三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

1、1.4 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),1.4.1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象,2.任意給定一個實數(shù)x，對應(yīng)的正弦值（sinx）、余弦值(cosx)是否存在？惟一？,問題提出,,,1.在單位圓中，角α的正弦線、余弦線分別是什么？,,sinα=MP,cosα=OM,4.一個函數(shù)總具有許多基本性質(zhì)，要直觀、全面了解正、余弦函數(shù)的基本特性，我們應(yīng)從哪個方面人手？,3.設(shè)實數(shù)x對應(yīng)的角的正弦值為y，則對應(yīng)關(guān)系y=sinx就是一個函數(shù)，稱為正弦函數(shù)；同樣y=

2、cosx也是一個函數(shù)，稱為余弦函數(shù)，這兩個函數(shù)的定義域是什么？,正、余弦函數(shù)的圖象,知識探究（一）：正弦函數(shù)的圖象,思考1：作函數(shù)圖象最原始的方法是什么？,思考2：用描點法作正弦函數(shù)y=sinx在[0，2π]內(nèi)的圖象，可取哪些點？,思考3：如何在直角坐標(biāo)系中比較精確地描出這些點，并畫出y=sinx在[0，2π]內(nèi)的圖象？,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,x,y,1,-1,O,2π,π,,思考4：觀察函數(shù)y=sinx在[0，2π]內(nèi)

3、的圖象，其形狀、位置、凸向等有何變化規(guī)律？,,,,,,,,,,,,,思考5：在函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]的圖象上，起關(guān)鍵作用的點有哪幾個？,,,,思考6：當(dāng)x∈[2π，4π], [-2π，0],…時，y=sinx的圖象如何？,思考7：函數(shù)y=sinx，x∈R的圖象叫做正弦曲線，正弦曲線的分布有什么特點？,思考8：你能畫出函數(shù)y=|sinx|，x∈[0，2π]的圖象嗎？,,知識探究（二）：余弦函數(shù)的圖象,思考1：觀察函數(shù)y=x2

4、與y=(x＋1)2 的圖象，你能發(fā)現(xiàn)這兩個函數(shù)的圖象有什么內(nèi)在聯(lián)系嗎？,思考2：一般地，函數(shù)y=f(x＋a)(a>0)的圖象是由函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到的？,向左平移a個單位.,思考3：設(shè)想由正弦函數(shù)的圖象作出余弦函數(shù)的圖象，那么先要將余弦函數(shù)y=cosx轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)，你可以根據(jù)哪個公式完成這個轉(zhuǎn)化？,思考4：由誘導(dǎo)公式可知，y=cosx與 是同一個函數(shù)，如何作函數(shù)

5、 在[0，2π]內(nèi)的圖象？,,思考5：函數(shù)y=cosx，x∈[0，2π]的圖象如何？其中起關(guān)鍵作用的點有哪幾個？,,思考6：函數(shù)y=cosx，x∈R的圖象叫做余弦曲線，怎樣畫出余弦曲線，余弦曲線的分布有什么特點？,理論遷移,例1 用“五點法”畫出下列函數(shù)的簡圖： (1)y=1+sinx，x∈[0，2π]； (2)y=-cosx，x∈[0，2π] .,,,y=1+sinx,,,y=-cosx,,例2 當(dāng)x∈[0，2π]時，求不等式

6、 的解集.,,小結(jié)作業(yè),1.正、余弦函數(shù)的圖象每相隔2π個單位重復(fù)出現(xiàn)，因此，只要記住它們在[0，2π]內(nèi)的圖象形態(tài)，就可以畫出正弦曲線和余弦曲線.,2.作與正、余弦函數(shù)有關(guān)的函數(shù)圖象，是解題的基本要求，用“五點法”作圖是常用的方法.,3.正、余弦函數(shù)的圖象不僅是進(jìn)一步研究函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)，也是解決有關(guān)三角函數(shù)問題的工具，這是一種數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.,作業(yè)：P34練習(xí)：2 P46習(xí)題1.4 A組: 1,第一課

7、時,1.4.2 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì),問題提出,,,1.正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象分別是什么？二者有何相互聯(lián)系？,,,2.世界上有許多事物都呈現(xiàn)“周而復(fù)始”的變化規(guī)律，如年有四季更替，月有陰晴圓缺.這種現(xiàn)象在數(shù)學(xué)上稱為周期性，在函數(shù)領(lǐng)域里，周期性是函數(shù)的一個重要性質(zhì).,函數(shù)的周期性,知識探究（一）：周期函數(shù)的概念,思考1：由正弦函數(shù)的圖象可知, 正弦曲線每相隔2π個單位重復(fù)出現(xiàn)， 這一規(guī)律的理論依據(jù)是什么？,,.,思考2：設(shè)f(x)

8、=sinx，則 可以怎樣表示？其數(shù)學(xué)意義如何？,思考3：為了突出函數(shù)的這個特性，我們把函數(shù)f(x)=sinx稱為周期函數(shù)，2kπ為這個函數(shù)的周期.一般地，如何定義周期函數(shù)？,對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有f(x+T)=f(x), 那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T就叫做這個函數(shù)的周期.,思考4：周期函數(shù)的周期是否惟一？正弦函數(shù)的周期有哪些？,思考5：如果在周期函數(shù)f(x)的

