工程力學(xué)c-第5章-軸向拉壓桿的應(yīng)力與變形

1、第五章,軸向拉壓桿的應(yīng)力與變形,Stress and Strain of Axially Loaded Bar,本章介紹,軸向拉壓的概念,軸向拉壓桿的變形,,軸力與軸力圖,軸向拉壓桿的應(yīng)力,拉壓強(qiáng)度條件及應(yīng)用,5.1 引 言,軸向拉壓的概念和實(shí)例,懸臂吊車,懸臂吊車中鋼絲繩和斜桿的受力分析,(b),,曲柄連桿機(jī)構(gòu),,固緊螺栓,螺旋千斤頂,桿：以軸向拉、壓變形為主的桿件。,,,受力特點(diǎn)：,變形特點(diǎn)：,外力的合力作用線與桿軸線重合。

2、,桿沿軸線伸長(zhǎng)或縮短。,,討論: 下圖中哪些是軸向拉伸桿?,一、軸力：,用截面法求軸力FN。,分二留一：,內(nèi)力代棄：,內(nèi)外平衡：,5.2 軸力與軸力圖,軸向拉壓桿的內(nèi)力。記為：FN 。,留左,FN的指向可任意假設(shè),如圖。,∵FN與桿的軸線重合。,分二留一：,內(nèi)力代棄：,內(nèi)外平衡：,留左,指向可任意假設(shè),如圖。,留右：,軸力的正負(fù)規(guī)定：,注意：,產(chǎn)生拉伸變形的軸力為正；反之為負(fù)。,內(nèi)力代棄時(shí)，內(nèi)力的指向設(shè)為正--設(shè)正法。,二、軸力

3、圖：,AB段：留左,∑X=0,BC段：留左,∑X=0,,軸力隨橫截面位置的變化圖，即FN (x)的函數(shù)圖。,FN1+F=0,FN1 = -F,FN2+F-3F=0,FN2 = -F +3F=2F,CD段：留右,∑X=0,-FN3-2F=0,FN3 = -2F,例5.1 求圖示桿各指定截面上的軸力并畫軸力圖。,解：,AB段：留左,BC段：留左,FN1= -F,FN2= -F +3F=2F,CD段：留右,FN3= -2F,,,,,F,2F

4、,2F,直接法：,例：,畫軸力圖：如圖。,例5.2 求圖示桿指定截面上的軸力并畫軸力圖。,解：,注意：,用“截面法”求軸力時(shí)，用“設(shè)正法”并取外力個(gè)數(shù)較少的一側(cè)為研究對(duì)象。用“直接法”求軸力時(shí)，取外力個(gè)數(shù)較少的一側(cè)進(jìn)行計(jì)算。,用直接法,畫軸力圖,注意：,在外力作用的截面上軸力圖有突變，突變值等于外力的大小。,,,,,,,,看書上，P108 例5.1。,5.3.1 橫截面上的應(yīng)力,5.3 軸向拉壓桿的應(yīng)力,1）拉壓桿橫截面上各

5、點(diǎn)處有何種應(yīng)力（σ,τ）；,2）應(yīng)力在橫截面上的分布規(guī)律;,3）應(yīng)力的計(jì)算公式。,主要研究：,1．觀察變形：,1）變形后各橫向線保持為直線并垂直于縱向線（軸線）。,觀察橡膠桿的變形，如圖。,,,,,,,,,,,,,,,,F,F,,,,,,,,,,2）變形后原來的矩形網(wǎng)格仍為矩形。,a,c,b,d,a',c',d ’,b',2．假設(shè)及判斷 ：,1）平面假設(shè)：原為平面的橫截面，變形后仍為平面 。,2）橫截面上只有正應(yīng)

6、力? 。,3．正應(yīng)力的分布規(guī)律及計(jì)算公式：用“三關(guān)系” 法。,,,,,,,,,,,,,,,,F,F,,,,,,,,,,1）變形（幾何）關(guān)系：,如果設(shè)想桿是由許多縱向纖維組成的，則根據(jù)平面假設(shè)可知，在任意兩橫截面間，每條纖維的伸長(zhǎng)都相等。這表明：橫截面上各點(diǎn)處的正應(yīng)變都相等。,即: ε = 常量,2）物理關(guān)系：,,由胡克定律（見5.5節(jié)）：,∴σ=常量,σ=Eε （E為材料常數(shù)）,結(jié)論：橫截面上? 均勻分布。,3）靜力關(guān)系：,設(shè)截面c&

