凸函數(shù)性質(zhì)的討論【畢業(yè)論文】

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p><b>　　凸函數(shù)性質(zhì)的討論</b></p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專業(yè)班級

2、 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號 </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘要：在本文中，我們首先介紹了凸集、

3、凸函數(shù)的定義等；接著我們又給出了凸函數(shù)的一些基本性質(zhì)及其判定方法；最后，我們研究了凸函數(shù)的不等式在不等式證明中的應(yīng)用。</p><p>　　關(guān)鍵詞：凸集；凸函數(shù)；凸性；不等式</p><p>　　The discussion of properties of convex function</p><p>　　Abstract:In this paper, we f

4、irstly introduce convex set, convex function is defined,etc.And then we also give some basic properties of convex function and its determinant methods.Finally, we study the applications of Jensen inequality of convex fun

5、ction in proving inequalities.</p><p>　　Key words:convex set;convex function;convexity;Jensen inequality</p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　1序言1</b></p>

6、<p>　　1.1 論文選題的背景、意義1</p><p>　　1.2 相關(guān)研究的成果及動態(tài)1</p><p><b>　　2 凸集2</b></p><p>　　2.1 凸集的基本概念2</p><p>　　2.1.1 凸集與凸組合2</p><p>　　2.1

7、.2 代數(shù)運算5</p><p>　　2.1.3 凸錐6</p><p>　　2.2 凸集上的投影7</p><p>　　2.3 凸集的分離定理10</p><p><b>　　3 凸函數(shù)12</b></p><p>　　3.1 凸函數(shù)的定義12</p>&l

8、t;p>　　3.2 凸函數(shù)的性質(zhì)13</p><p>　　3.3 凸函數(shù)的判定定理22</p><p>　　3.4 凸函數(shù)的應(yīng)用27</p><p>　　4 凸函數(shù)的次微分和共軛函數(shù)33</p><p>　　4.1 凸函數(shù)的次微分33</p><p>　　4.2 共軛函數(shù)35</p&

9、gt;<p><b>　　總結(jié)37</b></p><p>　　致謝錯誤!未定義書簽。</p><p><b>　　參考文獻38</b></p><p><b>　　1序言</b></p><p>　　1.1 論文選題的背景、意義</p>&

10、lt;p>　　凸函數(shù)是凸分析的重要研究對象，包括凸函數(shù)的基本性質(zhì)、運算、連續(xù)性等。而凸分析和非光滑分析是20世紀60年代至80年代相繼發(fā)展形成的現(xiàn)代數(shù)學(xué)分支。作為描述和解決非光滑問題的有力工具，它們在非線性最優(yōu)化、多目標決策、最優(yōu)控制、對策論、變分學(xué)、逼近理論以及數(shù)理經(jīng)濟等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。事實上凸分析主要研究的凸函數(shù)（凸泛函）在通常意義下是非光滑的，因此從這一意義上說，凸分析也是非光滑分析的組成部分和重要基礎(chǔ)，而非光滑分析則

11、是凸分析研究的延伸和發(fā)展。</p><p>　　1.2 相關(guān)研究的成果及動態(tài)</p><p>　　凸函數(shù)的研究結(jié)果已在許多領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用，例如在不等式、泛函分析、最優(yōu)化理論、運籌學(xué)、控制論及數(shù)理經(jīng)濟等領(lǐng)域?？梢哉f，凸函數(shù)是一類非常重要的函數(shù)，在不等式的研究中尤為重要，而不等式的研究最終歸結(jié)為研究函數(shù)的性質(zhì)，所以研究凸函數(shù)的性質(zhì)就顯得十分必要了。常用的凸函數(shù)有兩種，一種叫上凸函數(shù)，即曲

12、線位于每一點切線的下方或曲線上任意兩點間的弧段總在這兩點連線上方的函數(shù)；另一種叫下凸函數(shù)，即曲線位于每一點切線的上方或曲線上任意兩點間的弧段總在這兩點連線下方的函數(shù)。有關(guān)凸函數(shù)的研究理論十分豐富，許多未知的領(lǐng)域正等待著我們?nèi)ヌ剿鳌?</p><p><b>　　2 凸集</b></p><p>　　2.1 凸集的基本概念</p><p>　

13、　2.1.1 凸集與凸組合</p><p>　　定義2.1.1 設(shè)，如果對任意，有，則稱為凸集。</p><p>　　由定義可以看出，所謂凸集就是這樣的集合，它的任意兩點的連線都在集合中，可以說凸集具有明顯的幾何意義。</p><p>　　定理2.1.1 設(shè)是任意指標集，是凸集，則的交是中的凸集。</p><p>　　證明 若為空集或

14、單點集，結(jié)論顯然成立。假設(shè)，則。由于是凸集，則對于，有</p><p><b>　　，</b></p><p>　　故 ，</p><p>　　所以是凸集，定理得證。</p><p>　　定義2.1.2 設(shè)，則點稱為的一個凸組合。</p><p&

15、gt;　　凸組合是凸分析中的一個重要概念，它與凸集有密切聯(lián)系。定義2.1.1意味著凸集就是“其中任意兩點的凸組合仍屬于它本身的集合”。而實際上，我們也可以通過任意有限點的凸組合來定義凸集，下面的定理就刻畫了這樣一個事實。</p><p>　　定理2.1.2 是凸集的充要條件是中所有元素的凸組合還在中。</p><p>　　證明 設(shè)是凸集，，我們將證明的凸組合屬于。對用數(shù)學(xué)歸納法。當(dāng)時，

16、結(jié)論顯然成立；當(dāng)時，由凸集的定義，結(jié)論也成立。設(shè)結(jié)論在時成立，要證明對于滿足</p><p><b>　　，</b></p><p>　　如果 ，</p><p>　　則 .</p><p>　　不失一般

17、性，假設(shè)，這時，</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　根據(jù)歸納法假設(shè)</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　這是因為 </p><p><

