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1、 定積分及其簡單應(yīng)用 定積分及其簡單應(yīng)用 定積分∫ba[f(x)-g(x)]dx(f(x)>g(x))的幾何意義是什么? 提示:由直線 x=a,x=b 和曲線 y=f(x),y=g(x)所圍成的曲邊梯形的面積. ②一般情況下,定積分∫baf(x)dx 的幾何意義是介于 x 軸、曲線 f(x)以及直線 x=a,x=b 之間的曲邊梯形面積的代數(shù)和(右上圖中陰影所示),其中在 x 軸上方的面積等于該區(qū)間上的積分值,在 x 軸下方的面積
2、等于該區(qū)間上積分值的相反數(shù). 3.直線 x=0,x=2,y=0 與曲線 y=x2 所圍成的曲邊梯形的面積為________. 解析:∫20x2dx=13x3 |20=83. 答案:83 4.∫10 1-x2dx=________. 解析:由定積分的幾何意義可知,∫10 1-x2dx 表示單位圓 x2+y2=1 在第一象限內(nèi)部分的面積,所以 ∫10 1-x2dx=14π. 答案:14π 例 1、利用微積分基本定理求下列定
3、積分: (1)∫21(x2+2x+1)dx; (2)∫π0(sin x-cos x)dx; (3)∫20x(x+1)dx; (4)∫21? ? ? ? e2x+1x dx; (5) 2 0? ?sin2x2dx. [解答] (1)∫21(x2+2x+1)dx=∫21x2dx+∫212xdx+∫211dx=x33 |21+x2 |21+x |21=193 . (2)∫π0(sin x-cos x)dx=∫
4、π0sin xdx-∫π0cos xdx=(-cos x) |π0-sin x |π0=2. (3)∫20x(x+1)dx=∫20(x2+x)dx=∫20x2dx+∫20xdx=13x3 |20+12x2 |20=? ? ? ? 1 3×23-0 +? ? ? ? 1 2×22-0 =14 3 . (4)∫21? ? ? ? e2x+1x dx=∫21e2xdx+∫21 1 xdx=12e2x |21+ln x |2
5、1=12e4-12e2+ln 2-ln 1=12e4-12e2+ln 2. (5) 2 0? ?sin2 x2dx= 2 0? ? ? ? ? ? 1 2-12cos x dx= 2 0? ?1 2dx-122 0? ? cos xdx=12x 2 0?-12sin x 2 0?=π4-12=π-24 . 變式練習(xí) 1.求下列定積分: (1)∫20|x-1|dx;(2) 2 0? ? 1-sin 2xdx. 例 1、 (2012
6、83; 山東高考)由曲線 y= x,直線 y=x-2 及 y 軸所圍成的圖形的面積為( ) A.103 B.4 C.163 D.6 [解答] 由 y= x及 y=x-2 可得,x=4,即兩曲線交于點(diǎn)(4,2).由定積分的幾何意義可知,由 y= x及 y=x-2 及 y 軸所圍成的封閉圖形面積為 ∫40( x-x+2)dx=? ? ? ? 2 3x32-12x2+2x
7、|40=163 . [答案] C 若將“y=x-2”改為“y=-x+2”, 將“y 軸”改為“x 軸”, 如何求解? 解:如圖所示,由 y= x及 y=-x+2 可得 x=1.由定積分的幾何意義可知,由 y= x,y=-x+2 及 x 軸所圍成的封閉圖形的面積為∫20f(x)dx=∫10 xdx+∫21(-x+2)dx=23x32 |10+? ? ? ? 2x-x22 |21=76. 變式練習(xí) 3.(2013
8、183; 鄭州模擬)如圖,曲線 y=x2 和直線 x=0,x=1,y=14所圍成的圖形(陰影部分)的面積為( ) A.23 B.13 C.12 D.14 解析:選 D 由? ? ? ? ? y=14,y=x2?x=12或 x=-12(舍),所以陰影部分面積 S=12 0 ? ? ? ? ? 1 4-x2 dx+ 1 12 ? ? ? ? ? x2-14 dx=? ? ? ? 1 4x-13x312 0
9、+? ? ? ? 1 3x3-14x 1 12=14. 定積分在物理中的應(yīng)用 例 2、列車以 72 km/h 的速度行駛,當(dāng)制動時列車獲得加速度 a=-0.4 m/s2,問列車應(yīng)在進(jìn)站前多長時間,以及離車站多遠(yuǎn)處開始制動? [解答] a=-0.4 m/s2,v0=72 km/h=20 m/s.設(shè) t s 后的速度為 v,則 v=20-0.4t.令 v=0,即 20-0.4 t=0 得 t=50 (s).設(shè)列車由開始制動到停止所走過的路程
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