利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)性質(zhì)

1、Page1of6第二章一元微分學(xué)第六節(jié)利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)性質(zhì)本節(jié)內(nèi)容包括：利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)極值和極值點(diǎn)、最值和最值點(diǎn)及其應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)圖形的凹凸性、求曲線的拐點(diǎn)，求曲線切線、法線、漸近線及函數(shù)作圖等。這部分內(nèi)容很重要，事實(shí)上前面幾節(jié)的知識(shí)都用到了本節(jié)的內(nèi)容。在高等數(shù)學(xué)的各種考試中本節(jié)的知識(shí)都是重要部分，同學(xué)們一定要很熟練。但由于這部分內(nèi)容一般不要求很高的技巧（要求熟練、準(zhǔn)確及對(duì)概念的清楚），所以只簡(jiǎn)單地舉幾個(gè)例子。

2、最后舉二個(gè)例子介紹相關(guān)變化率的問(wèn)題。例1設(shè)二階可導(dǎo)，若曲線的一個(gè)拐點(diǎn)為，)(xf)0()4(?????yydxdy)(xfy?)3(0x則_______??分析：由題設(shè)知并且，而3|0??xxy0|022??xxdxyddxdyyydydyydxddxyd?????])4[(])4[(22??＝))1(4()4()4(])4([121yyyyyyyy??????????????????由，得0||322220????yxxdxyddxy

3、d3??注：本題的解決無(wú)需技巧，關(guān)鍵是清楚拐點(diǎn)的概念及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)例２：求曲線的漸近線????????1lnlnttyttx解：先看是否有水平漸近線：易見(jiàn)時(shí)，所以有，故有水平???t1????yx1lim????yx漸近線；1?y再看是否有鉛直漸近線：易見(jiàn)時(shí)，所以有，故有鉛直漸近0??t???yx0???yx0lim線；0?x再看是否有斜漸近線：易見(jiàn)，故無(wú)斜漸近線0lim????xyx例３求橢圓在第一象限中的切線，使它被兩坐標(biāo)軸所截的線

4、段最短12222??byax解法一：橢圓的參數(shù)方程為，設(shè)切點(diǎn)為，??sincosbyax??)20()sincos(??????baPage3of6??????yybxaxf343422)(32322234340)(22byaxyaxbybxa??????又滿(mǎn)足yx12222??byax聯(lián)立以上兩個(gè)方程得：babbybaaax????從而知在有唯一駐點(diǎn)，由本問(wèn)題的實(shí)際背景我們可以判斷在)(xf)0(abaaax??)(xf內(nèi)取得最小值，

5、因此時(shí)取得最小值此時(shí)切點(diǎn)坐標(biāo)為)0(abaaax??)(xfbabbybaaax????所求的切線方程1)()(????babybaax注：利用高等數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題（即所謂的應(yīng)用題）幾乎是必考的其中用微分學(xué)（一元或多元微分學(xué)）知識(shí)解決實(shí)際應(yīng)用中的最大值或最小值問(wèn)題是其中很重要的一部分解決這種問(wèn)題的關(guān)鍵是：根據(jù)實(shí)際背景和問(wèn)題的要求選好自變量并求出目標(biāo)函數(shù)同時(shí)確定該目標(biāo)函數(shù)的定義域（一般情況下是一個(gè)區(qū)間，可以是開(kāi)的、閉的或半開(kāi)半閉，也可

6、是有限的、無(wú)限II的）求出目標(biāo)函數(shù)在內(nèi)的駐點(diǎn)，如果駐點(diǎn)是唯一的，那么可用下面兩種方式說(shuō)明該駐點(diǎn)就是所求I的最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn)：（１）根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的背景，可以判定目標(biāo)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)部取得最I(lǐng)大值（或最小值），且在內(nèi)的駐點(diǎn)又是唯一的，則該駐點(diǎn)就是最大值點(diǎn)（最小值點(diǎn)）（２）I若目標(biāo)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有唯一駐點(diǎn)，又通過(guò)一階導(dǎo)或二階導(dǎo)可以判定該駐點(diǎn)為極大值點(diǎn)（或I極小值點(diǎn)），則該駐點(diǎn)就是最大值點(diǎn)（最小值點(diǎn)）另外要注意：選擇不同的自變量，目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式

7、會(huì)不一樣，計(jì)算量及復(fù)雜性可能有很大差別，因此選擇合適的自變量有時(shí)是很關(guān)鍵的有的問(wèn)題既可用一元微分學(xué)去解決，也用二元微分學(xué)去解決，就看哪個(gè)更簡(jiǎn)便事實(shí)上例３用二元微分學(xué)知識(shí)去解可能更方便，實(shí)際就是求目函數(shù)在約束條件下的最小值問(wèn)題，可用拉格)00()(2424byaxybxayxf??????12222??byax朗日乘數(shù)法去解決例4一長(zhǎng)度為的梯子鉛直地靠在鉛直的墻上，其下端沿地板以的速度離開(kāi)墻角而m5sm3滑動(dòng)，（１）當(dāng)其下端離開(kāi)墻角時(shí)，梯