p0039-專題講座——函數(shù)中的恒成立問題

1、1數(shù)學(xué)中的恒成立問題數(shù)學(xué)中的恒成立問題1.已知函數(shù)已知函數(shù)，1ln()mxfxx???m?R（Ⅰ）求）求的極值；的極值；()fx（Ⅱ）若）若在上恒成立，求上恒成立，求的取值范圍的取值范圍ln0xax??(0)??a解：（Ⅰ）由導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則知，令，得當(dāng)2ln()mxfxx???()0fx??emx?時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞(0e)mx?()0fx??()fx(e)mx???()0fx??()fx減故當(dāng)時(shí)，有極大值，且極大值為emx?

2、()fx(e)emmf??（Ⅱ）欲使在上恒成立，只需在上恒成立，K]等價(jià)于ln0xax??(0)??lnxax?(0)??只需在上的最大值小于設(shè)（），由（Ⅰ）知，在處lnxx(0)??aln()xgxx?0x?()gxex?取得最大值所以，即的取值范圍為1e1ea?a1()e??2.已知函數(shù)已知函數(shù)()11.fxxx????（1）求函數(shù)）求函數(shù)()fx的單調(diào)區(qū)間；的單調(diào)區(qū)間；（2）是否存在正常數(shù)）是否存在正常數(shù)211201xxxx???

3、??????使不等式在恒成立？如果存在，恒成立？如果存在，求出最小正數(shù)求出最小正數(shù)?，否則請(qǐng)說明理由。，否則請(qǐng)說明理由。解：解：（1）由()11:11fxxxx???????知其定義域?yàn)?，求?dǎo)數(shù)得到11()2121fxxx?????，令，∴x=0因此()[01][10]fx?在上為減函數(shù)在上為增()0fx??函數(shù)（2）令2221111(2)4xxtt???????則x，只需2211(2)(2)224ttt???????在上恒成立當(dāng)t=2

4、時(shí)，顯然成立，當(dāng)22211(2)1422(2)24ttttt?????????時(shí)只需恒成立，又2211(2)2(22)444tt?????，4???[即?最小值為4。3.已知二次函數(shù)已知二次函數(shù)g（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)）對(duì)任意實(shí)數(shù)x都滿足都滿足????21121gxgxxx??????，且，且??11g??令令??19()ln(0)28fxgxmxmx??????R（1）求）求g(x)的表達(dá)式；的表達(dá)式；（2）設(shè)）設(shè)1em??，()()(1)

5、Hxfxmx???，證明，證明:對(duì)任意對(duì)任意x1x2??m1?，恒有，恒有3（3）試比較）222222ln2ln3ln(1)(21)232(1)nnnnn???????與的大小，(2)nNn??且，并證明你的結(jié)論。解：解：（1）1()1lnafxxx????，111()1ln()10.xxfxxxfxxx??????????當(dāng)時(shí)??()1.fx???在區(qū)間上是遞增的101()1ln()10xfxxxfxx??????????當(dāng)()(01

6、).fx?在區(qū)間上是遞減的故a=1時(shí)，()fx的增區(qū)間為[1)??，減區(qū)間為（0，1），min()(1)0.fxf??（2）若111()ln()10.xaxafxxaxfxxx???????????當(dāng)時(shí)，則()fx在區(qū)間[]a??上是遞增的；當(dāng)10()ln()10xafxaxxfxx??????????時(shí)()fx?在區(qū)間(0)a上是遞減的，若01()lnaxafxxax??????當(dāng)時(shí)11()11()01()0xfxxfxaxfxxx?

7、???????????，則()fx在區(qū)間[1)??上是遞增的，()fx在區(qū)間[1)a上是遞減的；當(dāng)10()ln()10xafxaxxfxx??????????時(shí)()fx在區(qū)間（0，a）上是遞減的，而()fx在xa?處連續(xù)；則()fx在區(qū)間[1)??上是遞增的，在區(qū)間（0，1）上是遞減的，綜上：當(dāng)1()afx?時(shí)的遞增區(qū)間是[)a??，遞減區(qū)間是（0，a）；當(dāng)01a??時(shí)，()fx的遞增區(qū)間是[1)??，遞減區(qū)間是（0，1）（3）由（1）

8、可知，當(dāng)1a?，1x?時(shí)，有1ln0xx???，即ln11xxx??222222ln2ln3ln23nn?????22211111123n????????2221111()23nn???????1111()2334(1)nnn??????????1111111()23341nnn???????????11(1)(21)1()212(1)nnnnn?????????6.設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)2()ln(1)fxxbx???（1）若對(duì)于定義域的任意）