１０１０例６例６:設f(x)g(x

5、)在[0，1]上的導數連續(xù)，且f(0)=0.證明：對任何0)(??xf0)(??xga有]10[???????agafdxxgxfdxxfxg010).1()()()()()(證：證：，?)(xF??????xgxfdttgtfdttftg010)1()()()()()(則F(x)在[0，1]上的導數連續(xù)，并且，由于時，??)(xF)]1()()[()1()()()(gxgxfgxfxfxg??????]10[?x，因此，即F(x)在[