協(xié)方差的概念及應(yīng)用

1、兩個(gè)不同參數(shù)之間的方差就是協(xié)方差若兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，則E[(XE(X))(YE(Y))]=0，因而若上述數(shù)學(xué)期望不為零，則X和Y必不是相互獨(dú)立的，亦即它們之間存在著一定的關(guān)系。定義E[(XE(X))(YE(Y))]稱為隨機(jī)變量X和Y的協(xié)方差，記作COV(X，Y)，即COV(X，Y)=E[(XE(X))(YE(Y))]。協(xié)方差與方差之間有如下關(guān)系：D(XY)=D(X)D(Y)2COV(X，Y)D(XY)=D(X)D(Y)2COV

2、(X，Y)因此，COV(X，Y)=E(XY)E(X)E(Y)。[編輯本段]協(xié)方差的性質(zhì)（1）COV(X，Y)=COV(Y，X)；（2）COV(aX，bY)=abCOV(X，Y)，（a，b是常數(shù)）；（3）COV(X1X2，Y)=COV(X1，Y)COV(X2，Y)。由協(xié)方差定義，可以看出COV(X，X)=D(X)，COV(Y，Y)=D(Y)。協(xié)方差作為描述X和Y相關(guān)程度的量，在同一物理量綱之下有一定的作用，但同樣的兩個(gè)量采用不同的量綱使它

3、們的協(xié)方差在數(shù)值上表現(xiàn)出很大的差異。為此引入如下概念：定義ρXY=COV(X，Y)√D(X)√D(Y)，稱為隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)。定義若ρXY=0，則稱X與Y不相關(guān)。即ρXY=0的充分必要條件是COV(X，Y)=0，亦即不相關(guān)和協(xié)方差為零是等價(jià)的。定理設(shè)ρXY是隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)，則有（1）∣ρXY∣≤1；（2）∣ρXY∣=1充分必要條件為PY=aXb=1，（a，b為常數(shù)，a≠0）定義設(shè)X和Y是隨機(jī)變量，若E(X^k)，k=1

4、，2，...存在，則稱它為X的k階原點(diǎn)矩，簡(jiǎn)稱k階矩。在協(xié)方差矩陣c中，每一個(gè)元素c(ij)為對(duì)第i列與第j列的協(xié)方差，例如c(12)=4.1667為第一列與第二列的協(xié)方差。拿c(12)的求解過(guò)程來(lái)說(shuō)c(12)=sum((a(:1)mean(a(:1))).(a(:2)mean(a(:2))))(size(a1)1)1.a(:1)mean(a(:1))，第一列的元素減去該列的均值得到1.33332.33333.66672a(:2)mea

5、n(a(:2))，第二列的元素減去該列的均值得到0.33331.66671.33333再將第一步與第二部的結(jié)果相乘1.33330.33330.44442.3333.1.6667=3.88893.66671.33334.88894再將結(jié)果求和size(a1)1得4.1667該值即為c（12）的值。再細(xì)看一下是不是與協(xié)方差公式：Cov(XY)=E[(XE(X)][(YE(Y)]過(guò)程基本一致呢，只是在第4步的時(shí)候matlab做了稍微的調(diào)整，自

6、由度為n1，減少了一行的樣本值個(gè)數(shù)。已知協(xié)方差求其特征值：已知協(xié)方差求其特征值：先寫出協(xié)方差矩陣s再調(diào)用eig(s)這個(gè)庫(kù)函數(shù)，調(diào)用方法：[eved]=eig(s).ed為特征值矩陣，ev特征向量矩陣，排列順序：從低階到高階?！穝=[2291.333134019342523.3331245.3332482；1340956.666715961401.333883.33331480；193415964281.6671436.66716631