簡單無理函數(shù)的不定積分與三角函數(shù)的不定積分

1、簡單無理函數(shù)的不定積分與三角函數(shù)的不定積分簡單無理函數(shù)的不定積分與三角函數(shù)的不定積分一、簡單無理函數(shù)的不定積分對被積函數(shù)帶有根號的不定積分，它的計算是比較麻煩的。但對某些特殊情況，我們可通過作變量替換，將其轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)的不定積分，這樣就可以用上述的方法計算。下面總假設(shè)表示關(guān)于變量的有理函數(shù)。)(yxRyx1型函數(shù)的不定積分。其中??????????ndcxbaxxR0??bcad解法：作變量替換，即于是ndcxbaxt???dttdx

2、tctabdtxnn)()(????????，????????????????dttttRdxdcxbaxxRn)()(??轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)的不定積分。例1求???dxxxxx1415782171分析：要把被積函數(shù)中的幾個根式化為同次根式。，，，??214771xxx????71421xxx????16147878xxx????15141415xx?作變量替換，即，就可以把原不定積分化為有理函數(shù)的不定積分。14xt?dttdxtx1314

3、14??解：作變量替換，即，則14xt?dttdxtx131414????????????????dtttdttttttdxxxxx1114145131516721415782171例2求?????dxxxx23)2(122解：設(shè)則，，所以223txx???33122ttx???dtttdx232)1(12??????????????????????????????dttdttttttdxxxx323223323143)1(121222

4、1)2(1222型函數(shù)的不定積分，其中（即方程無重根）??cbxaxxR??2042??acb02???cbxax分兩種情況討論：（1）時，方程有兩個不等的實數(shù)根、042??acb02???cbxax??∴??????????????dttttttdxxxx2222)1(11211（3）當(dāng)被積函數(shù)是最簡形式時，可用特殊的簡單方法計算。例5求???dxxx26111例6求????dxxxx54222例7求????dxxxx14)2(2二、

5、三角函數(shù)的不定積分三角函數(shù)有理式的積分，即型的積分，其計算方法的總思路就是把它轉(zhuǎn)化為有理?dxxxR)sin(cos函數(shù)的不定積分。計算方法多種多樣，有一種通用的計算方法——萬能代換。令，就有，且2xtgt?.2arctgtx?122tdtdx??，22122sec222cos2sin2sinttxxtgxxx????11cos22ttx???212tttgx??于是???????????????dttttttRdxxxR2222121