18、b>　　，</b></p><p>　　上式為的凸組合，再由凸集的定義，有</p><p><b>　　.</b></p><p>　　另一方面，設(shè)集合中元素的所有凸組合都在自身中，則的任意兩個元素的凸組合也在中，于是是凸集，定理得證。</p><p>　　定義2.1.3 中集合的凸包是由中的一切凸組

19、合形成的集合，記為，換言之，當(dāng)且僅當(dāng)可表示為，其中，為一正整數(shù)。</p><p>　　很容易驗證，的凸包是包含的最小凸集。事實上，不難驗證它是包含的所有凸集的交集。凸包也是一個給定非凸集合進行凸化的手段。</p><p>　　中有限點集，其中的凸包由形如的向量構(gòu)成，其中，且有，亦可表示為</p><p><b>　　，</b></p>

20、;<p>　　它是空間中的一個凸多面體。</p><p>　　由定義2.1.3知，凸包是由的所有有限多個點的凸組合構(gòu)成的集合，但定義2.1.3沒有對構(gòu)成這個凸組合所需的點數(shù)給出任何限制，實際上，對于維空間中的集合，只需至多個點的組合就可以表示中的點，下面的定理就揭示了這樣的事實。</p><p>　　定理2.1.3（定理） 設(shè)，則的凸包中的任意一點可以表示成中至多個點的凸組

21、合，即對任意，存在常數(shù)以及，滿足，使得</p><p>　　. （2.1.1）</p><p>　　證明 根據(jù)定理2.1.2，只要證明即可。反證法，如果，則式（2.1.1）右邊的非零項可以減少。不妨假設(shè)</p><p><b>　　.</b></p><p>　　取維向

22、量，因為向量的個數(shù)，因此線性相關(guān)，故存在不全為零的常數(shù)，使得</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　于是有</b></p><p>　　. （2.1.2）</p><p>　　由

23、 </p><p>　　可知，中一定存在正數(shù)，記</p><p><b>　　，</b></p><p>　　于是存在一個，使得，</p><p><b>　　進而有</b></p><p>　　， （2.1.3）</p&g

24、t;<p>　　特別地，.由式（2.1.2）得</p><p><b>　　，</b></p><p>　　， （2.1.4）</p><p>　　這說明，還可以表示為式（2.1.1）的形式，但卻減少了一項（在式（2.1.4）中），定理得證。</p><p>　

25、　2.1.2 代數(shù)運算</p><p>　　在非光滑分析中，通常的集合加法和數(shù)乘運算按如下法則，通常也稱為加法和數(shù)乘。</p><p>　　定義2.1.4 設(shè)，則稱為集合和的數(shù)乘；</p><p><b>　　稱為和的和。</b></p><p><b>　　下述結(jié)論顯然成立。</b></

26、p><p>　　命題2.1.1 設(shè)為凸集，，則和也為凸集。</p><p>　　定理2.1.4 設(shè)為中凸集，，則有</p><p>　　. （2.1.5）</p><p>　　證明 當(dāng)時，式（2.1.5）顯然成立。設(shè)，容易驗證，即使集合不是凸集，下述性質(zhì)也成立：</p><p

27、>　　. （2.1.6）</p><p><b>　　對于凸集，容易驗證</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　其中，于是有</b></p><p><b>　　，</b&

28、gt;</p><p><b>　　上式兩邊乘以得</b></p><p>　　， （2.1.7）</p><p>　　聯(lián)立式（2.1.6）和式（2.1.7）得式（2.1.5），定理得證。</p><p><b>　　2.1.3 凸錐</b><

29、/p><p>　　在凸集中，一個比較重要的特殊情形是凸錐。凸錐是非光滑分析和優(yōu)化中研究的重要對象之一。</p><p>　　定義2.1.5 設(shè)為中的集合，，且對任意，有，則稱是以為頂點的錐。特別當(dāng)為凸集時，稱為凸錐。</p><p>　　在最優(yōu)化研究中，人們最關(guān)心的是以為頂點的錐，以后除特別聲明，所提到的錐均指以為頂點的錐。易見，是錐的充要條件是對任意，有。</

30、p><p>　　定理2.1.5 是凸錐的充分必要條件是它對加法和正數(shù)乘法封閉。</p><p>　　證明 設(shè)是凸集，由于是錐，它對正數(shù)乘法是封閉的，又是凸集，則對任意，有</p><p><b>　　，</b></p><p>　　所以，即關(guān)于加法封閉。</p><p>　　設(shè)對加法和正數(shù)乘法封閉

31、。由于對正數(shù)乘法封閉，所以是錐，故對任意</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　有</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　而由對加法封閉性，得，所以是凸集，進而是凸錐，定理得證。</p><p>

32、;　　由定理2.1.5易得下面的推論:</p><p>　　推論2.1.1 是凸錐的充分必要條件是包含它的元素的全部正線性組合，即對任意，有</p><p><b>　　.</b></p><p>　　定義2.1.6 設(shè)是凸錐，它的極錐定義如下：</p><p><b>　　.</b></

33、p><p>　　從極錐的定義不難看出，是閉凸錐。不難驗證：如果是一個子空間，則是它的正交補；如果，則；錐與它的極錐交非空，即.</p><p>　　2.2 凸集上的投影</p><p>　　本節(jié)討論點到凸集的投影，它在平衡問題以及變分不等式問題中有許多重要應(yīng)用。</p><p>　　給定非空閉集和固定的，考慮下述問題：</p>&

34、lt;p>　　， （2.2.1）</p><p>　　它是尋找到集合中的最近點，即投影。固定，定義下述函數(shù)：</p><p>　　， （2.2.2） </p><p><b>　　給定，考慮水平集</b></p><p>

35、;<b>　　.</b></p><p>　　顯然，問題（2.2.1）與問題等價。由于函數(shù)連續(xù)且非負，則為緊集，于是點到集合的最近點，即投影是存在的。這樣式（2.2.1）中的下確界可用極小值來代替。</p><p>　　事實上，投影的存在性并不需要集合的凸性來保證，但是凸性卻可以保證它的唯一性。假設(shè)和都是問題（2.2.1）的解，令，記，利用關(guān)系式</p>

