高考數(shù)學空間向量例題

1、1(2010(2010遼寧理遼寧理1919））已知三棱錐P－ABC中，PA⊥面ABC，AB⊥AC，PA=AC=，N為AB上一點，AB=4ANMS分別為PBBC的中點.12AB證明：CM⊥SN；審題要津：本題空間坐標系易建立，可用坐標法.證明：設PA=1，以A為原點，射線AB，AC，AP分別為x，y，z軸正向建立空間直角坐標系如圖，則P（001），C（010），B（200），M（10），12N（00），S（10）1212111(11)(0

2、)222CMSN??????????????因為，所以CM⊥SN.110022CMSN???????????????【點評點評】對坐標系易建立的空間線線垂直判定（證明）問題，常用向量法，即通過證明所證直線的方向向量的數(shù)量積為0證明兩直線垂直.例2(2010(2010天津理天津理19)19)在長方體中，、1111ABCDABCD?E分別是棱上的點，==FBC1CCCFAB2CE=.證明平面1::ABADAA1:2:4AF?1AED審題要津

3、：本題空間坐標系易建立，可用坐標法.解析：如圖所示，建立空間直角坐標系，點A為坐標原點，設依題意得1AB?(020)D(121)F1(004)A3102E??????已知于是=0，(121)AF?????13142EA?????????????1102ED????????????AF????1EA????AF????=0.因此，又ED????1AFEA?AFED?1EAEDE??所以平面AF?1AED【點評點評】對坐標系易建立的空間線面

4、垂直問題，通常用向量法，先求出平面的法向量和直線的方向向量，證明平面法向量與直線的方向向量平行或者直接用向量法證明直線與平面內兩條相交直線垂直，再用線面垂直判定定理即可.例3（2010年山東文）在如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形，平面，ABCDMA?ABCD則=（，2，2），則==0，BF????02x?BF?????m031(2)2(1)22x???????解得=1，∴當F為中點時，∥平面.0x11CD1BF1ABE【點評點評】對于

5、易建立坐標系的線面平行問題的向量解法，有兩種思路：（1）用共面向量定理，證明直線的方向向量能用平面內兩條相交直線的方向向量表示出來，即這三個向量共線，根據(jù)共面向量概念和直線在平面外，可得線面平行；（2）求出平面法向量，然后證明法向量與直線的方向向量垂直即可.對于探索性問題，通常先假設成立，設出相關點的坐標，利用相關知識，列出關于坐標的方程，若方程有解，則存在，否則不存在.注意，（1）設點的坐標時，利用點在某線段上，設出點分線段所成的比，

6、用比表示坐標可以減少未知量，簡化計算(2)注意點的坐標的范圍.例5在三棱柱中，側棱垂直于底面，在底面ABC中=D是BC111ABCABC?ABC?090上一點，且∥面，為的中點，求證：面1AB1ACD1D11BC∥面.11ABD1ACD審題要津：本題的坐標系容易建立，可用向量法.解析：以B點為原點，如圖建立坐標系，設AB=，BC=，=，則A（00），(0，，)，a2b1BBca1C2bc(00)，(，0，)，∴(0，，)，設D(0，1B

7、c1Aac1Dbc，0)（0≤≤），0y0y2b∴=(－，，0)，=(－，，)，=(，0，)，=（0，，），AD????a0y1AC?????a2bc1BA????ac1BD?????bc設面的法向量為=(，，)，則==0且=1ACDm1x1y1zAD?????m101axyy??1AC??????m=0，取=，則=，=，1112axbycz???1ya1x0y1z02ayabc?則=（，，），又∵∥面，m0ya02ayabc?1AB1

8、ACD∴==0，解得=，∴=（，，），1BA?????m002ayabaycc???0ybmbaabc?設面的法向量為=()則==0且==0，11ABDn2x2y2z1BA?????n22axcz?1BD??????n22bycz?取=1，則=，=，則=(，，1)，2z2xca?2ycb?nca?cb?∴=，∴∥，∴面∥面.ncab?mmn11ABD1ACD【點評點評】對面面平行問題的向量方解法有兩種思路，（1）利用向量證明一個面內兩條