不等式知識點(diǎn)歸納

1、第三章第三章不等式不等式3.13.1、不等關(guān)系與不等式、不等關(guān)系與不等式1、不等式的基本性質(zhì)①（對稱性）abba???②（傳遞性）abbcac????③（可加性）abacbc?????（同向可加同向可加性）dbcadcba??????（異向可減異向可減性）dbcadcba??????④（可積性）bcaccba????0bcaccba????0⑤（同向正數(shù)同向正數(shù)可乘性）00abcdacbd??????（異向正數(shù)異向正數(shù)可除性）00aba

2、bcdcd??????⑥（平方法則）0(1)nnababnNn??????且⑦（開方法則）0(1)nnababnNn??????且⑧（倒數(shù)法則）babababa110110????????2、幾個重要不等式①（當(dāng)且僅當(dāng)時取號）.變形公式：??222abababR???，ab?““?22.2abab??②（基本不等式）（基本不等式）（當(dāng)且僅當(dāng)（當(dāng)且僅當(dāng)時取到等號）時取到等號）.2abab????abR??，ab?變形公式：（也可用柯西不等

3、式2abab??2.2abab????????）22222()()()abcdacbd????用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個條件“一正、二一正、二定、三相等定、三相等”.③（三個正數(shù)的算術(shù)（三個正數(shù)的算術(shù)—幾何平均不等式）幾何平均不等式）（當(dāng)且僅當(dāng)33abcabc???()abcR??、、時取到等號）.abc??④??222abcabbccaabR??????，（當(dāng)且僅當(dāng)時取到等號）.abc??⑤3333

4、(000)abcabcabc??????⑥一般形式的柯西不等式：2222221212(...)(...)nnaaabbb??????21122(...).nnababab????⑦向量形式的柯西不等式：設(shè)是兩個向量，則當(dāng)且僅當(dāng)是零向量，或存在實(shí)數(shù)，使???????????????????????k時，等號成立.k???????⑧排序不等式（排序原理）：設(shè)為兩組實(shí)數(shù).1212......nnaaabbb??????是的任一排列，則12..

5、.nccc12...nbbb12111122......nnnnnabababacacac????????（反序和反序和亂序和亂序和順序和順序和）1122....nnababab??????當(dāng)且僅當(dāng)或時，反序和等于順序和.12...naaa???12...nbbb???⑨琴生不等式:（特例:凸函數(shù)、凹函數(shù)）若定義在某區(qū)間上的函數(shù)對于定義域中任意兩點(diǎn)有()fx1212()xxxx?12121212()()()()()().2222xxfx

6、fxxxfxfxff??????或則稱f(x)為凸（或凹）函數(shù).4、不等式證明的幾種常用方法常用方法有：比較法（作差，作商法）比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法，函數(shù)單調(diào)性法，數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法等.常見不等式的放縮方法：①舍去或加上一些項(xiàng)，如22131()()242aa????②將分子或分母放大（縮?。?，如211(1)kkk??211(1)kkk??2212()21kkkkkk?????