36、<p><b>　　，</b></p><p><b>　　得</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　由和均為（2.2.1）的解和，則有，這就說明了凸集投影的唯一性。</p><p>　　記為點到集合上的投影，我們有下述定理。</

37、p><p>　　定理2.2.1 設(shè)為凸集，，則為到的投影的充要條件是</p><p>　　. （2.2.3）</p><p>　　證明 必要性 設(shè)為凸集，注意到是問題（2.2.1）的解，取任意的，根據(jù)的凸性有</p><p><b>　　，</b></p><p&

38、gt;　　由式（2.2.2）可得</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　展開平方項并整理得</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　兩邊除以，并令，即得式（2.2.3）.</p><p>　　充分

39、性 假設(shè)滿足式（2.2.3），如果，則顯然是（2.2.1）的解。考慮，對任意的，利用不等式，直接推導(dǎo)得</p><p><b>　　.</b></p><p>　　注意到，兩邊除以知是式（2.2.3）的解，定理得證。</p><p>　　進一步，我們有下述定理。</p><p>　　定理2.2.2 設(shè)為凸集，對任意，下

40、式成立：</p><p>　　. （2.2.4）</p><p>　　證明 在式（2.2.3）中，取</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　則有</b></p><p><b>　　.</b>&l

41、t;/p><p><b>　　類似地有</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　上述兩式相加得</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　故式（2.2.4）成立，定理得證。&

42、lt;/p><p>　　由定理2.2.2，我們立刻得到下述兩個有趣的結(jié)論：</p><p><b>　　.</b></p><p>　　即投影算子的單調(diào)性，結(jié)合不等式得到</p><p>　　. （2.2.5）</p><p>　　即投影算子的非膨脹性。特別地

43、，如果，則有.</p><p>　　定理2.2.3 設(shè)是閉凸錐，則是點到投影的充要條件是</p><p>　　. （2.2.6）</p><p>　　證明 必要性 設(shè)是到的投影，根據(jù)定理2.2.1，有</p><p>　　. （2.2.7）</p>

44、<p>　　將，代入式（2.2.7）得</p><p><b>　　，</b></p><p>　　由于可取正值或負值，于是有</p><p><b>　　，</b></p><p>　　這樣式（2.2.7）變?yōu)?lt;/p><p><b>　　，<

45、/b></p><p><b>　　即.</b></p><p>　　充分性 設(shè)滿足式（2.2.6），對任意，由式（2.2.2）的記號，有</p><p><b>　　.</b></p><p>　　又由式（2.2.6）可得</p><p><b>　　，&

46、lt;/b></p><p>　　于是 </p><p><b>　　，</b></p><p>　　故是式(2.2.1)的解，定理得證。</p><p>　　2.3 凸集的分離定理</p><p>　　平面中兩個不相交凸集的一個明顯幾何性質(zhì)，就是存在一條直

47、線將它們分開，使得一個集合在直線一側(cè)，另外一個集合在直線的另一側(cè)。這一事實在一般的維空間中就是所謂的凸集分離定理。凸集分離定理在最優(yōu)化理論，特別是在最優(yōu)化條件的建立中起著重要的作用。</p><p>　　首先介紹單點集與凸集的分離定理。</p><p>　　定理2.3.1（分離定理） 設(shè)是非空閉凸集，且，則存在，使得</p><p>　　.

48、 (2.3.1)</p><p><b>　　證明 令</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　其中為點到集合的投影，根據(jù)投影性質(zhì)(見定理2.2.1)得</p><p><b>　　，</b></p>&

49、lt;p><b>　　于是</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　注意到,故</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　這樣就得到式（2.3.1），定理得證。</p>&l

50、t;p>　　如果在式（2.3.1）中，以代替，則定理可敘述為：存在，使得。顯然在式（2.3.1）中，因此我們可以要求為單位向量，即。定理2.3.1說明存在一個超平面，將一點和一個凸集分為兩部分。</p><p>　　定理2.3.2（分離定理） 設(shè)為中兩個非空閉凸集，且，如果是有界的，則存在，使得</p><p>　　. （2.3.2

51、）</p><p>　　證明 集合是凸集，又是緊集，因此也是閉集。意味著，于是將定理2.3.1應(yīng)用到和集合上，則存在，使得</p><p>　　. （2.3.3）</p><p>　　注意到 </p><p>　　.

52、 （2.3.4）</p><p>　　結(jié)合式（2.3.3）和式（2.3.4），再注意到是緊集，則式（2.3.4）中最后一項中的可用代替，得到式（2.3.2），定理得證。</p><p>　　當(dāng)然式（2.3.2）也可等價地表示為</p><p><b>　　.</b></p><p>　　前面討論的分離定理要求其中的一個集

53、合是有界的，下面我們?nèi)サ粲薪缧约僭O(shè)，討論一般形式的分離定理。</p><p>　　定理2.3.3（分離定理） 設(shè)為非空凸集且，則存在，使得</p><p>　　. （2.3.5）</p><p>　　證明 令，因為，則，在定理2.3.1中，取得：存在，使得</p><p><b>　

54、　，</b></p><p><b>　　即得</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　由的任意性得式（2.3.5），定理得證。</p><p><b>　　3 凸函數(shù)</b></p><p>　　3.1 凸函

55、數(shù)的定義</p><p>　　定義3.1.1 設(shè)為定義在區(qū)間上的函數(shù)，若對上任意兩點和實數(shù)，總有</p><p><b>　　，</b></p><p>　　則稱為上的凸函數(shù)。反之，則稱為上的凹函數(shù)。</p><p>　　如上式中不等式改為嚴格不等式，則相應(yīng)的函數(shù)稱為嚴格凸函數(shù)或嚴格凹函數(shù)。</p><