9、所有周期中存在一個最小的正數(shù), 則這個最小正數(shù)叫做f(x)的最小正周期.那么, 正弦函數(shù)的最小正周期是多少？為什么？,正、余弦函數(shù)是周期函數(shù)，2kπ（k∈Z, k≠0）都是它的周期，最小正周期是2π．,思考6：就周期性而言，對正弦函數(shù)有什么結(jié)論？對余弦函數(shù)呢？,知識探究（二）：周期概念的拓展,思考1：函數(shù)f(x)=sinx（x≥0）是否為周期函數(shù)？函數(shù)f(x)=sinx（x≤0）是否為周期函數(shù)？,思考2：函數(shù)f(x)=sinx（x>

10、;0）是否為周期函數(shù)？函數(shù)f(x)=sinx（x≠3kπ）是否為周期函數(shù)？,思考3：函數(shù)f(x)=sinx，x∈[0，10π]是否為周期函數(shù)？周期函數(shù)的定義域有什么特點？,思考4：函數(shù)y=3sin(2x＋4)的最小正周期是多少？,思考6：如果函數(shù)y=f(x)的周期是T，那么函數(shù)y=f(ωx＋φ)的周期是多少？,理論遷移,例2 已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＋f(x)=0，試判斷f(x)是否為周期函數(shù)？,例3 已知定義在R

11、上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)=f(x－1)，且當(dāng)x∈[0，2]時，f(x)=x－4，求f(10)的值.,小結(jié)作業(yè),1.函數(shù)的周期性是函數(shù)的一個基本性質(zhì)，判斷一個函數(shù)是否為周期函數(shù)，一般以定義為依據(jù)，即存在非零常數(shù)T，使f(x＋T)=f(x)恒成立.,2.周期函數(shù)的周期與函數(shù)的定義域有關(guān)，周期函數(shù)不一定存在最小正周期.,3.周期函數(shù)的周期有許多個，若T為周期函數(shù)f(x)的周期，則T的整數(shù)倍也是f(x)的周期.,,,4.函數(shù)

12、 和 的最小正周期都是 ，這是正、余弦函數(shù)的周期公式，解題時可以直接應(yīng)用.,作業(yè)：P36練習(xí)：1，2，3.,1.4.2 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì),第二課時,問題提出,1.周期函數(shù)是怎樣定義的？,對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有f(x +T)=f(x), 那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非

13、零常數(shù)T就叫做這個函數(shù)的周期.,2.正、余弦函數(shù)的最小正周期是多少？函數(shù) 和 的最小正周期是多少？,3.周期性是正、余弦函數(shù)所具有的一個基本性質(zhì)，此外，正、余弦函數(shù)還具有哪些性質(zhì)呢？我們將對此作進(jìn)一步探究.,函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性與最值,探究（一）：正、余弦函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,思考1：觀察下列正弦曲線和余弦曲線的對稱性，你有什么發(fā)現(xiàn)？,思考2：上述對稱性反映出正、余弦函數(shù)分別具有什么性質(zhì)？如何

14、從理論上加以驗證？,正弦函數(shù)是奇函數(shù)，余弦函數(shù)是偶函數(shù).,思考3：觀察正弦曲線，正弦函數(shù)在哪些區(qū)間上是增函數(shù)？在哪些區(qū)間上是減函數(shù)？如何將這些單調(diào)區(qū)間進(jìn)行整合？,正弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間上都是增函數(shù)；在每一個閉區(qū)間 上都是減函數(shù).,思考4：類似地，余弦函數(shù)在哪些區(qū)間上是增函數(shù)？在哪些區(qū)間上是減函數(shù)？,余弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間上都是增函數(shù)；在每一個閉區(qū)間

15、 上都是減函數(shù).,思考5：正弦函數(shù)在每一個開區(qū)間（2kπ， ＋2kπ） (k∈Z)上都是增函數(shù)，能否認(rèn)為正弦函數(shù)在第一象限是增函數(shù)？,探究（二）：正、余弦函數(shù)的最值與對稱性,思考1：觀察正弦曲線和余弦曲線，正、余弦函數(shù)是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分別為多少？,思考2：當(dāng)自變量x分別取何值時，正弦函數(shù)y=sinx取得最大值1和最小值－1？,正弦函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng) 時取最大值1, 當(dāng)且僅當(dāng)

16、 時取最小值-1,思考3：當(dāng)自變量x分別取何值時，余弦函數(shù)y=cosx取得最大值1和最小值－1？,余弦函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng) 時取最大值1, 當(dāng)且僅當(dāng) 時取最小值-1.,思考4：根據(jù)上述結(jié)論，正、余弦函數(shù)的值域是什么？函數(shù)y=Asinωx（Aω≠0）的值域是什么？,思考5：正弦曲線除了關(guān)于原點對稱外，是否還關(guān)于其它的點和直線對稱？,,正弦曲線關(guān)于點（kπ，0）和直線

