利用導數討論函數性質

1、Page1of6第二章一元微分學第六節(jié)利用導數討論函數性質本節(jié)內容包括：利用導數討論函數的單調性、求函數極值和極值點、最值和最值點及其應用，利用導數討論函數圖形的凹凸性、求曲線的拐點，求曲線切線、法線、漸近線及函數作圖等。這部分內容很重要，事實上前面幾節(jié)的知識都用到了本節(jié)的內容。在高等數學的各種考試中本節(jié)的知識都是重要部分，同學們一定要很熟練。但由于這部分內容一般不要求很高的技巧（要求熟練、準確及對概念的清楚），所以只簡單地舉幾個例子。

2、最后舉二個例子介紹相關變化率的問題。例1設二階可導，若曲線的一個拐點為，)(xf)0()4(?????yydxdy)(xfy?)3(0x則_______??分析：由題設知并且，而3|0??xxy0|022??xxdxyddxdyyydydyydxddxyd?????])4[(])4[(22??＝))1(4()4()4(])4([121yyyyyyyy??????????????????由，得0||322220????yxxdxyddxy

3、d3??注：本題的解決無需技巧，關鍵是清楚拐點的概念及復合函數求導例２：求曲線的漸近線????????1lnlnttyttx解：先看是否有水平漸近線：易見時，所以有，故有水平???t1????yx1lim????yx漸近線；1?y再看是否有鉛直漸近線：易見時，所以有，故有鉛直漸近0??t???yx0???yx0lim線；0?x再看是否有斜漸近線：易見，故無斜漸近線0lim????xyx例３求橢圓在第一象限中的切線，使它被兩坐標軸所截的線

4、段最短12222??byax解法一：橢圓的參數方程為，設切點為，??sincosbyax??)20()sincos(??????baPage3of6??????yybxaxf343422)(32322234340)(22byaxyaxbybxa??????又滿足yx12222??byax聯立以上兩個方程得：babbybaaax????從而知在有唯一駐點，由本問題的實際背景我們可以判斷在)(xf)0(abaaax??)(xf內取得最小值，

5、因此時取得最小值此時切點坐標為)0(abaaax??)(xfbabbybaaax????所求的切線方程1)()(????babybaax注：利用高等數學知識解決實際問題（即所謂的應用題）幾乎是必考的其中用微分學（一元或多元微分學）知識解決實際應用中的最大值或最小值問題是其中很重要的一部分解決這種問題的關鍵是：根據實際背景和問題的要求選好自變量并求出目標函數同時確定該目標函數的定義域（一般情況下是一個區(qū)間，可以是開的、閉的或半開半閉，也可

6、是有限的、無限II的）求出目標函數在內的駐點，如果駐點是唯一的，那么可用下面兩種方式說明該駐點就是所求I的最大值點或最小值點：（１）根據實際問題的背景，可以判定目標函數在區(qū)間內部取得最I大值（或最小值），且在內的駐點又是唯一的，則該駐點就是最大值點（最小值點）（２）I若目標函數在區(qū)間內只有唯一駐點，又通過一階導或二階導可以判定該駐點為極大值點（或I極小值點），則該駐點就是最大值點（最小值點）另外要注意：選擇不同的自變量，目標函數的表達式

7、會不一樣，計算量及復雜性可能有很大差別，因此選擇合適的自變量有時是很關鍵的有的問題既可用一元微分學去解決，也用二元微分學去解決，就看哪個更簡便事實上例３用二元微分學知識去解可能更方便，實際就是求目函數在約束條件下的最小值問題，可用拉格)00()(2424byaxybxayxf??????12222??byax朗日乘數法去解決例4一長度為的梯子鉛直地靠在鉛直的墻上，其下端沿地板以的速度離開墻角而m5sm3滑動，（１）當其下端離開墻角時，梯