7、#39;d'上的軸力為FN：,注意：,σ拉為正，壓為負(fù)；(5.2)式適用于軸向拉壓的等直桿(分段等直桿)；適用于桿件斷裂前；在外力作用點(diǎn)附近不能用；當(dāng)橫截面大小緩慢變化時(shí)，可近似用（5.2）式。,為什么(5.2)式在外力作用點(diǎn)附近不能用？,圣維南(Saint Venant)原理：作用于物體某一局部區(qū)域內(nèi)的力系，可以用一個(gè)與之靜力等效的力系來代替。而兩力系所產(chǎn)生的應(yīng)力分布只在,力系作用區(qū)域附近有顯著的影響，在離開力系作用

8、區(qū)域較遠(yuǎn)處（距離約等于截面尺寸），應(yīng)力分布幾乎相同。,,例5.3 計(jì)算階梯狀方形柱體橫截面上的正應(yīng)力和最大工作應(yīng)力，已知載荷F =50 kN。,解: 求柱段I和II橫截面上的軸力,(壓應(yīng)力),,,,,,,150kN,50kN,柱段I橫截面上的正應(yīng)力為:,柱段II 橫截面上的正應(yīng)力為:,(壓應(yīng)力),因此最大工作應(yīng)力為:,看書上，P112 例5.2。,,,,混凝土圓柱會(huì)怎樣斷裂？,,為什么會(huì)沿與軸線大約450方向的斜截面斷裂呢？,在實(shí)

9、際工程中，當(dāng)脆性材料（如鑄鐵、巖石和混凝土等）受到較大載荷作用發(fā)生軸向壓縮變形時(shí)，它們并不沿橫截面斷裂，而是沿與軸線大約成450方向的斜截面斷裂，如圖。,再看下面一張照片。,所以，除了要研究拉壓桿橫截面上的應(yīng)力外，還應(yīng)該研究斜截面上的應(yīng)力。,,Aα,,由截面法求斜截面上的軸力。,求斜截面上的總應(yīng)力：,同理：,仿照橫截面上正應(yīng)力的推導(dǎo)過程，可知斜截面m-m上的總應(yīng)力p均勻分布；如圖。,5.3.2 斜截面上的應(yīng)力,Aα,,,求斜截面上的正

10、應(yīng)力和切應(yīng)力：,規(guī)定：,α從橫截面的外法線方向x逆時(shí)針轉(zhuǎn)到斜截面的外法線方向n時(shí)為正，反之為負(fù)。,幾個(gè)特殊截面上的應(yīng)力：,Aα,看書上，P114 例5.3。,危險(xiǎn)截面：,2. 對(duì)分段等直桿：,危險(xiǎn)點(diǎn)：,1. 對(duì)等直桿：,5.4 拉壓強(qiáng)度條件及應(yīng)用,桿內(nèi)實(shí)際發(fā)生的應(yīng)力。,工作應(yīng)力：,桿件上具有最大應(yīng)力的點(diǎn)。,最大內(nèi)力所在截面；,(FN/A)max所在截面。,即：σ = FN/A 。,極限應(yīng)力σu :,如Q235鋼的σu=235MP。,

11、材料發(fā)生破壞時(shí)的應(yīng)力。由實(shí)驗(yàn)得 。,許用應(yīng)力[σ]：,允許材料承受的最大應(yīng)力。,強(qiáng)度條件：,1．強(qiáng)度校核 ：,式（5.5）可解決三類強(qiáng)度問題：,2．設(shè)計(jì)截面尺寸:,3．確定許可載荷：,σmax = (FN /A)max≤[σ],A ≥(FN )max／[σ],( 5.6 ),( 5.7),注意：當(dāng)FN<0時(shí)，應(yīng)取FN的絕對(duì)值進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算 。,例5.4 剛性桿ACB有圓桿CD懸掛在C點(diǎn)，B端作用集中力 P

