用均值不等式求最值的方法和技巧

1、1用均用均值不等式求最不等式求最值的方法和技巧的方法和技巧桃源縣第九中學(xué)朱梅芳均值不等式是求函數(shù)最值的一個重要工具，同時也是高考?？嫉囊粋€重要知識點。下面談?wù)勥\用均值不等式求解一些函數(shù)的最值問題的方法和技巧。一、幾個重要的均一、幾個重要的均值不等式不等式①當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，“=”號成立；，、)(222222Rbabaababba??????②當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，“=”號成立；，、)(222?????????????Rbabaababba③

2、當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時“=”，、、)(33333333?????????Rcbacbaabcabccba號成立；④當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時“=”)(3333???????????????Rcbacbaabcabccba、、號成立.注：注：①注意運用均值不等式求最值時的條件：一“正”、二“定”、三“等”；②熟悉一個重要的不等式鏈：。ba112?2abab????222ba?二、用均二、用均值不等式求最不等式求最值的常的常見的方法和技巧的方法和技

3、巧1、求幾個正數(shù)和的最小、求幾個正數(shù)和的最小值。例1、求函數(shù)的最小值。21(1)2(1)yxxx????解析：解析：21(1)2(1)yxxx????21(1)1(1)2(1)xxx??????21111(1)222(1)xxxx????????，當(dāng)且僅當(dāng)即時，“=”號成3211131222(1)xxx???????312??52?211(1)22(1)xxx????2x?立，故此函數(shù)最小值是。52評析：析：利用均值不等式求幾個正數(shù)和的

4、最小值時，關(guān)鍵在于構(gòu)造條件，使其積為常數(shù)。通常要通過添加常數(shù)、拆項（常常是拆底次的式子）等方式進行構(gòu)造。2、求幾個正數(shù)、求幾個正數(shù)積的最大的最大值。例2、求下列函數(shù)的最大值：3解法三解法三：（導(dǎo)數(shù)法）由得，當(dāng)時，，4()fxxx??24()1fxx???(01]x?24()10fxx????則函數(shù)在上是減函數(shù)。故當(dāng)時，在上有最小4()fxxx??(01]1x?4()fxxx??(01]值5。解法四解法四：（拆分法），當(dāng)且僅當(dāng)4()fxx

5、x??)10(??x13()xxx???1321xx???5?時“=”號成立，故此函數(shù)最小值是5。1x?評析：析：求解此類問題，要注意靈活選取方法，特別是單調(diào)性法、導(dǎo)數(shù)法具有一般性，配方法及拆分法也是較為簡潔實用得方法。4、條件最、條件最值問題值問題。例4、已知正數(shù)x、y滿足，求的最小值。811xy??2xy?解法一解法一：（利用均值不等式）當(dāng)且僅當(dāng)即2xy?8116()(2)10xyxyxyyx??????1610218xyyx???

6、?81116xyxyyx??????????時“=”號成立，故此函數(shù)最小值是18。123xy??解法二解法二：（消元法）由得，由則811xy??8xyx??00088xyxxx???????又2xy?。當(dāng)且僅當(dāng)22(8)1616162(8)108888xxxxxxxxxx?????????????????162(8)10188xx??????即時“=”號成立，故此函數(shù)最小值是18。1688xx???123xy??此時解法三解法三：（三角

7、換元法）令則有228sin1cosxxxy?????????228sin1cosxxyx?????????則22822sincosxyxx???2222228csc2sec8(1cot)2(1tan)108cot2tanxxxxxx?????????，易求得時“=”號成立，故最小值是18。22102(8cot)(2tan)xx???18?123xy??此時評析：析：此類問題是學(xué)生求解易錯得一類題目，解法一學(xué)生普遍有這樣一種錯誤的求解方法