56、;p>　　注1：容易證明：若為區(qū)間上的凸函數(shù)，則為區(qū)間上的凹函數(shù)，故只須討論凸函數(shù)的性質(zhì)即可。</p><p>　　下面給出凸函數(shù)的兩個等價定義。</p><p>　　定義3.1.2 設(shè)在區(qū)間上有定義，，且，有</p><p>　　成立，則為上的凸函數(shù)。</p><p>　　定義3.1.3 設(shè)在區(qū)間上有定義，，且，有</p>

57、;<p>　　成立，則為上的凸函數(shù)。</p><p>　　定義3.1.4 設(shè)函數(shù)是定義在實線性空間X 中的凸集D上的實值函數(shù)，常數(shù)，若對，都有，且</p><p><b>　?。?.1.1）</b></p><p>　　則稱為上的凸函數(shù)；當(dāng)為上的凸函數(shù)時，稱為上的凹函數(shù)。</p><p>　　當(dāng)（3.1.

58、1）式中時，通常稱為上的中點凸函數(shù)，又稱琴生意義下的凸函數(shù)，簡稱凸函數(shù)。</p><p>　　為了從較高的起點來給出凸函數(shù)的定義，清晰地看出凸函數(shù)與凸性的聯(lián)系，先給出凸集的兩個定義。</p><p>　　定義3.1.5 某集合稱為凸集，是指連接該集合中的任何兩點的連接直線段上的點都在該集合中。</p><p>　　定義3.1.6 設(shè)是一個線性空間，為任意兩點，稱&l

59、t;/p><p><b>　　為連接的閉線段。</b></p><p>　　定義3.1.7 設(shè)是一個線性空間，子集稱為凸集，是指對及有或.</p><p>　　定義3.1.8設(shè)為定義在中的開區(qū)間上的實值函數(shù)，這里滿足.下列集合</p><p><b>　　.</b></p><p&g

60、t;<b>　　稱為函數(shù)的上圖.</b></p><p>　　定義3.1.9如果函數(shù)的上圖是凸集，則稱為上的凸函數(shù)。</p><p>　　3.2 凸函數(shù)的性質(zhì)</p><p>　　性質(zhì)3.2.1 若為凹函數(shù)且，,則為凸函數(shù)；反之不成立，即若為凸函數(shù)，不一定為凹函數(shù)。</p><p>　　證明 根據(jù)假設(shè)，要證明為凸函數(shù)

61、，只要證明，，有</p><p>　　. (3.2.2) </p><p>　　事實上，因為凹函數(shù)，故有</p><p>　　. （3.2.3）</p><p>　　所以 . </p><p>　　從而，要證明（3.2.2

62、）只要證明 </p><p><b>　　（3.2.4）</b></p><p>　　即可，注意到，可得（3.2.4）式顯然成立，從而（3.2.2）式成立。這說明為凸函數(shù)。</p><p>　　另一方面，當(dāng)為凸函數(shù)時，不一定為凹函數(shù)，例如，為凸函數(shù)，但仍為凸函數(shù)。</p><p>　　性質(zhì)3.2.2 設(shè)為上的凸函數(shù)，

63、則亦為凸函數(shù)。</p><p>　　證明 若，或，則顯然為凸函數(shù)。下面用凸函數(shù)的定義證明本定理。</p><p><b>　　只要證明：，，有</b></p><p>　　. （3.2.5）</p><p><b>　　分三種情況討論：</b></p>&

64、lt;p>　　（i）當(dāng)時，因為凸函數(shù)，故</p><p><b>　　.</b></p><p>　　此時，因，，故（3.2.5）式成立。</p><p>　　（ii）當(dāng)時，若，則（3.2.5）式顯然成立。若，則有</p><p><b>　　，</b></p><p>

65、;　　從而（3.2.5）式成立。</p><p>　?。╥ii）當(dāng)時，令，從而有。由凸函數(shù)的性質(zhì)及介值定理得，存在使</p><p>　　，； （3.2.6）</p><p>　　而 ，. （3.2.7）</p>&l

66、t;p>　　當(dāng)時，（3.2.5）式顯然成立，當(dāng)時，</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　所以</b></p><p>　　此時（3.2.5）式顯然成立，這樣無論哪種情況（3.2.5）式都成立，從而為凸函數(shù)。</p><p>　　性質(zhì)3.2.3 設(shè)與都是上的非負單

67、調(diào)遞增的凸函數(shù)，則也是上的凸函數(shù)。</p><p>　　證明 對且和，因與在上單調(diào)遞增，故</p><p><b>　　.</b></p><p>　　即 . （3.2.8）</p><p>　　又因與為上的凸函數(shù)，</p><p>　　故

68、 ，</p><p><b>　　.</b></p><p>　　而, ,將上面兩個不等式相乘,可得</p><p><b>　　.</b></p><p>　　又由（3.2.8）知</p><p><b>　　.</b></p&

69、gt;<p>　　由凸函數(shù)的定義知，是上的凸函數(shù)。</p><p>　　注2：.非負不能少。例如，，，均為凸函數(shù)，但，顯然不是凸函數(shù)，原因是為負。</p><p>　　.單調(diào)遞增不能少。例如， ，在上是非負凸函數(shù)，但，不是上的凸函數(shù)，原因是是單調(diào)遞減的。</p><p>　　性質(zhì)3.2.4 設(shè)是單調(diào)遞增的凸函數(shù)，是凸函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)也是凸函數(shù)。<

70、/p><p>　　證明 因是單調(diào)遞增的凸函數(shù)和是凸函數(shù)，故</p><p><b>　　，，，</b></p><p>　　故，顯然，所以是凸函數(shù)。</p><p>　　性質(zhì)3.2.5 設(shè)收斂的函數(shù)項級數(shù)</p><p>　　各項都是內(nèi)的凸函數(shù)，則也是內(nèi)的凸函數(shù)。</p><p&

