空間向量與立體幾何知識(shí)點(diǎn)和習(xí)題含答案

1、1空間向量與立體幾何空間向量與立體幾何【知識(shí)要點(diǎn)知識(shí)要點(diǎn)】1空間向量及其運(yùn)算：(1)空間向量的線性運(yùn)算：①空間向量的加法、減法和數(shù)乘向量運(yùn)算：平面向量加、減法的三角形法則和平行四邊形法則拓廣到空間依然成立②空間向量的線性運(yùn)算的運(yùn)算律：加法交換律：a＋b＝b＋a；加法結(jié)合律：(a＋b＋c)＝a＋(b＋c)；分配律：(??＋??)a＝??a＋??a；??(a＋b)＝??a＋??b(2)空間向量的基本定理：①共線(平行)向量定理：對(duì)空間兩個(gè)向

2、量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)??，使得a∥??b②共面向量定理：如果兩個(gè)向量a，b不共線，則向量c與向量a，b共面的充要條件是存在惟一一對(duì)實(shí)數(shù)??，??，使得c＝??a＋??b③空間向量分解定理：如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在惟一的有序?qū)崝?shù)組??1，??2，??3，使得p＝??1a＋??2b＋??3c(3)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算：①空間向量的數(shù)量積的定義：ab＝|a｜|b｜c(diǎn)os〈a，b〉；②空

3、間向量的數(shù)量積的性質(zhì)：ae＝|a｜c(diǎn)os＜a，e＞；a⊥bab＝0；?|a|2＝aa；|ab|≤|a｜|b｜③空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：(??a)b＝??(ab)；交換律：ab＝ba；分配律：(a＋b)c＝ac＋bc(4)空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示：①空間向量的正交分解：建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，分別沿x軸，y軸，z軸的正方向引單位向量i，j，k，則這三個(gè)互相垂直的單位向量構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底i，j，k｝，由空間向量分解定理，對(duì)于空間任

4、一向量a，存在惟一數(shù)組(a1，a2，a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k，那么有序數(shù)組(a1，a2，a3)就叫做空間向量a的坐標(biāo)，即a＝(a1，a2，a3)②空間向量線性運(yùn)算及數(shù)量積的坐標(biāo)表示：設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；??a＝(??a1，??a2，??a3)；ab＝a1b1＋a2b2＋a3b3③空間向量平行和垂

5、直的條件：a∥b(b≠0)a＝??ba1＝??b1，a2＝??b2，a3＝??b3(??∈R)；??a⊥bab＝0a1b1＋a2b2＋a3b3＝0??④向量的夾角與向量長(zhǎng)度的坐標(biāo)計(jì)算公式：設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則||||232221232221bbbaaa??????????bbbaaa3，則]2π0[???????|||||||cos|vuvuvu③二面角及其度量：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形

6、叫做二面角記作??－l－??在二面角的棱上任取一點(diǎn)O，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作射線OA⊥l，OB⊥l，則∠AOB叫做二面角??－l－??的平面角利用向量求二面角的平面角有兩種方法：方法一：如圖，若AB，CD分別是二面角??－l－??的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則二面角??－l－??的大小就是向量的夾角的大小CDAB與方法二：如圖，m1，m2分別是二面角的兩個(gè)半平面??，??的法向量，則〈m1，m2〉與該二面角的大小相等或互補(bǔ)(4)根據(jù)題

7、目特點(diǎn)，同學(xué)們可以靈活選擇運(yùn)用向量方法與綜合方法，從不同角度解決立體幾何問題【復(fù)習(xí)要求復(fù)習(xí)要求】1了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示2掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示3掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示；能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直4理解直線的方向向量與平面的法向量5能用向量語(yǔ)言表述線線、線面、面面的垂直、平行關(guān)系6能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算問題【例題分析例