相關(guān)系數(shù)矩陣的逆矩陣與行列式的內(nèi)涵分析20130205-王惠文

1、相關(guān)系數(shù)矩陣的逆矩陣與行列式的內(nèi)涵分析相關(guān)系數(shù)矩陣的逆矩陣與行列式的內(nèi)涵分析【摘要】相關(guān)系數(shù)矩陣是用于表現(xiàn)變量之間相關(guān)關(guān)系的統(tǒng)計分析工具。然而，多元變量之間的相關(guān)關(guān)系極易受各種復(fù)雜因素的影響，因此并不能僅僅依據(jù)該矩陣中的數(shù)值來解釋變量間的關(guān)系。而利用偏相關(guān)系數(shù)則可以進一步地反映變量間的本質(zhì)聯(lián)系。本文系統(tǒng)研究了相關(guān)系數(shù)矩陣的逆矩陣與行列式中的深刻內(nèi)涵，一方面討論了相關(guān)系數(shù)矩陣的逆矩陣與偏相關(guān)系數(shù)之間的數(shù)量聯(lián)系；另一方面，從數(shù)學(xué)上證明了相關(guān)

2、系數(shù)矩陣的行列式與變量間各階次偏相關(guān)系數(shù)的等式關(guān)系。此外，論文還進一步指出這些研究結(jié)論在多元線性回歸建模中的指導(dǎo)意義?！娟P(guān)鍵詞】相關(guān)系數(shù)矩陣偏相關(guān)系數(shù)多元線性回歸分析中圖分類號：O212.4文獻標識碼：A一、引言一、引言1877年，F(xiàn)rancisGalton在一次演講中用“復(fù)原”（reversion）一詞定義了甜豆苗母代與子代之間物理特性的關(guān)系[1]，這是歷史早期人們對相關(guān)性概念的理解。從那以后，許多科學(xué)家不斷嘗試，希望創(chuàng)造一種方法來測

3、量兩變量的相關(guān)性大小。KarlPearson在1895年提出了Pearson相關(guān)系數(shù)（PearsonProductMomentCrelationCoefficient），并給出了計算公式。在此之后，人們又創(chuàng)造性地提出了若干種等價的計算方式。最有代表性的是Rodgers和Nicewer（1988）[2]，他們在總結(jié)前人成果的基礎(chǔ)上，從13種不同的角度來解讀Pearson相關(guān)系數(shù)，為相關(guān)系數(shù)的廣泛應(yīng)用做出了重要貢獻。在Pearson相關(guān)系數(shù)

4、的基礎(chǔ)上，關(guān)于相關(guān)性問題的深入研究也在不斷繼續(xù)。如Fisher（1925）[3]詳細解釋了偏相關(guān)系數(shù)、序列相關(guān)等；Ld（1968）[4]說明了偏相關(guān)、復(fù)相關(guān)與多元線性回歸的關(guān)系；國內(nèi)的學(xué)者如馬江洪（1994）[5]在討論多元線性回歸分析中的復(fù)雜相關(guān)性問題時，推導(dǎo)了偏相關(guān)系數(shù)的計算公式；王海燕（2006）[6]等比較了偏相關(guān)系數(shù)與標準化系數(shù)，得到了二者的數(shù)量關(guān)系和統(tǒng)計意義。除此之外，偏相關(guān)系數(shù)、半偏相關(guān)系數(shù)的區(qū)別和應(yīng)用日益受到重視[78]

5、；相關(guān)分析、偏相關(guān)分析也逐步應(yīng)用于醫(yī)學(xué)、信號處理等領(lǐng)域[910]；尾部相關(guān)系數(shù)、多相關(guān)系數(shù)等延伸概念也被提出和解釋[1112]。時至今日，Pearson相關(guān)系數(shù)及與其有關(guān)的拓展應(yīng)用，已成為仍然是統(tǒng)計上的重要方法領(lǐng)域的熱點研究問題。（“應(yīng)用”不適合稱為“方法”）本文以Pearson相關(guān)系數(shù)矩陣（以下簡稱為相關(guān)系數(shù)矩陣）為出發(fā)點，對相關(guān)系數(shù)矩陣的兩種最基本的代數(shù)變換形式——逆矩陣、行列式中隱含的信息進行研究。在文章的第二部分，通過一個實例說

