圓錐曲線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)

1、圓錐曲線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)第1頁(yè)共9頁(yè)圓錐曲線(xiàn)光學(xué)性質(zhì)的證明及應(yīng)用初探圓錐曲線(xiàn)光學(xué)性質(zhì)的證明及應(yīng)用初探一、一、圓錐曲線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)圓錐曲線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)11橢圓的光學(xué)性質(zhì)：橢圓的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過(guò)橢圓反射后，反射光線(xiàn)都匯聚到橢圓的從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過(guò)橢圓反射后，反射光線(xiàn)都匯聚到橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)上；另一個(gè)焦點(diǎn)上；(見(jiàn)圖見(jiàn)圖1.1)1.1)橢圓的這種光學(xué)特性，常被用來(lái)設(shè)計(jì)一些照明設(shè)備或聚熱裝置例如在處放置一個(gè)熱源，那么1F紅外

2、線(xiàn)也能聚焦于處，對(duì)處的物體加熱。電影放映機(jī)的反光鏡也是這個(gè)原理。2F2F證明：由導(dǎo)數(shù)可得證明：由導(dǎo)數(shù)可得切線(xiàn)的斜率，而的斜率，的斜率l02020xxbxkyay?????1PF010ykxc??2PF020ykxc??∴到所成的角滿(mǎn)足，l1PF??????2002222220000012222001000200tan11ybxxcayaybxbcxkkbxykkabxyacyxcay???????????????在橢圓上，在橢圓上，∴，

3、同理，到所成的角滿(mǎn)足，???00Pxy20tanbcy???2PFl??2220tan1kkbkkcy??????∴，而，∴tantan?????02?????????????????12雙曲線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)雙曲線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線(xiàn)一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過(guò)雙曲線(xiàn)反射后，反射光線(xiàn)的反向延長(zhǎng)線(xiàn)：從雙曲線(xiàn)一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過(guò)雙曲線(xiàn)反射后，反射光線(xiàn)的反向延長(zhǎng)線(xiàn)都匯聚到雙曲線(xiàn)的另一個(gè)焦點(diǎn)上；都匯聚到雙曲線(xiàn)的另一個(gè)焦點(diǎn)上；(見(jiàn)圖見(jiàn)圖1.2)1.2)雙

4、曲線(xiàn)這種反向虛聚焦性質(zhì)，在天文望遠(yuǎn)鏡的設(shè)計(jì)等方面，也能找到實(shí)際應(yīng)用13拋物線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)拋物線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)：從拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)反射后，反射光線(xiàn)都平行于拋從拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)反射后，反射光線(xiàn)都平行于拋物線(xiàn)的軸（如圖物線(xiàn)的軸（如圖1.31.3）拋物線(xiàn)這種聚焦特性，成為聚能裝置或定向發(fā)射裝置的最佳選擇例如探照燈、汽車(chē)大燈等反射鏡面的縱剖線(xiàn)是拋物線(xiàn)，把光源置于它的焦點(diǎn)處，經(jīng)鏡面反射后能成為平行光束，使照射距離加大，并可

5、通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸方向，控制照射方向衛(wèi)星通訊像碗一樣接收或發(fā)射天線(xiàn)，一般也是以?huà)佄锞€(xiàn)繞對(duì)稱(chēng)軸旋轉(zhuǎn)得到的，把接收器置于其焦點(diǎn)，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸跟蹤對(duì)準(zhǔn)衛(wèi)星，這樣可以把衛(wèi)星發(fā)射的微弱電磁波訊號(hào)射線(xiàn)，最大限度地集中到接收器上，保證接收效果；反之，把發(fā)射裝置安裝在焦點(diǎn)，把對(duì)稱(chēng)軸跟蹤對(duì)準(zhǔn)衛(wèi)星，則可以使發(fā)射的電磁波訊號(hào)射線(xiàn)能平行地到達(dá)衛(wèi)星的接收裝置，同樣保證接收效果最常見(jiàn)的太陽(yáng)能熱水器，它也是以?huà)佄锞€(xiàn)鏡面聚集太陽(yáng)光，以加熱焦點(diǎn)處的貯水器的?圖1.

6、3F2??F1圖1.2??AF1F2DO圖1.1B圓錐曲線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)第3頁(yè)共9頁(yè)證明：證明：由……①，22221yxba???2222(1)xyba??1當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)斜率一定存在，且，xa??Pk0|xxky??∴對(duì)①式求導(dǎo)：，∴，∴切線(xiàn)方程2222byyxa?02020|xxbxkyay???為……②，200020()bxyyxxay????∵點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，故代入②得……③，00()Pxy22221xyab??2200221xya

7、b??00221xxyyab??而當(dāng)時(shí)，切線(xiàn)方程為，也滿(mǎn)足③式，故是雙曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)xa??00y?xa??00221xxyyab??的切線(xiàn)方程.00()Pxy預(yù)備定理預(yù)備定理3.3.若點(diǎn)若點(diǎn)是拋物線(xiàn)是拋物線(xiàn)上任一點(diǎn)，則拋物線(xiàn)過(guò)該點(diǎn)的切線(xiàn)方程是上任一點(diǎn)，則拋物線(xiàn)過(guò)該點(diǎn)的切線(xiàn)方程是00()Pxy22ypx?00()yypxx??證明：證明：由，對(duì)求導(dǎo)得：，22ypx?x0022|xxpyypkyy?????當(dāng)時(shí)，切線(xiàn)方程為，即，00y?00()

8、pyyxxy???2000yyypxpx???而………①，而當(dāng)時(shí)，切線(xiàn)方程為也滿(mǎn)足①式，200002()ypxyypxx????0000yx??00x?故拋物線(xiàn)在該點(diǎn)的切線(xiàn)方程是.00()yypxx??定理定理1.1.橢圓上一個(gè)點(diǎn)橢圓上一個(gè)點(diǎn)的兩條焦半徑的夾角被橢圓在點(diǎn)的兩條焦半徑的夾角被橢圓在點(diǎn)處的法線(xiàn)平分處的法線(xiàn)平分（圖（圖2.12.1）PP已知：如圖，橢圓的方程為，分別是其左、右焦點(diǎn)，是過(guò)橢圓上一點(diǎn)C22221xyab??12FF