71、gt;　　性質(zhì)3.2.6 若在區(qū)間上為凸函數(shù) ，對，則：</p><p>　　①時，在區(qū)間上為凸函數(shù)；</p><p>　?、跁r，在區(qū)間上為凹函數(shù)。</p><p>　　性質(zhì)3.2.7 若在區(qū)間上為凸函數(shù)，對,則：</p><p>　?、?時，為上的凸函數(shù)；</p><p>　?、?時，為上的凹函數(shù)。</p>

72、;<p>　　注3：性質(zhì)3.2.7中的有一個為零時，即為性質(zhì)3.2.6.</p><p>　　性質(zhì)3.2.8 設(shè)在區(qū)間上為凸函數(shù)，則為上的凸函數(shù)。</p><p>　　性質(zhì)3.2.9 若在區(qū)間為凸函數(shù)，則在區(qū)間的任意一內(nèi)點連續(xù)。</p><p>　　證明 因為內(nèi)點，故，使，由定義3.1.2知</p><p><b>

73、　　，</b></p><p>　　且當(dāng)嚴格增加時，嚴格增加，由單調(diào)有界性定理知</p><p>　　存在，即在內(nèi)點左可導(dǎo)。同理可證在內(nèi)點右可導(dǎo)，從而在內(nèi)點左、右皆連續(xù)，因此在區(qū)間的任意一內(nèi)點連續(xù)。</p><p>　　性質(zhì)3.2.10 若為開區(qū)間上的凸函數(shù)，則</p><p>　　處處存在有限的兩個單側(cè)導(dǎo)數(shù)，而且成立不等式。&l

74、t;/p><p>　　對任何，成立不等式，由此知道和均為單調(diào)增函數(shù)。</p><p>　　對于凸函數(shù)在一點上的左、右導(dǎo)數(shù)所形成的閉區(qū)間有一個有趣的性質(zhì)。</p><p>　　性質(zhì)3.2.11 設(shè)為上的凸函數(shù)，，那么的充要條件為</p><p><b>　　.</b></p><p>　　證明 設(shè).則

75、由性質(zhì)3.2.9和3.2.10可得，當(dāng)時有， </p><p><b>　??；</b></p><p>　　當(dāng)時，有 .</p><p>　　反之，設(shè)滿足命題中的不等式，則同樣由性質(zhì)3.2.9和3.2.10可得</p><p><b>　　.</b></p><p

76、>　　性質(zhì)3.2.12（性質(zhì)3.1.11的延伸）設(shè)為上的凸函數(shù)，那么在上達到最小值的充要條件為</p><p><b>　　.</b></p><p>　　學(xué)過一點微分學(xué)的人都知道，如果一個的可導(dǎo)函數(shù)在點一個鄰域內(nèi)達到最大值或最小值，那么必定有。換句話說，為在處達到局部極值的必要條件，而性質(zhì)3.2.11及其延伸性質(zhì)告訴我們，對于凸函數(shù)，即使是對于不是處處可導(dǎo)的凸

77、函數(shù)帶來說，我們有強得多的結(jié)果；即：一點上的導(dǎo)數(shù)為零，或者更一般的左、右導(dǎo)數(shù)區(qū)間包含零時是凸函數(shù)在該點上達到整體最小值的充要條件。由此可以推導(dǎo)出：開區(qū)間上的非常數(shù)可導(dǎo)函數(shù)不可能有局部最大值。這一結(jié)論也很容易用一般的凸函數(shù)來證明。</p><p>　　性質(zhì)3.2.13在區(qū)間為凸函數(shù)在連續(xù)，且有</p><p><b>　　.</b></p><p&g

78、t;　　證明 ：由性質(zhì)3.2.9知，，在點連續(xù)，因為凸函數(shù)，從而.</p><p>　　令，則 </p><p><b>　　.</b></p><p>　?。?當(dāng)為有理數(shù)時，可表示為有限二進制小數(shù)，設(shè)，其中為或，，令，則，</p><p><b>　　.</b>&l

79、t;/p><p>　　當(dāng)為無理數(shù)時，存在收斂于的有限二進制小序列，滿足</p><p><b>　　，</b></p><p>　　令時，因為在連續(xù)，對上式取極限即可得</p><p><b>　　.</b></p><p>　　因此在區(qū)間為凸函數(shù)。</p><

80、;p>　　性質(zhì)3.2.14 設(shè)函數(shù)在區(qū)間為非負凸函數(shù)，則在區(qū)間也為凸函數(shù)。</p><p>　　證明 ，因函數(shù)為非負凸函數(shù)，由性質(zhì)3.2.13知在連續(xù)，且，從而在連續(xù)，因有，因此.</p><p>　　因此由性質(zhì)3.2.13知是的凸函數(shù)。</p><p>　　性質(zhì)3.2.15 設(shè)函數(shù)在區(qū)間為凸函數(shù)，設(shè)函數(shù)在區(qū)間為單調(diào)增加凸函數(shù)，且函數(shù)的值域，則在區(qū)間為凸函數(shù)

81、。</p><p>　　證明 ，因函數(shù)為凸函數(shù)，由性質(zhì)3.2.13知，在點連續(xù)，且，因在區(qū)間為單調(diào)增加凸函數(shù)，則有</p><p><b>　　.</b></p><p>　　因此由性質(zhì)3.2.13知在區(qū)間為凸函數(shù)。</p><p>　　性質(zhì)3.2.16 設(shè)在區(qū)間為嚴格減少的凸函數(shù)，則反函數(shù)也為凸函數(shù)。</p&g

82、t;<p>　　證明 因在區(qū)間上嚴格減少，從而存在反函數(shù)，設(shè)，，則，使</p><p><b>　　，即.</b></p><p><b>　　因為凸函數(shù)，從而</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　因為嚴格減少，因

83、此</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　即 .</p><p><b>　　因此，由定義知</b></p><p><b>　　在</b></p><p><b>　　也為

