[學(xué)習(xí)]概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)柴中林第14講

1、,,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第十四講,主講教師：柴中林副教授,中國(guó)計(jì)量學(xué)院理學(xué)院,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的學(xué)科。,所以，要從隨機(jī)現(xiàn)象中去尋求統(tǒng)計(jì)規(guī)律,就應(yīng)該對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行大量的觀測(cè)。,第五章 極限定理,隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性只有在相同條件下進(jìn)行大量的重復(fù)試驗(yàn)才能呈現(xiàn)出來(lái)。,,研究隨機(jī)現(xiàn)象的大量觀測(cè)， 常采用極限形式，由此導(dǎo)致了極限定理的研究。 極限定理的內(nèi)容很廣泛, 最重要的有兩種:,,“大數(shù)定律”和“中心極限定理”。

2、,對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行大量重復(fù)觀測(cè)，各種結(jié)果的出現(xiàn)頻率具有穩(wěn)定性。,§5.1 大數(shù)定律,大量地?cái)S硬幣正面出現(xiàn)頻率,字母使用頻率,生產(chǎn)過(guò)程中廢品率,5.1.1 切比雪夫不等式,定理1: 設(shè)隨機(jī)變量X有期望μ和方差σ2，則對(duì)任給的ε> 0, 有,或,證明：只對(duì)X 是連續(xù)型情況加以證明。,設(shè)X 的概率密度函數(shù)為 f(x)，則有,放大被積函數(shù),放大積分域,5.1.2 大數(shù)定律,首先引入隨機(jī)變量序列相互獨(dú)立的概念。,定義

3、1：設(shè) X1, X2, …是一隨機(jī)變量序列。如果對(duì)任意的 n>1， X1, X2, …, Xn相互獨(dú)立,則稱X1, X2, …相互獨(dú)立。,幾個(gè)常見的大數(shù)定律,定理2 (切比雪夫大數(shù)定律):,設(shè)隨機(jī)變量序列 X1, X2, … 相互獨(dú)立，且有相同的期望和方差: E(Xi)=μ, Var(Xi) =σ2，i=1, 2, … 。,則對(duì)任意的ε>0，有,證明：,令 n→∞，并注意到概率小于等于1，得(1)式。,定理證畢。,該大

4、數(shù)定律表明：無(wú)論正數(shù)ε 怎樣小, 只要 n充分大，事件 發(fā)生 的概率均可任意地接近于 1。,即當(dāng) n充分大時(shí)， 差不多不再是隨機(jī)變量， 取值接近于其數(shù)學(xué)期望μ 的概率接近于 1。,在概率論中，將(1) 式所表示的收斂性稱為隨機(jī)變量序列 依概率收斂于μ ，記為

5、 。,下面再給出定理2的一種特例——貝努里大數(shù)定律。,設(shè)nA 是 n重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生的頻數(shù)，p是每次試驗(yàn)中A發(fā)生的概率。,引入,,于是, 有下面定理。,設(shè) nA是 n 重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生的頻數(shù)， p是 A 發(fā)生的概率，對(duì)任給的ε> 0，有,定理3 (貝努里大數(shù)定律):,或,貝努里大數(shù)定律表明：當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)n充分大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率nA / n與事件A發(fā)生的概率 p 有一定偏差的概率很小。,下面給出獨(dú)立同分布條

6、件下的大數(shù)定律,它不要求隨機(jī)變量的方差存在。,設(shè)隨機(jī)變量序列 X1, X2, … 獨(dú)立同分布，有有限的數(shù)學(xué)期 E(Xi)=μ, i=1,2,…， 則對(duì)任給 ε > 0 ，有,定理4 (辛欽大數(shù)定律):,,中心極限定理是棣莫弗 (De Moivre) 在18世紀(jì)首先提出的，到現(xiàn)在內(nèi)容已十分豐富。在這里，我們只介紹其中兩個(gè)最基本的結(jié)論。,§5.2 中心極限定理,當(dāng) n 無(wú)限增大時(shí)，獨(dú)立同分布隨機(jī)變量之 和

7、的極限分布是正態(tài)分布；,2. 當(dāng) n 很大時(shí)，二項(xiàng)分布可用正態(tài)分布近似。,由于無(wú)窮個(gè)隨機(jī)變量之和可能趨于∞，故我們不研究 n 個(gè)隨機(jī)變量之和本身，而只考慮其標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量,的極限分布。,的極限分布。,可以證明：當(dāng){ Xn } 滿足一定條件時(shí), Zn的極限分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。,考慮,概率論中，常把隨機(jī)變量之和標(biāo)準(zhǔn)化后的分布收斂于正態(tài)分布的定理稱為中心極限定理。,中心極限定理的幾種簡(jiǎn)單情形。,下面給出獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列和的中心極限定