17、對稱.,[-|A|，|A|],思考6：余弦曲線除了關(guān)于y軸對稱外，是否還關(guān)于其它的點和直線對稱？,,余弦曲線關(guān)于點 和直線x=kπ對稱.,理論遷移,例3 求函數(shù) ，x∈[－2π，2π]的單調(diào)遞增區(qū)間.,例2 比較下列各組數(shù)的大小:,小結(jié)作業(yè),1. 正、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)主要指周期性、奇偶性、單調(diào)性、對稱性和最值，它們都是結(jié)合圖象得出來的，要求熟練掌握.,2.正弦函數(shù)是奇函數(shù)，余弦函數(shù)是偶函數(shù).一般

18、地，y=Asinωx是奇函數(shù)，y=Acosωx（Aω≠0）是偶函數(shù).,作業(yè)：P40-41練習(xí)：1，2，3，5，6.,3.正、余弦函數(shù)有無數(shù)個單調(diào)區(qū)間和無數(shù)個最值點，簡單復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)處理.,1.4.3 正切函數(shù)的圖象與性質(zhì),問題提出,1.正、余弦函數(shù)的圖象是通過什么方法作出的？,2.正、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)包括哪些內(nèi)容？這些性質(zhì)是怎樣得到的？,3.三角函數(shù)包括正、余弦函數(shù)和正切函數(shù)，我們已經(jīng)研究了正、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)

19、， 因此, 進(jìn)一步研究正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象就成為學(xué)習(xí)的必然.,正切函數(shù)的圖象和性質(zhì),知識探究（一）：正切函數(shù)的性質(zhì),思考1：正切函數(shù)的定義域是什么？用區(qū)間如何表示？,思考2：根據(jù)相關(guān)誘導(dǎo)公式，你能判斷正切函數(shù)是周期函數(shù)嗎？其最小正周期為多少？,正切函數(shù)是周期函數(shù)，周期是π.,思考3：函數(shù) 的周期為多少？一般地，函數(shù) 的周期是什么？,思考4：根據(jù)相關(guān)誘導(dǎo)公式，你能判斷正切函數(shù)具有奇

20、偶性嗎？,正切函數(shù)是奇函數(shù),思考5：觀察下圖中的正切線，當(dāng)角x在 內(nèi)增加時，正切函數(shù)值發(fā)生什么變化？由此反映出一個什么性質(zhì)？,思考6：結(jié)合正切函數(shù)的周期性，正切函數(shù)的單調(diào)性如何？,正切函數(shù)在開區(qū)間 都是增函數(shù),思考7：正切函數(shù)在整個定義域內(nèi)是增函數(shù)嗎？正切函數(shù)會不會在某一區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)？,思考8：當(dāng)x大于 且無限接近 時，正切值如何變化？當(dāng)x小于 且無限接近

21、 時, 正切值又如何變化？由此分析，正切函數(shù)的值域是什么?,正切函數(shù)的值域是R.,知識探究（一）：正切函數(shù)的圖象,,,,,,,,思考1：類比正弦函數(shù)圖象的作法，可以利用正切線作正切函數(shù)在區(qū)間 的圖象，具體應(yīng)如何操作？,,,,思考2：上圖中,直線 和 與正切函數(shù)的圖象的位置關(guān)系如何？圖象的凸向有什么特點？,思考3：結(jié)合正切函數(shù)的周期性, 如何畫出正切函數(shù)在整個定義域內(nèi)的圖象？,,,,,思考4：正切函數(shù)在整

22、個定義域內(nèi)的圖象叫做正切曲線.因為正切函數(shù)是奇函數(shù)，所以正切曲線關(guān)于原點對稱，此外，正切曲線是否還關(guān)于其它的點和直線對稱？,,正切曲線關(guān)于點 對稱.,思考5：根據(jù)正切曲線如何理解正切函數(shù)的基本性質(zhì)？一條平行于x軸的直線與相鄰兩支曲線的交點的距離為多少？,理論遷移,例1 求函數(shù) 的定義域、周期和單調(diào)區(qū)間.,例2 試比較tan8 和tan( )的大小.,,例3 若 ，求x 的取值范

23、圍.,小結(jié)作業(yè),1.正切函數(shù)的圖象是被互相平行的直線所隔開的無數(shù)支相同形狀的曲線組成,且關(guān)于點 對稱, 正切函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)結(jié)合圖象去理解和記憶.,2.正切曲線與x軸的交點及漸近線,是確定圖象形狀、位置的關(guān)鍵要素,作圖時一般先找出這些點和線,再畫正切曲線.,3.研究正切函數(shù)問題時,一般先考察 的情形, 再拓展到整個定義域.,作業(yè):P45練習(xí):2，3，4，6.,三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 習(xí)題課,

24、例1 求下列函數(shù)的定義域和值域: (1) ； (2) .,例2 已知函數(shù) 的最小正周期為π，當(dāng) 時，求f(x)的最大值和最小值.,例3 確定下列函數(shù)的奇偶性：（1） ；（2） .,例4 已知函數(shù) 在區(qū)間 上是減