6、明了相關(guān)系數(shù)矩陣在解釋多元相關(guān)關(guān)系時的缺陷；第三部分則系統(tǒng)討論了相關(guān)系數(shù)矩陣的逆矩陣與偏相關(guān)系數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系；第四部分重點研究了相關(guān)系數(shù)矩陣行列式所包含的內(nèi)涵信息，從數(shù)學(xué)上證明了相關(guān)系數(shù)矩陣行列式與變量間各階次偏相關(guān)系數(shù)的等式關(guān)系；此外，還進一步討論了這些研究結(jié)論對多元線性回歸建模的指導(dǎo)意義。二、相關(guān)系數(shù)矩陣及其局限性二、相關(guān)系數(shù)矩陣及其局限性為了充分認識研究相關(guān)系數(shù)矩陣與偏相關(guān)系數(shù)之間聯(lián)系的重要性，本節(jié)將通過一個實例來說明相關(guān)系數(shù)矩

7、陣的局限性。1.相關(guān)系數(shù)矩陣相關(guān)系數(shù)矩陣首先給出一些必要的數(shù)學(xué)符號。由于數(shù)據(jù)的中心化不會改變變量間的相關(guān)性，所以為大腿圍長2x0.923810.0847中臂圍長3x0.45780.08471從表1看到的情形是，三頭肌皮褶厚度和大腿圍長之間的相關(guān)程度非常高；中臂1x2x圍長與其他2個變量的相關(guān)程度都比較低，尤其是中臂圍長和大腿圍長，二者相3x3x2x關(guān)系數(shù)僅為0.085。然而，這并不能推斷中臂圍長與其他兩個變量之間不存在多重共線性。事實上

8、，如果以為因變量，以為自變量，建立回歸模型，則會得到一個測定系數(shù)3x12xx的回歸方程：20.9904R?（4）31262.33081.88091.6085???xxx從這個例子可以看出，在多元分析時，簡單相關(guān)系數(shù)常常無法反映變量之間的本質(zhì)聯(lián)系。因此，僅依據(jù)簡單相關(guān)系數(shù)矩陣來解釋變量之間的相關(guān)性是不可靠的。R三、三、與偏相關(guān)系數(shù)之間的聯(lián)系與偏相關(guān)系數(shù)之間的聯(lián)系1?R為了更加準確地描述變量之間的相關(guān)關(guān)系，人們常利用偏相關(guān)系數(shù)來測量變量集合

9、中復(fù)雜的相關(guān)關(guān)系。在本節(jié)中，將討論偏相關(guān)系數(shù)與相關(guān)系數(shù)矩陣逆矩陣之間的聯(lián)系。1?R首先，簡述偏相關(guān)系數(shù)的定義。對于p個變量的集合，??12ijpX???=xxxxx為了得到變量與的偏相關(guān)系數(shù)，首先用對除外的所有變量做回歸，得到此回歸ixjxixjx方程的殘差；接著，用對除外的所有變量做回歸，得到此回歸方程的殘差。記iejxixje為變量集合中除和外的其他所有變量的集合。將與的簡單相關(guān)系??ijXxxXixjxieje數(shù)記為，則稱為與關(guān)于

10、的偏相關(guān)系數(shù)。??ijijrXxx??ijijrXxxixjx??ijXxx從上述定義可見，偏相關(guān)系數(shù)是在控制某兩個變量以外的其他變量對它們的影響之后計算這兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系。顯然，它更加深刻地反映了變量之間的本質(zhì)聯(lián)系。馬江洪（1994）推導(dǎo)了由的伴隨矩陣內(nèi)的元素計算偏相關(guān)系數(shù)的公式。由此可知，R偏相關(guān)系數(shù)可以由中的元素計算求得。其具體計算方法是：當矩陣可逆，則有偏相1?RR關(guān)系數(shù)（5）??ijijijiijjprpp??Xxx公式