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1、1第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)11實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)授課章節(jié):授課章節(jié):第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)——1實(shí)數(shù)教學(xué)目的教學(xué)目的:使學(xué)生掌握實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):(1)理解并熟練運(yùn)用實(shí)數(shù)的有序性、稠密性和封閉性;(2)牢記并熟練運(yùn)用實(shí)數(shù)絕對(duì)值的有關(guān)性質(zhì)以及幾個(gè)常見的不等式(它們是分析論證的重要工具)教學(xué)難點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn):實(shí)數(shù)集的概念及其應(yīng)用教學(xué)方法教學(xué)方法:講授(部分內(nèi)容自學(xué))教學(xué)程序教學(xué)程序:引言上節(jié)課中,我們與大家共同探討了《數(shù)學(xué)分析》這門
2、課程的研究對(duì)象、主要內(nèi)容等話題從本節(jié)課開始,我們就基本按照教材順序給大家介紹這門課程的主要內(nèi)容首先,從大家都較為熟悉的實(shí)數(shù)和函數(shù)開始[問題問題]為什么從“實(shí)數(shù)”開始答:《數(shù)學(xué)分析》研究的基本對(duì)象是函數(shù),但這里的“函數(shù)”是定義在“實(shí)數(shù)集”上的(后繼課《復(fù)變函數(shù)》研究的是定義在復(fù)數(shù)集上的函數(shù))為此,我們要先了解一下實(shí)數(shù)的有關(guān)性質(zhì)一、實(shí)數(shù)及其性質(zhì)一、實(shí)數(shù)及其性質(zhì)1、實(shí)數(shù)、實(shí)數(shù)(qpqp????????有理數(shù):任何有理數(shù)都可以用分?jǐn)?shù)形式為整數(shù)且
3、q0)表示,也可以用有限十進(jìn)小數(shù)或無(wú)限十進(jìn)小數(shù)來(lái)表示.無(wú)理數(shù):用無(wú)限十進(jìn)不循環(huán)小數(shù)表示.??|Rxx?一一一一一一一一一一[問題問題]有理數(shù)與無(wú)理數(shù)的表示不統(tǒng)一,這對(duì)統(tǒng)一討論實(shí)數(shù)是不利的為以下討論的需要,我們把“有限小數(shù)”(包括整數(shù))也表示為“無(wú)限小數(shù)”為此作如下規(guī)定:對(duì)于正有限小數(shù)其中012.nxaaaa??,記;009120inainaa?????為非負(fù)整數(shù)011.(1)9999nnxaaaa?????對(duì)于正整數(shù)則記;對(duì)于負(fù)有限小數(shù)
4、(包括負(fù)整數(shù))0xa?0(1).9999xa???,則先將表示為無(wú)限小數(shù),現(xiàn)在所得的小數(shù)之前加負(fù)號(hào)0表示為yy?0=0.0000?例:;2.0012.0009999??3即nnxxryy????xry??3、實(shí)數(shù)常用性質(zhì)、實(shí)數(shù)常用性質(zhì)(詳見附錄Ⅱ)289302PP?1)封閉性)封閉性(實(shí)數(shù)集對(duì))四則運(yùn)算是封閉的即任意兩個(gè)實(shí)數(shù)的R????和、差、積、商(除數(shù)不為0)仍是實(shí)數(shù)2)有序性)有序性:,關(guān)系,三者必居其一,也只居其一.abR??a
5、babab???3)傳遞性)傳遞性:,abcR??,,abbcac???若,則4)阿基米德性)阿基米德性:使得0abRbanN???????nab?5)稠密性)稠密性:兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)之間總有另一個(gè)實(shí)數(shù)6)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系:實(shí)數(shù)集與數(shù)軸上的點(diǎn)有著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系R例2設(shè),證明:若對(duì)任何正數(shù),有,則abR???ab???ab?(提示:反證法利用“有序性”,?。゛b???二、絕對(duì)值與不等式二、絕對(duì)值與不等式1、絕對(duì)值的定義、絕對(duì)值的定義
6、實(shí)數(shù)的絕對(duì)值的定義為a0||0aaaaa???????2、幾何意義、幾何意義從數(shù)軸看,數(shù)的絕對(duì)值就是點(diǎn)到原點(diǎn)的距離表示就是數(shù)軸a||aa||xa?上點(diǎn)與之間的距離xa3、性質(zhì)、性質(zhì)1)(非負(fù)性);||||0||00aaaa??????2);||||aaa???3),;||ahhah?????||.(0)ahhahh??????4)對(duì)任何有(三角不等式);abR?||||||||||ababab?????5);||||||abab??6)
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