期望、方差協(xié)方差

1、隨機變量的數(shù)字特征隨機變量的數(shù)字特征一、數(shù)學期望一、數(shù)學期望E（x)x)的性質：的性質：性質一：常數(shù)性質一：常數(shù)C，E（C)=CC)=C性質二：性質二：X為隨機變量，為隨機變量，C為常數(shù)，則為常數(shù)，則E(CXE(CX）=CE=CE（X)X)；性質三：性質三：X，Y為隨機變量，則為隨機變量，則E(XY)=E(X)E(Y)E(XY)=E(X)E(Y)；性質三：性質三：XYXY為相互獨立的隨機變量時，為相互獨立的隨機變量時，E（XYXY）=E

2、=E（Ｘ）（Ｘ）Ｅ（Ｙ）Ｅ（Ｙ）2、方差的性質：方差的性質：D(X)=E(XD(X)=E(X）[E(X)][E(X)]性質一：性質一：C為常數(shù)，則為常數(shù)，則D(C)=0D(C)=0；性質二：性質二：X為隨機變量，為隨機變量，C為常數(shù)，則為常數(shù)，則D(CX)=CD(X)D(CX)=CD(X)D(XC)=D(X)D(XC)=D(X)性質三：性質三：X，Y為相互獨立隨機變量為相互獨立隨機變量Ｄ（Ｄ（XY)=D(X)D(Y)XY)=D(X)D(

3、Y)當X，Y不相互獨立時：不相互獨立時：D(XYD(XY）=D(X)D(Y)2COV(XY)=D(X)D(Y)2COV(XY)關于協(xié)方差關于協(xié)方差COVCOV（XYXY，XY)=D(X)D(Y)XY)=D(X)D(Y)的證明？的證明？證：由證：由COVCOV（X，Y）=E=E（XYXY）E(X)E(Y)E(X)E(Y)得COVCOV（Ｘ＋Ｙ，Ｘ－Ｙ）＝（Ｘ＋Ｙ，Ｘ－Ｙ）＝E[(XY)E[(XY)（XY)]EXY)]E（XY)E(XY)X

4、Y)E(XY)=E=E（X^2Y^2X^2Y^2）[E(X)E(Y)][E(X)E(Y)][E(X)E(Y)][E(X)E(Y)]=E(X^2)E(Y^2)E(X)E(X)E(Y)E(Y)=E(X^2)E(Y^2)E(X)E(X)E(Y)E(Y)=E(X^2)E(X)E(X)[E(Y^2)E(Y)(Y)]=E(X^2)E(X)E(X)[E(Y^2)E(Y)(Y)]①分布律：分布律：f(X)=λe^(λ)f(X)=λe^(λ)X0X0f(

5、X)=0f(X)=0X≦0X≦0②數(shù)學期望：數(shù)學期望：1λ1λ③方差：方差：1λ1λ⑹正態(tài)分布正態(tài)分布N（μ，ρρ）①分布律：分布律：f(x)=1﹙√2πf(x)=1﹙√2πρ)e^((xμ)(2ρ))ρ)e^((xμ)(2ρ))(∞0)(∞0)②數(shù)學期望：數(shù)學期望：μ③方差：方差：ρρ4、切比雪夫不等式：切比雪夫不等式：隨機變量的數(shù)學期望隨機變量的數(shù)學期望E(x)E(x)與方差與方差D(x)D(x)存在，則對于任意整存在，則對于任意整

6、數(shù)ε，不等式：，不等式：P|XE(X)|≥ε≤D(X)εP|XE(X)|≥ε≤D(X)ε成立。成立。等價于：等價于：P|XE(X)|P|XE(X)|＜ε≥1D(X)εε≥1D(X)ε推論：推論：D(X)=0D(X)=0的充分必要條件是的充分必要條件是X以概率以概率1取常數(shù)，即取常數(shù)，即PX=C=1PX=C=1，C為常數(shù)。為常數(shù)。其實，其實，C=E(X)C=E(X)。5、協(xié)方差協(xié)方差CovCov（XYXY）性質一：性質一：Cov(XY)=