數(shù)學(xué)競賽教案講義（6）——三角函數(shù)

1、高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。1第六章第六章三角函數(shù)三角函數(shù)一、基礎(chǔ)知識一、基礎(chǔ)知識定義1角，一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到的圖形叫做角。若旋轉(zhuǎn)方向?yàn)槟鏁r針方向，則角為正角，若旋轉(zhuǎn)方向?yàn)轫槙r針方向，則角為負(fù)角，若不旋轉(zhuǎn)則為零角。角的大小是任意的。定義2角度制，把一周角360等分，每一等價為一度，弧度制：把等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圓心角的弧長為L，則其弧度數(shù)的絕對值|α

2、|=其中r是圓的半徑。rL定義3三角函數(shù)，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，把角α的頂點(diǎn)放在原點(diǎn)，始邊與x軸的正半軸重合，在角的終邊上任意取一個不同于原點(diǎn)的點(diǎn)P，設(shè)它的坐標(biāo)為（xy），到原點(diǎn)的距離為r則正弦函數(shù)sinα=余弦函數(shù)cosα=正切函數(shù)tanα=，余切函數(shù)cotα=，正割函ryrxxyyx數(shù)secα=余割函數(shù)cscα=xr.yr定理1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，倒數(shù)關(guān)系：tanα=sinα=，cosα=?cot1?csc1；商數(shù)關(guān)系：tanα=

3、；乘積關(guān)系：?sec1?????sincoscotcossin?tanαcosα=sinαcotαsinα=cosα；平方關(guān)系：sin2αcos2α=1tan2α1=sec2αcot2α1=csc2α.定理2誘導(dǎo)公式（Ⅰ）sin(απ)=sinαcos(πα)=cosαtan(πα)=tanαcot(πα)=cotα（Ⅱ）sin(α)=sinαcos(α)=cosαtan(α)=tanαcot(α)=cotα（Ⅲ）sin(πα)=sin

4、αcos(πα)=cosαtan=(πα)=tanαcot(πα)=cotα（Ⅳ）sin=cosαcos?????????2=sinαtan=cotα（奇變偶不變，符號看象限）。?????????2?????????2定理3正弦函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)圖象可得y=sinx（x∈R）的性質(zhì)如下。單調(diào)區(qū)間：在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，最小正周????????2222????kk????????????23222kk期為2.奇偶數(shù).有界性：當(dāng)

5、且僅當(dāng)x=2kx時，y取最大值1，當(dāng)且僅當(dāng)x=3k時?2??2?y取最小值1。對稱性：直線x=k均為其對稱軸，點(diǎn)（k0）均為其對稱中心，值域?2??為[1，1]。這里k∈Z.定理4余弦函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)圖象可得y=cosx(x∈R)的性質(zhì)。單調(diào)區(qū)間：在區(qū)間[2kπ2kππ]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[2kππ2kπ]上單調(diào)遞增。最小正周期為2π。奇偶性：偶函數(shù)。高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。3定理11輔助角公式：

6、如果ab是實(shí)數(shù)且a2b20，則取始邊在x軸正半軸，終邊經(jīng)過點(diǎn)?(ab)的一個角為β，則sinβ=cosβ=，對任意的角α.22bab?22baa?asinαbcosα=sin(αβ).)(22ba?定理12正弦定理：在任意△ABC中有，其中abc分別是RCcBbAa2sinsinsin???角A，B，C的對邊，R為△ABC外接圓半徑。定理13余弦定理：在任意△ABC中有a2=b2c22bcosA，其中abc分別是角A，B，C的對邊。定理

7、14圖象之間的關(guān)系：y=sinx的圖象經(jīng)上下平移得y=sinxk的圖象；經(jīng)左右平移得y=sin(x)的圖象（相位變換）；縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，得到y(tǒng)=sin(??1x?)的圖象（周期變換）；橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍，得到y(tǒng)=Asinx的圖象0??（振幅變換）；y=Asin(x)(0)的圖象（周期變換）；橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼???A倍，得到y(tǒng)=Asinx的圖象（振幅變換）；y=Asin(x)(0)(|A|叫作振幅)

8、的圖象向????右平移個單位得到y(tǒng)=Asinx的圖象。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m???定義4函數(shù)y=sinx的反函數(shù)叫反正弦函數(shù)，記作y=arcsinx(x∈[11])，函????????????????22??x數(shù)y=cosx(x∈[0π])的反函數(shù)叫反余弦函數(shù)，記作y=arccosx(x∈[11]).函數(shù)y=tanx的反函數(shù)叫反正切函數(shù)。記作y=arctanx(x∈[∞∞]).y=cosx(x∈[0π])的反??????

9、??????????22??x函數(shù)稱為反余切函數(shù)，記作y=arccotx(x∈[∞∞]).定理15三角方程的解集，如果a∈(11)，方程sinx=a的解集是x|x=nπ(1)narcsinan∈Z。方程cosx=a的解集是x|x=2kxarccosak∈Z.如果a∈R，方程tanx=a的解集是?x|x=kπarctanak∈Z。恒等式：arcsinaarccosa=；arctanaarccota=.2?2?定理16若，則sinxxtan