84、凸函數(shù)。</b></p><p>　　性質(zhì)3.2.17 設(shè)函數(shù)在區(qū)間為凸函數(shù)，則在區(qū)間的任意一閉子區(qū)間有界。</p><p>　　證明 設(shè).首先證明在上有界。，取，則。令，</p><p><b>　　因為凸函數(shù)，從而</b></p><p><b>　　，</b></p>

85、<p><b>　　即在有上界。</b></p><p>　　其次證明在有下界。令為的中點，則有關(guān)于的對稱點，因為在區(qū)間為凸函數(shù)，從而</p><p><b>　　，</b></p><p>　　從而 ，</p><p>　　因此在

86、有下界，因此在區(qū)間的任意一閉子區(qū)間有界。</p><p>　　性質(zhì)3.2.18 設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為凸函數(shù)，則在任意一閉子區(qū)間上滿足條件：使有.</p><p>　　證明 因，從而，使，</p><p>　　若，取，在區(qū)間為凸函數(shù)，因此由定義3.1.2知</p><p><b>　　，</b></p><

87、;p>　　其中分別為在的上、下界，從而</p><p><b>　　.</b></p><p>　　若，取，因在區(qū)間為凸函數(shù)，從而</p><p><b>　　，</b></p><p>　　從而 .</p><p>　　因此

88、 .</p><p><b>　　取，則有</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　性質(zhì)3.2.19 設(shè)函數(shù)在區(qū)間為凸函數(shù)，且連續(xù)，則必，使有，即在上曲線有任意長度（不超過端點弦）平行端點弦的弦。</p><p>　　證明 ，或，由定義3.1.

89、2知 ，</p><p>　　且 .</p><p>　　從而有 .</p><p>　　又因為連續(xù)，因此在連續(xù)，由價值性定理有（則），使</p><p><b>　　.</b></p><p>　

90、　3.3 凸函數(shù)的判定定理</p><p>　　定理3.3.1 設(shè)，且在上可導(dǎo)，為凸函數(shù)的充要條件為：在內(nèi)為遞增函數(shù)。</p><p>　　定理3.3.2 設(shè)，且在上二階導(dǎo)數(shù)存在，則為凸函數(shù)的充要條件為：.</p><p>　　證明 由定理3.3.1可知，為上的凸函數(shù)等價于在內(nèi)為增函數(shù)。由于在上二階導(dǎo)數(shù)存在，故在上可導(dǎo)，從而可得在上遞增的充要條件是，定理得證。&

91、lt;/p><p>　　定理3.3.3 設(shè)，且在上可導(dǎo)，則為凸函數(shù)的充要條件為：</p><p><b>　　，有，.</b></p><p>　　注4：定理3.3.3的幾何意義是：曲線總在它的任一切線的上方。</p><p>　　定理3.3.4為上凸函數(shù)的充要條件是：對上任意三點，總有</p><p&g

92、t;　　其幾何意義是:為凸函數(shù)的充要條件為在曲線上自左至右依次任取三點P、Q 、R ,上式表明PQ 連線的斜率不大于QR連線的斜率。</p><p>　　定理3.3.5 函數(shù)為凸函數(shù)的充要條件是為中的凸集。</p><p>　　證明 必要性 設(shè)是凸函數(shù)，而。則，。于是，對任意的，由凸性可得：</p><p><b>　　，</b></p&

93、gt;<p><b>　　這表明</b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　因而集合是中的凸集。</p><p>　　充分性 設(shè)是中的凸集，，。注意到，，由集合的凸性，可得：</p><p><b>　　，</b></p>

94、<p><b>　　由集合的定義，可得</b></p><p><b>　　，，</b></p><p>　　因此是上的凸函數(shù)。 </p><p>　　推論3.3.1 設(shè)為凸集，那么，為凸函數(shù)的充要條件是集合為中凸集。</p><p>　　注5：中凸函數(shù)的性質(zhì)定理的證明過程與單變量凸函

95、數(shù)的性質(zhì)定理的證明過程類似，證明過程（略）。</p><p>　　關(guān)于凸函數(shù)的判定定理很多，應(yīng)用范圍最廣的是不等式。</p><p>　　定理3.3.6（不等式1）設(shè)在區(qū)間上有定義，為凸函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)</p><p><b>　　，有</b></p><p><b>　　.</b></p>

96、;<p>　　此外當(dāng)且僅當(dāng)時，上式等號成立。</p><p>　　定理3.3.7（不等式2）設(shè)，且，則為凸函數(shù)的充要條件為</p><p><b>　　.</b></p><p>　　此外，上式當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立。</p><p>　　利用凸函數(shù)的判定定理及有關(guān)性質(zhì)可以判別一個函數(shù)是否為凸函數(shù)，但有時計算

97、比較復(fù)雜，使用很不方便，因此，需要進一步研究凸函數(shù)的判別問題。</p><p>　　定理3.3.8 是非空開凸集，在上可微，則為上的凸函數(shù)的充要條件是 </p><p>　??； （3.3.1）</p><p>　　為上的嚴格凸函數(shù)的充要條件是</p><p><b>　　. （3.3.2）</b><

98、/p><p>　　證明 必要性 設(shè)是上的凸函數(shù)，則對任意及，有</p><p><b>　　.</b></p><p>　　于是 .</p><p>　　因為開集，在上可微，故令，得</p><p><b>　　，</b></p><p

99、>　　即得（3.3.1）式。</p><p>　　當(dāng)為上嚴格凸函數(shù)時，對于任意有</p><p><b>　　.</b></p><p>　　記，則由為凸函數(shù)的必要條件知</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　從而</b&g

100、t;</p><p><b>　　，</b></p><p>　　即 ，</p><p>　　故（3.3.2）式成立。</p><p>　　充分性 設(shè)（3.3.1）式成立，則對于任意，取，從而</p><p><b>　　，</b></p&

101、gt;<p><b>　　，</b></p><p>　　將上述兩式分別乘以和后，相加得</p><p><b>　　.</b></p><p>　　所以為凸函數(shù)。若（3.3.2）式成立，以上各不等式中不等式嚴格成立，故為嚴格凸函數(shù)。</p><p>　　注6：這個定理為我們提供了判別

