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1、1抽象函數(shù)常見(jiàn)題型解法綜述抽象函數(shù)常見(jiàn)題型解法綜述抽象函數(shù)是指沒(méi)有給出函數(shù)的具體解析式,只給出了一些體現(xiàn)函數(shù)特征的式子的一類函數(shù)。由于抽象函數(shù)表現(xiàn)形式的抽象性,使得這類問(wèn)題成為函數(shù)內(nèi)容的難點(diǎn)之一。本文就抽象函數(shù)常見(jiàn)題型及解法評(píng)析如下:一、定義域問(wèn)題一、定義域問(wèn)題例1.已知函數(shù)的定義域是[1,2],求f(x)的定義域。)(2xf解:解:的定義域是[1,2],是指,所以中的滿足)(2xf21??x)(2xf2x412??x從而函數(shù)f(x)的
2、定義域是[1,4]評(píng)析:評(píng)析:一般地,已知函數(shù)的定義域是A,求f(x)的定義域問(wèn)題,相當(dāng)于已知中x的取值范))((xf?))((xf?圍為A,據(jù)此求的值域問(wèn)題。)(x?例2.已知函數(shù)的定義域是,求函數(shù)的定義域。)(xf]21[,?)]3([log21xf?解:解:的定義域是,意思是凡被f作用的對(duì)象都在中,)(xf]21[,?]21[,?由此可得4111)21(3)21(2)3(log11221????????????xxx所以函數(shù)的定義
3、域是)]3([log21xf?]4111[,評(píng)析:評(píng)析:這類問(wèn)題的一般形式是:已知函數(shù)f(x)的定義域是A,求函數(shù)的定義域。正確理解函數(shù)符號(hào)))((xf?及其定義域的含義是求解此類問(wèn)題的關(guān)鍵。這類問(wèn)題實(shí)質(zhì)上相當(dāng)于已知的值域B,且,據(jù)此求x的取)(x?AB?值范圍。例2和例1形式上正相反。二、求值問(wèn)題二、求值問(wèn)題例3.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)f(x),同時(shí)滿足下列條件:①;②?R51)6(1)2(??ff,,求f(3),f(9)的值。)()()
4、(yfxfyxf???解:解:取,得32??yx,)3()2()6(fff??因?yàn)?,所以又取,?1)6(1)2(??ff,54)3(??f3??yx58)3()3()9(????fff評(píng)析:通過(guò)觀察已知與未知的聯(lián)系,巧妙地賦值,取,這樣便把已知條件與32??yx,51)6(1)2(??ff,欲求的f(3)溝通了起來(lái)。賦值法是解此類問(wèn)題的常用技巧。3解:設(shè)=,則()fx2axbxc??22(1)(1)(1)(1)(1)(1)fxfxax
5、bxcaxbxc?????????????=比較系數(shù)得∴22222()24axbxacxx??????2()4132112222acaabcb?????????????213()22fxxx???4.利用函數(shù)性質(zhì)法:主要利用函數(shù)的奇偶性求分段函數(shù)的解析式.例4.已知=為奇函數(shù)當(dāng)0時(shí)求y()fxx()lg(1)fxx??()fx解:∵為奇函數(shù),∴的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故先求0∴()fx()fxxx()lg(1)lg(1)fxxx?????
6、?∵為奇函數(shù),∴∴當(dāng)0時(shí)∴()fxlg(1)()()xfxfx?????x()lg(1)fxx???lg(1)0()lg(1)0xxfxxx?????????例5一已知為偶函數(shù),為奇函數(shù),且有,求.()fx()gx()fx1()1gxx??()fx()gx解:∵為偶函數(shù),為奇函數(shù),∴()fx()gx()()fxfx??()()gxgx???不妨用代換=………①中的x()fx()gx11x?x∴即-……②1()()1fxgxx??????
7、()fx1()1gxx???顯見(jiàn)①②即可消去求出函數(shù)再代入①求出()gx21()1fxx??2()1xgxx??五、單調(diào)性問(wèn)題五、單調(diào)性問(wèn)題例6.設(shè)f(x)定義于實(shí)數(shù)集上,當(dāng)時(shí),,且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x、y,有,0?x1)(?xf)()()(yfxfyxf???求證:在R上為增函數(shù)。)(xf證明:證明:在中取,得)()()(yfxfyxf??0??yx2)]0([)0(ff?若,令,則,與矛盾,所以,即有0)0(?f00??yx,0)(?xf
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