可交換矩陣的幾個(gè)充要條件及其性質(zhì)

1、可交換矩陣的幾個(gè)充要條件及其性質(zhì)在高等代數(shù)中矩陣是一個(gè)重要的內(nèi)容.由矩陣的理論可知矩陣的乘法不同于數(shù)的乘法矩陣的乘法不滿足交換律即當(dāng)矩有意義時(shí)矩陣未必有意義即使都ABBAABBA有意義時(shí)它們也不一定相等.但是當(dāng)滿足一定條件是就有此時(shí)也稱與ABBAAB?A是可交換的可交換矩陣有許多良好的性質(zhì)本文主要研究矩陣可交換的幾個(gè)條件及其B常見(jiàn)的性質(zhì).本文矩陣均指n階實(shí)方陣.1矩陣可交換成立的幾個(gè)充分條件定理1.1(1)設(shè)至少有一個(gè)為零矩陣則可交換A

2、BAB(2)設(shè)至少有一個(gè)為單位矩陣則可交換ABAB(3)設(shè)至少有一個(gè)為數(shù)量矩陣則可交換ABAB(4)設(shè)均為對(duì)角矩陣則可交換ABAB(5)設(shè)均為準(zhǔn)對(duì)角矩陣則可交換ABAB(6)設(shè)是的伴隨矩陣則與可交換AAAA(7)設(shè)可逆則與可交換AA1?A(8)設(shè)則可交換.EAB?AB證(1)對(duì)任意矩陣均有表示零距陣所以至少有一個(gè)為零矩陣AOAAO?OAB時(shí)可交換AB(2)對(duì)任意矩陣均有表示單位矩陣，所以至少有一個(gè)為單位矩AEAAE?EAB陣時(shí)可交換AB

3、(3)對(duì)任意矩陣均有k為任意實(shí)數(shù)則為數(shù)量矩陣所以AAkEkEA)()(?)(kEA至少有一個(gè)為數(shù)量矩陣時(shí)可交換BAB(4)(5)顯然成立(6)所以矩陣與其伴隨矩陣可交換AAEAAA??A(7)所以矩陣與其逆矩陣可交換AAEAA11????A(8)當(dāng)時(shí)均可逆且互為逆矩陣所以根據(jù)(7)可知可交換.EAB?ABAB定理1.2(1)設(shè)其中為非零實(shí)數(shù)則可交換BAAB??????AB(2)設(shè)其中為正整數(shù)為非零實(shí)數(shù)則可交換.EABAm???m?AB(

4、4).2222)(BABABA????證(1)因?yàn)閮蛇呁瑫r(shí)取伴隨矩陣可得)?)(BAAB?BAAB?因?yàn)閮蛇呁瑫r(shí)取伴隨矩陣可得)?BAAB?)(BAAB?(2)因?yàn)閮蛇吶∞D(zhuǎn)置可得)?)(BAAB?BAAB?因?yàn)閮蛇吶∞D(zhuǎn)置可得)?BAAB?)(BAAB?(3)因?yàn)??22))((BBAABABABA??????))((22BABABA????所以BAAB?同理由可證22))((BBAABABABA??????BAAB?因?yàn)榍??BAAB?

5、22))((BBAABABABA??????所以))((22BABABA????同理由可證22))((BBAABABABA??????))((22BABABA????(4)因?yàn)橛钟蓷l件知所以)?222)(BBAABABA?????2222)(BABABA????BAAB?因?yàn)樗??BAAB?222)(BBAABABA?????2222)(BABABA????定理2.2可逆矩陣可交換的充要條件是.AB111)(????BAAB證因?yàn)閮蛇?/p>

6、取逆可得)?111)(????BAABBAAB?因?yàn)閮蛇吶∧婵傻??BAAB?111)(????BAAB定理2.3(1)設(shè)均為(反)對(duì)稱矩陣則可交換的充要條件是為對(duì)稱矩陣ABABAB(2)設(shè)有一個(gè)為對(duì)稱矩陣另一個(gè)為反對(duì)稱矩陣則可交換的充要條件是ABAB為反對(duì)稱矩陣.AB證(1)設(shè)均為對(duì)稱矩陣由定理2.1(2)因此為對(duì)稱矩陣ABABBAAB??)(AB若均為反對(duì)稱矩陣則因此也為對(duì)稱矩陣.ABABBABAAB?????))(()(AB(2)