102、一個可微函數(shù)是否為凸函數(shù)的依據(jù)，它有明顯的幾何意義，一個可微函數(shù)是凸函數(shù)的充要條件是函數(shù)圖形上任一點處的切平面位于曲面的下方。</p><p>　　對于具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，有下面的判定定理。</p><p>　　定理3.3.9 設(shè)是非空開凸集，在上具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則是上的凸函數(shù)的充要條件是對于一切，在處的矩陣是半正定矩陣。</p><p>　　證明 必要

103、性 設(shè)是上的凸函數(shù)，因是開集，故對于任意及，存在，使得當(dāng)時，.由于是上的凸函數(shù)，因此由定理3.3.8，有</p><p><b>　　.</b></p><p>　　又因為在處具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，所以按公式有</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　從而<

104、/b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　將上式兩邊除以后再令，得</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　即是半正定的。</b></p><p>　　充分性 設(shè)在每一點處半正定，由在處的公式

105、有</p><p>　　， （3.3.3）</p><p>　　其中.因是凸集，故.由于半正定，因此</p><p><b>　　，</b></p><p>　　于是由（3.3.3）式有</p><p>　　. （3.3.4）</p><p>　　由定理3.3.8，為

106、上的凸函數(shù)。</p><p>　　定理3.3.10 設(shè)是非空開凸集，在上具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，如果對每個，是正定矩陣，則是上的嚴格凸函數(shù)。</p><p>　　證明 因為是正定的，所以當(dāng)時，（3.3.3）式的末項為正，從而（3.3.4）式為嚴格不等式，因此是上的嚴格凸函數(shù)。</p><p>　　注7：定理3.3.10的逆命題不成立。例如，是上的嚴格凸函數(shù)，但它的矩陣

107、在點處不是正定的。</p><p>　　定理3.3.11 設(shè)為二次函數(shù)，即</p><p><b>　　，</b></p><p>　　其中是階對稱矩陣，則</p><p>　?、攀巧系耐购瘮?shù)的充要條件是為半正定矩陣；</p><p>　?、剖巧系膰栏裢购瘮?shù)的充要條件是為正定矩陣。</p&g

108、t;<p>　　證明 顯然可知二次函數(shù)在上具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且</p><p><b>　　，</b></p><p>　　從而由定理3.3.9，（1）顯然成立。</p><p>　　又由定理3.3.8，是上的嚴格凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)</p><p><b>　　，</b></p&

109、gt;<p><b>　　這等價于</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　注意到為二次函數(shù)，為對稱矩陣，因此上式等價于</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　這又等價于</b><

110、;/p><p><b>　　，</b></p><p>　　這等價于是正定矩陣，從而（2）得證。</p><p>　　3.4 凸函數(shù)的應(yīng)用</p><p>　　在許多證明題中，我們常常遇到一些不等式的證明，其中有一類不等式利用凸函數(shù)的性質(zhì)定理來證明可以非常簡潔、巧妙。證明不等式就是凸函數(shù)的一個應(yīng)用領(lǐng)域，但關(guān)鍵是構(gòu)造能夠解決

111、問題的凸函數(shù)。</p><p>　　利用凸函數(shù)證明幾個重要不等式</p><p>　　例1 霍爾德（）不等式</p><p><b>　　對任給，。證明：</b></p><p><b>　　，；</b></p><p>　　定義如前，在上可積，證明：</p>

112、<p><b>　　.</b></p><p>　　證明 （1）令，，則由是凸函數(shù)可知，對任意一組實數(shù)，令，則有</p><p><b>　　.</b></p><p>　　記，則，于是上式變?yōu)椋羧?，，則有</p><p><b>　　。</b></p>

113、<p>　　注8：當(dāng)時，即為柯西不等式.</p><p>　?。?） 將等分，設(shè)，由（1）得</p><p><b>　　兩邊同時乘以，由得</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　令，由的可積性得.</b></p>

114、<p>　　注9：特別地，當(dāng)取時，得許瓦爾茲（）不等式，即</p><p><b>　　.</b></p><p>　　例2 閔可夫斯基（）不等式。</p><p>　　若，則對任給的實數(shù)，有</p><p><b>　　.</b></p><p>　　證明

115、設(shè)，由上例（1），得</p><p><b>　　.</b></p><p>　　由，即證時的情形。時，顯然。</p><p>　　仿上例（2）的證明可知有連續(xù)情形，即積分形：</p><p><b>　　.</b></p><p>　　此不等式在泛函分析的空間中很有用。&l

116、t;/p><p>　　例3不等式若，，，，且求證：</p><p>　　證明 從所求證的不等式形式來看，不容易直接找到合適的凸函數(shù)。因此，我們要對它進行一定的變形。不妨在不等式兩邊同取自然對數(shù)，則有，由此很容易找到合適的凸函數(shù)?？紤]函數(shù)，因為，由定理3.3.2可知，在時為凸函數(shù)。因為有，，，所以</p><p><b>　　.</b></p

117、><p><b>　　于是 </b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　即 .</p><p>　　注10：特別地，當(dāng)，時，此不等式就是后面例4的結(jié)果，即平均值不等式。另外，不等式在泛函分析、偏微分方程中的應(yīng)用也很廣泛。<

118、;/p><p>　?。ǘ┩购瘮?shù)在初等不等式證明中的應(yīng)用</p><p>　　在初等數(shù)學(xué)中，調(diào)和平均值不大于幾何平均值，幾何平均值不大于算術(shù)平均值，算術(shù)平均值不大于平方平均值，而證明用到數(shù)學(xué)歸納法，其實這些不等式可在凸函數(shù)框架下統(tǒng)一證明。</p><p><b>　　例4 設(shè)，，證明</b></p><p><b>

