高一數(shù)學(xué)抽象函數(shù)常見題型解法綜述

1、1抽象函數(shù)常見題型解法綜述抽象函數(shù)常見題型解法綜述抽象函數(shù)是指沒有給出函數(shù)的具體解析式，只給出了一些體現(xiàn)函數(shù)特征的式子的一類函數(shù)。由于抽象函數(shù)表現(xiàn)形式的抽象性，使得這類問題成為函數(shù)內(nèi)容的難點之一。本文就抽象函數(shù)常見題型及解法評析如下：一、定義域問題一、定義域問題例1.已知函數(shù)的定義域是［1，2］，求f（x）的定義域。)(2xf解：解：的定義域是［1，2］，是指，所以中的滿足)(2xf21??x)(2xf2x412??x從而函數(shù)f（x）的

2、定義域是［1，4］評析：評析：一般地，已知函數(shù)的定義域是A，求f（x）的定義域問題，相當(dāng)于已知中x的取值范))((xf?))((xf?圍為A，據(jù)此求的值域問題。)(x?例2.已知函數(shù)的定義域是，求函數(shù)的定義域。)(xf]21[，?)]3([log21xf?解：解：的定義域是，意思是凡被f作用的對象都在中，)(xf]21[，?]21[，?由此可得4111)21(3)21(2)3(log11221????????????xxx所以函數(shù)的定義

3、域是)]3([log21xf?]4111[，評析：評析：這類問題的一般形式是：已知函數(shù)f（x）的定義域是A，求函數(shù)的定義域。正確理解函數(shù)符號))((xf?及其定義域的含義是求解此類問題的關(guān)鍵。這類問題實質(zhì)上相當(dāng)于已知的值域B，且，據(jù)此求x的取)(x?AB?值范圍。例2和例1形式上正相反。二、求值問題二、求值問題例3.已知定義域為的函數(shù)f（x），同時滿足下列條件：①；②?R51)6(1)2(??ff，，求f（3），f（9）的值。)()()

4、(yfxfyxf???解：解：取，得32??yx，)3()2()6(fff??因為，所以又取，得51)6(1)2(??ff，54)3(??f3??yx58)3()3()9(????fff評析：通過觀察已知與未知的聯(lián)系，巧妙地賦值，取，這樣便把已知條件與32??yx，51)6(1)2(??ff，欲求的f（3）溝通了起來。賦值法是解此類問題的常用技巧。3解:設(shè)=，則()fx2axbxc??22(1)(1)(1)(1)(1)(1)fxfxax

5、bxcaxbxc?????????????=比較系數(shù)得∴22222()24axbxacxx??????2()4132112222acaabcb?????????????213()22fxxx???4.利用函數(shù)性質(zhì)法:主要利用函數(shù)的奇偶性求分段函數(shù)的解析式.例4.已知=為奇函數(shù)當(dāng)0時求y()fxx()lg(1)fxx??()fx解:∵為奇函數(shù)，∴的定義域關(guān)于原點對稱，故先求0∴()fx()fxxx()lg(1)lg(1)fxxx?????

6、?∵為奇函數(shù)，∴∴當(dāng)0時∴()fxlg(1)()()xfxfx?????x()lg(1)fxx???lg(1)0()lg(1)0xxfxxx?????????例5一已知為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且有，求.()fx()gx()fx1()1gxx??()fx()gx解：∵為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，∴()fx()gx()()fxfx??()()gxgx???不妨用代換=………①中的x()fx()gx11x?x∴即－……②1()()1fxgxx??????

7、()fx1()1gxx???顯見①②即可消去求出函數(shù)再代入①求出()gx21()1fxx??2()1xgxx??五、單調(diào)性問題五、單調(diào)性問題例6.設(shè)f（x）定義于實數(shù)集上，當(dāng)時，，且對于任意實數(shù)x、y，有，0?x1)(?xf)()()(yfxfyxf???求證：在R上為增函數(shù)。)(xf證明：證明：在中取，得)()()(yfxfyxf??0??yx2)]0([)0(ff?若，令，則，與矛盾，所以，即有0)0(?f00??yx，0)(?xf