小學奧數(shù)之牛吃草問題含答案

1、“牛吃草問題就是追及問題，牛吃草問題就是工程問題。牛吃草問題就是追及問題，牛吃草問題就是工程問題。”英國大數(shù)學家牛頓曾編過這樣一道數(shù)學題：牧場上有一片青草，每天都生長得一樣快。這英國大數(shù)學家牛頓曾編過這樣一道數(shù)學題：牧場上有一片青草，每天都生長得一樣快。這片青草供給片青草供給1010頭牛吃，可以吃頭牛吃，可以吃2222天，或者供給天，或者供給1616頭牛吃，可以吃頭牛吃，可以吃1010天，如果供給天，如果供給2525頭牛吃，可以吃幾天？

2、牛吃，可以吃幾天？解題關鍵：牛頓問題，俗稱“牛吃草問題”，牛每天吃草，草每天在不斷均勻生長。解題環(huán)節(jié)主要有四步：1、求出每天長草量；2、求出牧場原有草量；3、求出每天實際消耗原有草量4、最后求出可吃天數(shù)想：這片草地天天以同樣的速度生長是分析問題的難點。把10頭牛22天吃的總量與16頭牛10天吃的總量相比較，得到的10221610=60，是60頭牛一天吃的草，平均分到（2210）天里，便知是5頭牛一天吃的草，也就是每天新長出的草。求出了這

3、個條件，把25頭牛分成兩部分來研究，用5頭吃掉新長出的草，用20頭吃掉原有的草，即可求出25頭牛吃的天數(shù)。解：新長出的草供幾頭牛吃1天：（1022161O）(221O）=（220160）12=6012=5（頭）這片草供25頭牛吃的天數(shù)：（105）22（255）=52220=5.5（天）答：供25頭?？梢猿?.5天?！耙欢巡菘晒?0頭牛吃3天，這堆草可供6頭牛吃幾天？”這道題太簡單了，一下就可求出：3106＝5（天）。如果我們把“一堆草”

4、換成“一片正在生長的草地”，問題就不那么簡單了，因為草每天都在生長，草的數(shù)量在不斷變化。這類工作總量不固定（均勻變化）這類工作總量不固定（均勻變化）的問題就是牛吃草問題。的問題就是牛吃草問題。例1牧場上一片青草，每天牧草都勻速生長。這片牧草可供牧場上一片青草，每天牧草都勻速生長。這片牧草可供1010頭牛吃頭牛吃2020天，或者可供天，或者可供1515頭牛吃頭牛吃1010天。問：可供天。問：可供2525頭牛吃幾天？頭牛吃幾天？分析與解：這

5、類題難就難在牧場上草的數(shù)量每天都在發(fā)生變化，我們要想辦法從變化當中找到不變的量?？偛萘靠梢苑譃槟翀錾显械牟莺托律L出來的草兩部分。牧場上原有的草是不變的，新長出的草雖然在變化，因為是勻速生長，所以這片草地每天新長出的草的數(shù)量相同，即每天新長出的草是不變的。下面，就要設法計算出原有的草量和每天新長出的草量這兩個不變量。設1頭牛一天吃的草為1份。那么，10頭牛20天吃200份，草被吃完；15頭牛10天吃150份，草也被吃完。前者的總草量是

6、200份，后者的總草量是150份，前者是原有的草加20天新長出的草，后者是原有的草加10天新長出的草。200－150＝50（份），20—10＝10（天），說明牧場10天長草50份，1天長草5份。也就是說，5頭牛專吃新長出來的草剛好吃分析：雖然表面上沒有“牛吃草”，但因為總的水量在均勻變化，“水”相當于“草”進水管進的水相當于新長出的草，出水管排的水相當于牛在吃草，所以也是牛吃草問題，解法自然也與例1相似。出水管所排出的水可以分為兩部分：

7、一部分是出水管打開之前原有的水量，另一部分是開始排水至排空這段時間內進水管放進的水。因為原有的水量是不變的，所以可以從比較兩次排水所用的時間及排水量入手解決問題。設出水管每分鐘排出水池的水為1份，則2個出水管8分鐘所排的水是28＝16（份），3個出水管5分鐘所排的水是35＝15（份），這兩次排出的水量都包括原有水量和從開始排水至排空這段時間內的進水量。兩者相減就是在85=3（分）內所放進的水量，所以每分鐘的進水量是(1615)3=13(

8、份)假設讓13個出水管專門排進水管新進得水兩相抵消其余得出水管排原有得水可以求出原有水得水量為:(213)8=403(份)或(313)5=403(份)解:設出水管每分鐘排出得水為1份每分鐘進水量(2835)(85)=13(份)進水管提前開了(213)813=40(分)答：出水管比進水管晚開40分鐘。例5一個水池，底部安有一個常開的排水管，上部安有若干個同樣粗細的進水管，當打開一個水池，底部安有一個常開的排水管，上部安有若干個同樣粗細的進

9、水管，當打開4個進水管時需要個進水管時需要5小時才能注滿水池；當打開小時才能注滿水池；當打開2個進水管時，需要個進水管時，需要15小時才能注滿水池；小時才能注滿水池；現(xiàn)在需要在現(xiàn)在需要在2小時內將水池注滿，那么至少要打開多少個進水管？小時內將水池注滿，那么至少要打開多少個進水管？分析本題沒給出排水管的排水速度，因此必須找出排水管與進水管之間的數(shù)量關系，才能確定至少要打開多少個進水管.解：本題是具有實際意義的工程問題，因沒給出注水速度和排

10、水速度，故需引入?yún)?shù).設每個進水管1小時注水量為a，排水管1小時排水量為b，根據(jù)水池的容量不變，我們得方程（4ab）5=（2ab）15，化簡，得：4ab=6a3b，即a=b.這就是說，每個進水管1小時的注水量等于排水管1小時的排水量.再設2小時注滿水池需要打開x個進水管，根據(jù)水池的容量列方程，得（xaa）2＝（2aa）15，化簡，得2ax2a=15a，即2xa=17a.（a≠0）所以x=8.5因此至少要打開9個進水管，才能在2小時內將水