119、;　　,</b></p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng)所有全部相等時，等號成立。</p><p>　　證明 要利用不等式來證明，關(guān)鍵是找出合適的函數(shù)。觀察不等式</p><p>　　的形式，易知兩邊取對數(shù)變成</p><p><b>　　，</b></p><p>　　這就很容易找到合適的凸

120、函數(shù)了。首先考察的凸性，因為，由定理3.3.2可知，是上的嚴格凸函數(shù)。由不等式知，當(dāng)不全相等時有</p><p><b>　　及</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　所以有</b></p><p><b>　　成立。</b

121、></p><p><b>　　例5 證明，，有</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　上式稱為算術(shù)平均不大于次平均，特別地，當(dāng)時得到算術(shù)平均值不大于平方平均值。</p><p>　　證明 考慮函數(shù)，由于有，所以為凸函數(shù)，從而，，有</p><

122、p><b>　　.</b></p><p><b>　　在上式中，令，即得</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　例6 在△中，求證：</p><p>　?、伲虎?；③若△為銳角三角形，則.</p><p>　　證明

123、①令，由，故在是凸函數(shù)，所以由不等式1可得</p><p><b>　　，</b></p><p>　　即 ，</p><p>　　故 得證。</p><p>　　②令，則在上是凸函數(shù)，又因為均為正數(shù)，且單調(diào)遞減，所以由不等式1即得</p><p&

124、gt;<b>　?。ㄓ散俳Y(jié)論得）。</b></p><p>　　所以 得證。</p><p>　?、垡驗椋瘮?shù)在上是凸函數(shù)，所以由不等式1可得</p><p><b>　　.</b></p><p>　　故 得證。</p><p&

125、gt;　　由以上的例題可以看出，每個凸函數(shù)都有一個不等式，不等式的應(yīng)用范圍很廣，既可用于求解不等式問題，又可用于證明不等式定理，應(yīng)用不等式解題的關(guān)鍵有兩條：一是必須先判別函數(shù)的凸性，二是直接應(yīng)用不等式有困難時，可以根據(jù)命題的特點，選擇恰當(dāng)?shù)耐购瘮?shù)或凹函數(shù)，然后再進行解答。</p><p>　　凸函數(shù)在積分不等式證明中的應(yīng)用</p><p>　　例7（）不等式 設(shè)是區(qū)間上的凸函數(shù)，則<

126、;/p><p><b>　　.</b></p><p>　　證明 由的凸性保證了積分有意義。</p><p><b>　　當(dāng)時，,且有</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　因此 </p><

127、p><b>　　.</b></p><p><b>　　令，得</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　因此</b></p><p><b>　?。?.4.1）</b></p>

128、<p><b>　　另外令，得</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　?。?.4.2）</b></p><p>　　從而由以上的（3.4.1）、（3.4.2）即可得到所

129、需證明。</p><p>　　注11：此題的幾何意義為</p><p><b>　　，</b></p><p>　　也就是當(dāng)單調(diào)遞增且為凸函數(shù)時，由，及所圍成圖形的面積小于等于由，及所圍成的圖形的面積。</p><p>　　例8 設(shè)在上可積，,是上的凸函數(shù)，則</p><p>　　證明 由不等式

130、，有</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　令，則有</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　由于可積，為凸函數(shù)，故可積。上式中令，取極限，即得到</p><p><b>　　.<

131、/b></p><p>　　注12：這就是不等式的積分形式。另外，我們還能得到不等式積分形式的更一般形式： </p><p><b>　　.</b></p><p>　　4 凸函數(shù)的次微分和共軛函數(shù)</p><p>　　4.1 凸函數(shù)的次微分</p><p>

132、　　定義4.1.1 集合稱為的有效域。，且不取的凸函數(shù)稱為真凸函數(shù)。</p><p>　　注13：其實真正有意義的凸函數(shù)都是真凸函數(shù)。</p><p>　　定義4.1.2 設(shè)為上的凸函數(shù),記</p><p><b>　　.</b></p><p>　　它稱為在上的次微分。</p><p>　　

133、命題4.1.1 設(shè)為真凸函數(shù)，那么在其有效域的內(nèi)部處處左右可導(dǎo)，從而處處連續(xù)。同時，其左、右導(dǎo)數(shù)滿足：</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　注14：我們不能把這里的代替為。這是因為在有效域的邊界點上，在其一邊取有限值，而在其另一邊則取無限值，所以在這樣的點上

134、不可能是連續(xù)的。然而，我們能否肯定，在有效域的邊界點上，它有左導(dǎo)數(shù)或右導(dǎo)數(shù)呢？一般來說，這也是不成立的，例如</p><p>　　是一個真凸函數(shù)。但它在其有效域的邊界上有一個跳躍，從而不可能有左或右導(dǎo)數(shù)。</p><p>　　這樣一來，對于一般的上的真凸函數(shù)，我們不能再用定義4.1.2的后半部分來定義次微分，而只能把前半部分推廣如下：</p><p>　　定義4.1

135、.3 設(shè)為任意的廣義實值函數(shù)。記</p><p><b>　　，</b></p><p>　　它稱為在上的次微分，如果在處有，那么稱為的次可微點。</p><p>　　在這個定義中，次微分雖然不再被定義為一個閉區(qū)間，但它顯然是一個閉凸集，從而仍然是一個閉區(qū)間。不過，在目前的情況下，這個區(qū)間不再一定是有限的，有時它可能是無限的，例如，對于函數(shù)&

136、lt;/p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　容易驗證。</b></p><p>　　與次微分概念緊密相連的是共軛函數(shù)的概念。</p><p><b>　　4.2 共軛函數(shù)</b></p><p>　　定義4.2.1 設(shè)為任意函

137、數(shù)，</p><p><b>　　，定義為</b></p><p><b>　　， </b></p><p>　　它稱為的共軛函數(shù)。又定義</p><p><b>　　，</b></p><p>　　它稱為的二次共軛函數(shù)，由共軛函數(shù)的定義4.2.1