微積分學基本定理定積分計算(續(xù))

1、第九章第五節(jié)第1頁55微積分學基本定理微積分學基本定理定積分計算（續(xù)）定積分計算（續(xù)）?教學目的：教學目的：熟練掌握微積分學基本定理及定積分的換元與分部積分法。重點難點：重點難點：重點為微積分基本定理難點為泰勒公式的積分型余項。教學方法：教學方法：講練結(jié)合。本節(jié)要在定積分形式下證明連續(xù)函數(shù)必定存在原函數(shù).一變限積分與原函數(shù)的存在性變限積分與原函數(shù)的存在性設(shè)在上可積，根據(jù)定積分的性質(zhì)4，對任何，在上也可積.f??ba??bax?f??xa

2、于是，由（1）????dttfxxa?????bax?定義了一個以積分上限為自變量的函數(shù)，稱為變上限的定積分變上限的定積分.類似可定義變下限的定積分變下限的定積分：.（2）????dttfxbx?????bax?與統(tǒng)稱為變限積分變限積分.注意，在變限積分（1）與（2）中，不可再把積分變量寫成??x，以免與積分上、下限的相混淆.??dxxfxa?x變限積分所定義的函數(shù)有著重要的性質(zhì)由于因此下面只討論????dttfdttfbxbx????

3、變上限積分的情形定理定理99若在上可積，則由(1)式所定義的函數(shù)在上連續(xù)f??ba???ba證對上任一確定的點，只要，按定義式(1)有??bax??baxx?????????.dttfdttfdttfxxxxaxxa????????????因在上有界，可設(shè)于是，當時有f??ba????batMtf??0??x????xMdttfdttfxxxxxx????????????當時則有由此得到0??xxM????0lim0?????x即證得在

4、點連續(xù)由的任意性，在上處處連續(xù)口?xx???ba定理定理91010(原函數(shù)存在定理)若在上連續(xù)，則由(1)式所定義的函數(shù)在f??ba?上處處可導(dǎo)，且（3）??ba????????.baxxfdttfdxdxxa??????證對上任一確定的，當且時，按定義式（1）和積分??bax0??x??baxx???第一中值定理，有第九章第五節(jié)第3頁則有定積分換元公式：（9）????????dtttfdxxfba????????證由于(9)式兩邊的被

5、積函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)，因此它們的原函數(shù)都存在設(shè)是F在上的一個原函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)微分法f??ba????????????????ttfttFtFdtd??????????可見是的一個原函數(shù)根據(jù)牛頓一萊布尼茨公式，證得????tF???????ttf?????????????????aFFdtttf?????????????????dxxfaFbFba????從以上證明看到，在用換元法計算定積分時，一旦得到了用新變量表示的原函數(shù)后，不必作變量

6、還原，而只要用新的積分限代人并求其差值就可以了這就是定積分換元積分法與不定積分換元積分法的區(qū)別，這一區(qū)別的原因在于不定積分所求的是被積函數(shù)的原函數(shù)，理應(yīng)保留與原來相同的自變量；而定積分的計算結(jié)果是一個確定的數(shù)，如果(9)式一邊的定積分計算出來了，那么另一邊的定積分自然也求得了.注如果在定理912的條件中只假定為可積函數(shù)，但還要求是單調(diào)的，那么f?（9）式仍然成立.（本節(jié)習題第14題）例計算.1102dxx??解令，當由變到時，由0增到1

7、，故取應(yīng)用公式txsin?t02?x??.20??????????(9)，并注意到在第一象限中，則有0cos?ttdttdttdxx???????202202102coscossin11????20202sin21212cos121?????????????ttdtt.4??例2計算?202.cossin?tdtt解逆向使用公式(9)，令當由變到時，由1減到sincostdtdxtx???t02?x0，則有.31cossin102200