高數(shù)上冊知識點

1、高等數(shù)學(xué)（上）知識點第1頁共7頁高等數(shù)學(xué)上冊知識點高等數(shù)學(xué)上冊知識點一、一、函數(shù)與極限函數(shù)與極限（一）（一）函數(shù)函數(shù)1、函數(shù)定義及性質(zhì)（有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性）函數(shù)定義及性質(zhì)（有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性）；2、反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、函數(shù)的運算；反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、函數(shù)的運算；3、初等函數(shù)：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)、雙曲函數(shù)、反雙曲函數(shù)；初等函數(shù)：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)、雙曲函數(shù)、反

2、雙曲函數(shù)；4、函數(shù)的連續(xù)性與間斷點；函數(shù)的連續(xù)性與間斷點；函數(shù)函數(shù)在連續(xù)連續(xù))(xf0x)()(lim00xfxfxx??間斷點間斷點第一類：左右極限均存在第一類：左右極限均存在.(可去間斷點、跳躍間斷點可去間斷點、跳躍間斷點)第二類：左右極限、至少有一個不存在第二類：左右極限、至少有一個不存在.(無窮間斷點、振蕩間斷點無窮間斷點、振蕩間斷點)5、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：有界性與最大值最小值定理、零點定理、介值定理及其推論閉區(qū)間上連續(xù)函

3、數(shù)的性質(zhì)：有界性與最大值最小值定理、零點定理、介值定理及其推論.（二）（二）極限極限1、定義定義1）數(shù)列極限數(shù)列極限:???????????????axNnNaxnnn0lim2）函數(shù)極限函數(shù)極限:?????????????????AxfxxxAxfxx)(000)(lim00使使使左極限：左極限：右極限：右極限：)(lim)(00xfxfxx????)(lim)(00xfxfxx????)()()(lim000??????xfxfAx

4、fxx使使2、極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則1）夾逼準(zhǔn)則：夾逼準(zhǔn)則：1）)(0nnzxynnn???2）azynnnn??????limlimaxnn???lim2）單調(diào)有界準(zhǔn)則：單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界準(zhǔn)則：單調(diào)有界數(shù)列必有極限.3、無窮?。ù螅┝繜o窮?。ù螅┝?）定義：若定義：若則稱為無窮小量；若則稱為無窮小量；若則稱為無窮大量則稱為無窮大量.0lim?????lim2）無窮小的階：高階無窮小、同階無窮小、等價無窮小、無窮小的階：高階

5、無窮小、同階無窮小、等價無窮小、階無窮小階無窮小kTh1Th1)(~?????o???Th2Th2（無窮小代換）（無窮小代換）?????????????????limlimlim~~使使使使4、求極限的方法求極限的方法1)1)單調(diào)有界準(zhǔn)則；單調(diào)有界準(zhǔn)則；2)2)夾逼準(zhǔn)則；夾逼準(zhǔn)則；3)3)極限運算準(zhǔn)則及函數(shù)連續(xù)性；極限運算準(zhǔn)則及函數(shù)連續(xù)性；4)4)兩個重要極限：兩個重要極限：a)a)b)b)1sinlim0??xxxexxxxxx???

6、?????)11(lim)1(lim105）無窮小代換：（）無窮小代換：（）a)a)b)b)0?xxxxxxarctan~arcsin~tan~sin~221~cos1xx?c)c)（）d)d)（）e)e)xex~1?axaxln~1?xx~)1ln(?axxaln~)1(log?xx??~1)1(??高等數(shù)學(xué)（上）知識點第3頁共7頁則單調(diào)減少單調(diào)減少.)(xf2、極值及其判定定理：極值及其判定定理：a)a)必要條件：必要條件：在可導(dǎo)，

7、若可導(dǎo)，若為的極值點，則的極值點，則.)(xf0x0x)(xf0)(0??xfb)b)第一充分條件：第一充分條件：在的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且，則，則①若當(dāng)若當(dāng)時，時，，當(dāng)，當(dāng))(xf0x0)(0??xf0xx?0)(??xf時，時，，則，則為極大值點；為極大值點；②若當(dāng)若當(dāng)時，時，，當(dāng)，當(dāng)時，時，0xx?0)(??xf0x0xx?0)(??xf0xx?，則，則為極小值點；為極小值點；③若在若在的兩側(cè)的兩側(cè)不變號，則不變號，則不是

8、極值點不是極值點.0)(??xf0x0x)(xf?0xc)c)第二充分條件：第二充分條件：在處二階可導(dǎo)，且處二階可導(dǎo)，且，，則，則)(xf0x0)(0??xf0)(0???xf①若，則，則為極大值點；為極大值點；②若，則，則為極小值點為極小值點.0)(0???xf0x0)(0???xf0x3、凹凸性及其判斷，拐點凹凸性及其判斷，拐點1）在區(qū)間在區(qū)間I上連續(xù)，若上連續(xù)，若，則稱，則稱在區(qū)間在區(qū)間I上的圖形是凹上的圖形是凹)(xf2)()(

9、)2(212121xfxfxxfIxx?????)(xf的；若的；若，則稱，則稱在區(qū)間在區(qū)間I上的圖形是凸的上的圖形是凸的.2)()()2(212121xfxfxxfIxx?????)(xf2）判定定理：）判定定理：在上連續(xù)，在上連續(xù)，在上有一階、二階導(dǎo)數(shù)，則上有一階、二階導(dǎo)數(shù)，則)(xf][ba)(baa)a)若則在上的圖形是凹的；上的圖形是凹的；0)()(?????xfbax)(xf][bab)b)若則在上的圖形是凸的上的圖形是凸的

10、.0)()(?????xfbax)(xf][ba3）拐點：設(shè)）拐點：設(shè)在區(qū)間在區(qū)間I上連續(xù)，上連續(xù)，是的內(nèi)點，如果曲線的內(nèi)點，如果曲線經(jīng)過點經(jīng)過點時，時，)(xfy?0x)(xf)(xfy?))((00xfx曲線的凹凸性改變了，則稱點曲線的凹凸性改變了，則稱點為曲線的拐點為曲線的拐點.))((00xfx（五）（五）不等式證明不等式證明1、利用微分中值定理；利用微分中值定理；2、利用函數(shù)單調(diào)性；、利用函數(shù)單調(diào)性；3、利用極值（最值）、利用

11、極值（最值）.（六）（六）方程根的討論方程根的討論1、連續(xù)函數(shù)的介值定理；、連續(xù)函數(shù)的介值定理；2、RolleRolle定理；定理；3、函數(shù)的單調(diào)性；、函數(shù)的單調(diào)性；4、極值、最值；、極值、最值；5、凹凸性、凹凸性.（七）（七）漸近線漸近線1、鉛直漸近線：鉛直漸近線：，則，則為一條鉛直漸近線；為一條鉛直漸近線；???)(limxfaxax?2、水平漸近線：水平漸近線：，則，則為一條水平漸近線；為一條水平漸近線；bxfx???)(limb