均值不等式公式完全總結(jié)歸納(非常實用)

1、均值不等式不等式歸納總結(jié)歸納總結(jié)1.(1)若，則(2)若，則（當且（當且僅當Rba?abba222??Rba?222baab??時取“=”）ba?2.(1)若，則(2)若，則（當且（當且僅當時取Rba?abba??2Rba?abba2??ba?“=”）(3)若，則(當且當且僅當時取“=”）Rba?22????????baabba?3.若，則(當且當且僅當時取“=”）0x?12xx??1x?若，則(當且當且僅當時取“=”）0x?12xx?

2、??1x??若，則(當且當且僅當時取“=”）0x?111222xxxxxx??????即或ba?4.若，則(當且當且僅當時取“=”）0?ab2??abbaba?若，則(當且當且僅當時取“=”）0ab?222abababbababa??????即或ba?5.若，則（當且（當且僅當時取“=”）Rba?2)2(222baba???ba?『ps.(1)當兩個正數(shù)的當兩個正數(shù)的積為積為定植定植時，可以求它，可以求它們的和的最小的和的最小值，當兩個

3、正數(shù)的和，當兩個正數(shù)的和為定植定植時，可以求它，可以求它們的積的最小的最小值，正所，正所謂“積定和最小，和定定和最小，和定積最大最大”(2)求最求最值的條件的條件“一正，二定，三取等一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最定理在求最值、比、比較大小、求大小、求變量的取量的取值范圍、證明不等式、解決明不等式、解決實際實際問題問題方面有廣泛的方面有廣泛的應用』(2)當x＞0時，y＝x＋≥2＝2；1x當x＜0時，y＝x＋=－（－－（－x－）≤

4、－2=－21x1x∴值域為（－（－∞，－，－2]∪[2，∞）解題技巧技巧技巧一：湊技巧一：湊項例已知已知，求函數(shù)，求函數(shù)的最大的最大值。54x?14245yxx????解：因解：因，所以首先要，所以首先要“調(diào)整”符號，又符號，又不是常數(shù)，所不是常數(shù)，所450x??1(42)45xx??A以對要進行拆、湊行拆、湊項，42x?，55404xx?????11425434554yxxxx?????????????????231????當且當且僅

5、當，即，即時，上式等號成立，故當，上式等號成立，故當時，。15454xx???1x?1x?max1y?評注：本注：本題需要需要調(diào)整項的符號，又要配湊的符號，又要配湊項的系數(shù)，使其的系數(shù)，使其積為積為定值。技巧二：湊系數(shù)技巧二：湊系數(shù)例1.當時，求，求的最大的最大值。(82)yxx??解析：由解析：由知，知，，利用均，利用均值不等式求最不等式求最值，必，必須和為定值或積為積為定值，此題為題為兩個式子兩個式子積的形式，但其和不是定的形式，但

6、其和不是定值。注意到。注意到為定值，故只，故只2(82)8xx???需將需將湊上一個系數(shù)即可。湊上一個系數(shù)即可。(82)yxx??當，即，即x＝2時取等號取等號當x＝2時，的最大的最大值為值為8。(82)yxx??評注：本注：本題無法直接運用均無法直接運用均值不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可，從而可利用均利用均值不等式求最大不等式求最大值。變式：式：設(shè)，求函數(shù)，求函數(shù)的最大的最大值。230??x