12、=25KN，已知CD桿的直徑d=20mm，許用應(yīng)力 [?]=160MPa。（1）試校核CD桿的強(qiáng)度。 （2）求結(jié)構(gòu)的許可荷載[P]； （3）若P=50KN，設(shè)計(jì)CD桿的直徑。,解：,（1）校核CD桿的強(qiáng)度:,求CD桿所受的力,取整體為研究對(duì)象,看書上例5.4(第一類)；例5.5(第二類)；例5.6(第三類)。,求CD桿的最大工作應(yīng)力：,求CD桿的內(nèi)力：,∴ CD桿安全。,（2）求結(jié)構(gòu)的許

13、可荷載[ P ]:,（3）若P=50KN，設(shè)計(jì)CD桿的直徑。,,,取d=25mm,B,,,,1,2,A,C,300,,,,,2m,F,例5.5 圖示三角托架，AB為鋼桿，A1=4cm2，許用拉應(yīng)力為[?t ] = 40MPa ；BC為木桿，A2=100cm2，許用壓應(yīng)力為[?c ]=10MPa。A、B、C處均為光滑鉸接，試從強(qiáng)度方面計(jì)算豎向荷載F的最大許用值。,解：1. 求約束反力:,取整體為研究對(duì)象,聯(lián)解得：,,,,因?yàn)橐瑫r(shí)滿足兩桿

14、的強(qiáng)度,2.求1、2桿的內(nèi)力：,3. 分別按兩桿的強(qiáng)度條件計(jì)算許可荷載 [F]：,∴ [F]=32.3kN,B,,,,1,2,A,C,300,,,,,2m,F,,,若F=32.3kN 重新設(shè)計(jì)BC桿的橫截面積。,,5.5.1 軸向拉壓桿的變形：,相對(duì)變形：,軸向變形：,5.5 軸向拉壓桿的變形,1. 軸（縱）向變形：,軸向正（線）應(yīng)變,DL＝ L 1 －L,e 的符號(hào)規(guī)定：,拉伸時(shí)，?L 伸長(zhǎng)，e 為正；反之為負(fù)。正值的應(yīng)變叫做拉

15、應(yīng)變，負(fù)值的應(yīng)變叫壓應(yīng)變。,2. 橫向變形：,橫向應(yīng)變：,橫向變形：,若桿的橫向原始尺寸為b，軸向加力后變?yōu)閎1 。,Db ＝b1 - b,泊松比：,實(shí)驗(yàn)表明：,3. 泊松比,當(dāng)σ≤σp時(shí),（σp：材料的比例極限；是材料常數(shù)）,(橫向變形系數(shù)),µ 是材料常數(shù)；無量綱；由試驗(yàn)測(cè)定。,由于在軸向拉伸時(shí)，軸向伸長(zhǎng)，e > 0, e? 0。,一般 m =０.2?0.5。,5.5.2 拉壓胡克定律：,1. 材料的虎克定律

16、:,實(shí)驗(yàn)表明：,當(dāng)σ≤σp 時(shí),材料的虎克定律,Ｅ的量綱與應(yīng)力量綱相同，N/m2，MPa或GPa 。,Ｅ叫做材料的彈性模量，簡(jiǎn)稱彈性模量。,Ｅ是材料常數(shù)；由試驗(yàn)測(cè)定。,注意：E、? 都是材料常數(shù)。,2. 拉壓桿的變形公式(構(gòu)件的胡克定律),EA：稱為桿的拉壓剛度。,構(gòu)件的虎克定律,由（5.11）式：,使用條件：在彈性范圍，即：σ≤σp ；在 l 桿段內(nèi)FN、E、A均為常量；,應(yīng)用構(gòu)件的虎克定律（5.12）式時(shí)應(yīng)注意：,若FN、E、A

17、分段變化（如圖），可分段使用；,若FN 或 A連續(xù)變化(如圖)。,看書上P120-122；例5.7，例5.8。,例5.6 圖為階梯桿，兩段桿的截面積分別為ACD=2cm2, AAC=4cm2,荷載為F1=5kN，F(xiàn)2=10kN, L=0.5m,材料的彈性模量E=210GPa,試求桿端D的水平位移。,解：,CD段：,5kN,5kN,BC段：,AB段：,1. 由直接法求各段的軸力，并做軸力圖,FNCD=－F1=－5kN,FNBC=－F1=－