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1、圓錐曲線常見題型歸納圓錐曲線常見題型歸納一、基礎(chǔ)題基礎(chǔ)題涉及圓錐曲線的基本概念、幾何性質(zhì),如求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,求準(zhǔn)線或漸近線方程,求頂點(diǎn)或焦點(diǎn)坐標(biāo),求與有關(guān)的值,求與焦半徑或長(zhǎng)(短)軸或?qū)崳ㄌ摚┹S有關(guān)的角和三角形面積。此類題在考試中最常見,解此類題應(yīng)注意:(1)熟練掌握?qǐng)A錐曲線的圖形結(jié)構(gòu),充分利用圖形來解題;注意離心率與曲線形狀的關(guān)系;(2)如未指明焦點(diǎn)位置,應(yīng)考慮焦點(diǎn)在軸和軸的兩種(或四種)情況;xy(3)注意,,,的區(qū)別及其幾何
2、背景、出現(xiàn)位置的不同,橢圓中22aaa22bbb22ccc22ppp,雙曲線中,離心率,準(zhǔn)線方程;222bac??222bac??ace?cax2??例題:例題:(1)已知定點(diǎn),在滿足下列條件的平面上動(dòng)點(diǎn)P的軌跡中是橢圓的是())03()03(21FF?ABCD(答:421??PFPF621??PFPF1021??PFPF122221??PFPFC);(2)方程表示的曲線是_____(答:雙曲線的左支)2222(6)(6)8xyxy??
3、????(3)已知點(diǎn)及拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P(xy)則y|PQ|的最小值是_____(答:2))022(Q42xy?(4)已知方程表示橢圓,則的取值范圍為____(答:);12322????kykxk11(3)(2)22????(5)雙曲線的離心率等于,且與橢圓有公共焦點(diǎn),則該雙曲線的方程_______(答:);2514922??yx2214xy??(6)設(shè)中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)、在坐標(biāo)軸上,離心率的雙曲線C過點(diǎn),則C的方程為O1F2F2?e)
4、104(?P_______(答:)226xy??二、定義題定義題對(duì)圓錐曲線的兩個(gè)定義的考查,與動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離(焦半徑)和動(dòng)點(diǎn)到定直線(準(zhǔn)線)的距離有關(guān),有時(shí)要用到圓的幾何性質(zhì)。此類題常用平面幾何平面幾何的方法來解決,需要對(duì)圓錐曲線的(兩個(gè))定義有深入、細(xì)致、全面的理解和掌握。常用到的平面幾何知識(shí)有:中垂線、角平分線的性質(zhì),勾股定理,圓的性質(zhì),解三角形(正弦余弦定理、三角形面積公式),當(dāng)條件是用向量的形式給出時(shí),應(yīng)由向量的幾何形式而用平
5、面幾何知識(shí)向量的幾何形式而用平面幾何知識(shí);涉及圓的解析幾何題多用平面幾何方法處理;圓錐曲線的幾何性質(zhì)圓錐曲線的幾何性質(zhì):(1)橢圓橢圓(以()為例):)為例):12222??byax0ab??①范圍范圍:;②焦點(diǎn)焦點(diǎn):兩個(gè)焦點(diǎn);axabyb??????(0)c?③對(duì)稱性對(duì)稱性:兩條對(duì)稱軸,一個(gè)對(duì)稱中心(00),四個(gè)頂點(diǎn),其中長(zhǎng)軸長(zhǎng)為00xy??(0)(0)ab??2,短軸長(zhǎng)為2;④準(zhǔn)線準(zhǔn)線:兩條準(zhǔn)線;ab2axc??⑤離心率離心率:,橢
6、圓,越小,橢圓越圓;越大,橢圓越扁。cea??01e??eepecba三、直線與圓錐曲線的關(guān)系題直線與圓錐曲線的關(guān)系題(1)寫直線方程時(shí),先考慮斜率存在,把直線方程設(shè)為的形式,但隨后應(yīng)對(duì)斜率不存kbkxy??k在的情況作出相應(yīng)說明,因?yàn)椴淮嬖诘那闆r很特殊,一般是驗(yàn)證前面的結(jié)論此時(shí)是否成立;k(2)聯(lián)立直線方程和圓錐曲線方程,消去或消去,得到方程①或xy02???cbxax②,此方程是后一切計(jì)算的基礎(chǔ),應(yīng)確保不出錯(cuò)。02???cbyay(
7、3)當(dāng)方程①或②的二次項(xiàng)系數(shù)時(shí)方程是一次方程,只有唯一解,不能用判別式,這種情況0?a是直線與雙曲線的漸近線平行或直線與拋物線的對(duì)稱軸平行;(過拋物線外一點(diǎn)作與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有三條,過雙曲線含中心的區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)(不在漸近線上)作與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有四條;)(4)當(dāng)方程①或②的二次項(xiàng)系數(shù)時(shí),判別式△、△、△,與之相對(duì)應(yīng)的是,直線0?a0?0?0?與圓錐曲線分別相離、相切、相交。如直線與圓錐曲線有公共點(diǎn),應(yīng)用△來求斜率的
8、范圍;0?k例題:例題:(1)過點(diǎn)作直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn),這樣的直線有______(答:2);)42(xy82?(2)過點(diǎn)(02)與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的斜率的取值范圍為______(答:116922??yx);44533????????????(3)直線y―kx―1=0與橢圓恒有公共點(diǎn),則m的取值范圍是_______(答:[1,5)2215xym??∪(5,∞));(4)過雙曲線的右焦點(diǎn)直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn),若│A
9、B︱=4,則這樣的直線有12122??yx_____條(答:3);(5)直線與圓錐曲線相交成弦(前提,△),記為,其中,,0?a0?AB)(11yxA)(22yxB的坐標(biāo)可由方程①或②求得,一般是由方程①求出,再代入直線方程求,或由方程②AB21xx21yy求出,再代入直線方程求。21yy21xx(6)涉及弦長(zhǎng)問題,弦長(zhǎng)問題,可用韋達(dá)定理韋達(dá)定理,由方程①求出,02???cbxax2121xxxx?,在直線上,∴,,?)(11yxA)(
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