第22講定積分概念2009

1、《數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析I》第22講教案講教案1第2222講定積分概念與牛頓定積分概念與牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式授課題目授課題目定積分概念與牛頓萊布尼茨公式教學(xué)內(nèi)容教學(xué)內(nèi)容1.定積分定義；2.牛頓萊布尼茨公式.教學(xué)目的教學(xué)目的和要求和要求通過本次課的教學(xué)，使學(xué)生能較好掌握定積分定義，理解定積分的幾何意義和物理意義，熟練掌握和應(yīng)用牛頓萊布尼茨公式.教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)及難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：定積分定義，定積分的牛頓萊布尼茨公式；教學(xué)難點(diǎn)：定積分定

2、義.教學(xué)方法教學(xué)方法及教材處及教材處理提示理提示(1)從曲邊梯形面積計(jì)算實(shí)例出發(fā)，引入定積分概念，講清（分割，計(jì)算積分和，取極限）定積分的思想。(2)定積分定義是本講（也是全書）的重點(diǎn)內(nèi)容，通過用定義計(jì)算某些簡單連續(xù)定積分實(shí)例，進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生對定積分概念的理解。(3)要求學(xué)生能證明并應(yīng)用牛頓萊布尼茨公式，這是一個(gè)很好的證明題，務(wù)必要講細(xì)講透(4)利用定積分定義來處理一些特殊的極限是一個(gè)難點(diǎn)，對學(xué)習(xí)較好的學(xué)生可布置這種類型的題目作業(yè)布置作

3、業(yè)布置作業(yè)內(nèi)容：教材:1，2（1，2）；:1(2，3)，2（1，3）.204P206P講授內(nèi)容講授內(nèi)容一、問題提出一、問題提出1曲邊梯形的面積設(shè)為閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，且由曲線，直線f??ba??0?xf??xfy?，以及軸所圍成的平面圖形，稱為曲邊梯形下面討論曲邊梯形的面積(這是求任何曲線邊ax?bx?x界圖形面積的基礎(chǔ))在區(qū)間內(nèi)任取個(gè)分點(diǎn)，它們依次為??ba1?n，這些點(diǎn)把bxxxxxann????????1210?分割成個(gè)小區(qū)間再用

4、??ban??nixxii211???直線把曲邊梯形分割成個(gè)小121???nixxi?n曲邊梯形在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，作以為高，為底的小矩形當(dāng)分割的分點(diǎn)??iixx1?i???if???iixx1???ba較多，又分割得較細(xì)密時(shí)，由于為連續(xù)函數(shù)，它在每個(gè)小區(qū)間上的值變化不大，從而可用這些小矩形的f面積近似替代相應(yīng)小曲邊梯形的面積于是，這個(gè)小矩形面積之和就可作為該曲邊梯形面積的近似值，nS即（1）????11????????iiinii

5、ixxxxfS?注意到（1）式右邊的和式既依賴于對區(qū)間《數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析I》第22講教案講教案3曼積分曼積分，記作其中稱為被積函數(shù)被積函數(shù)，稱為積分變量積分變量，稱為積分區(qū)間積分區(qū)間，分別稱??.dxxfJba??fx??baba為這個(gè)定積分的下限下限和上限上限注1：把定積分定義的說法和函數(shù)極限的說法相對照，便會(huì)發(fā)現(xiàn)兩者有相似的陳述方式，??????因此我們也常用極限符號來表達(dá)定積分，即把它寫作????.lim1dxxfxfJbaini

6、ioT????????然而，每一個(gè)并不唯一對應(yīng)積分和的一個(gè)值這使得積分和的極限要比通常的函數(shù)極限復(fù)雜得多T注2：可積性是函數(shù)的又一分析性質(zhì)稍后就會(huì)知道連續(xù)函數(shù)是可積的，于是本節(jié)開頭兩個(gè)實(shí)例都可用定積分記號來表示：（1）連續(xù)曲線在上形成的曲邊梯形面積為??0??xfy??ba??dxxfSba??（2）在連續(xù)變力作用下，質(zhì)點(diǎn)從位移到所作的功為??xFab??.dxxFWba??注3：(定積分的幾何意義)對于上的連續(xù)函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，定積分的幾

7、何意??baf??0?xf??bax?義就是該曲邊梯形的面積；當(dāng)時(shí)，這時(shí)????baxxf0??是位于軸下方的曲邊梯形面積的相反數(shù)，不妨稱之為“負(fù)??J????dxxfba??x面積”；對于一般非定號的而言，定積分的值則是曲線在軸??xfJ??xfy?x上方部分所有曲邊梯形的正面積與下方部分所有曲邊梯形的負(fù)面積的代數(shù)和注4：定積分作為積分和的極限，它的值只與被積函數(shù)和積分區(qū)間f有關(guān)，而與積分變量所用的符號無關(guān)，即??ba????????

8、????bababadfdttfdxxf.???例1求在區(qū)間上，以拋物線為曲邊的曲邊三角形的面積??102xy?解由注3，因在上連續(xù)，故所求面積為2xy???10為求得此極限，在定積分存在的前提下，允許選擇.lim120102???????niiiTxdxxS?某種特殊的分割和特殊的點(diǎn)集在此只需取等分分割：T??I?并取則有111210nTnnnnT??????????.2111ninininii???????????????21321