8、理，稱作 列維——林德伯格(Levy —— Lindberg) 定理。,定理1 (列維——林德伯格定理)：,設(shè) X1, X2, … 是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，且 E(X1) =μ, Var(X1)=σ2，對(duì)任給 x ∈(-∞, ∞), 均有,其中 Φ(x) 是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 N(0, 1) 的分布函數(shù)。,還有另一記法:,定理2 (棣莫佛——拉普拉斯定理):,定理 2 表明: 當(dāng) n 很大時(shí)，二項(xiàng)分布 Yn 標(biāo)準(zhǔn)化后的分布近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)

9、分布 N(0, 1) 。,設(shè)隨機(jī)變量 Yn 服從參數(shù)為 (n, p) 的二項(xiàng)分布(0<p<1) ，則對(duì)任意 x∈(-∞,∞)，均有,例1：設(shè)一批產(chǎn)品的強(qiáng)度服從期望為14, 方差為4的分布。每箱中裝有這種產(chǎn)品100件。求(1).每箱產(chǎn)品的平均強(qiáng)度超過(guò)14.5的概率； (2).每箱產(chǎn)品的平均強(qiáng)度超過(guò)期望14的概率。,解：n=100,設(shè) Xi 是第 i 件產(chǎn)品的強(qiáng)度，則 E(Xi)=14, Var(Xi)=

10、4, i =1,2,…,100。每箱產(chǎn)品的平均強(qiáng)度為,根據(jù)定理1，有,μ,σ/n0.5,例2：某公司有200名員工參加一種資格證書考試。按往年經(jīng)驗(yàn)，考試通過(guò)率為0.8。試計(jì)算這200名員工至少有150人考試通過(guò)的概率。,解: 令,依題設(shè)，知 P{ Xi=1 }=0.8, np=200 ×0.8=160，np(1-p)=32，X1+X2+…+X200 是考試通過(guò)人數(shù),因Xi 滿足棣莫佛 — 拉普拉斯定理的條件，故依此定理

11、，近似地有,于是,例3：某市保險(xiǎn)公司開辦一年人身保險(xiǎn)業(yè)務(wù)。被保人每年需交付保費(fèi)160元。若一年內(nèi)發(fā)生重大人身事故，其本人或家屬獲賠付金2萬(wàn)元。己知該市人員一年內(nèi)發(fā)生重大人身事故的概率為0.005，現(xiàn)有5000人參加此項(xiàng)保險(xiǎn)。求:保險(xiǎn)公司一年內(nèi)從此項(xiàng)業(yè)務(wù)所得到的總收益在20萬(wàn)元到40萬(wàn)元之間的概率。,解: 令,由 Xi ～ B(1, p), p=0.005, X1, X2 , ? , X5000 相互獨(dú)立, 得,P{20萬(wàn)元≤總收益≤40

12、萬(wàn)元}= P{20萬(wàn)元≤(0.016萬(wàn)元?參保人數(shù) -2萬(wàn)元?一年內(nèi)發(fā)生重大人身事故人數(shù)) ≤ 40萬(wàn)元}= P{20≤0.016?5000-2(X1+X2+?+X5000)≤40},所以，,近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,,,小結(jié),本講首先介紹了三個(gè)大數(shù)定律：切比雪夫大數(shù)定律，貝努里大數(shù)定律和辛欽大數(shù)定律。,切比雪夫大數(shù)定律如下: 設(shè)隨機(jī)變量序列 X1, X2, …相互獨(dú)立，且有相同的期望和方差: E(Xi)=

13、μ, Var(Xi) =σ2，i=1, 2, … 。則對(duì)任意的ε>0，有,貝努里大數(shù)定律是切比雪夫大數(shù)定律的特例:,設(shè) nA是 n 重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生的頻數(shù), p 是 A 發(fā)生的概率，對(duì)任給的ε> 0，有,辛欽大數(shù)定律條件較寬：,設(shè)隨機(jī)變量序列 X1, X2, …獨(dú)立同分布，有有限的數(shù)學(xué)期E(Xi)=μ, i=1,2,…，則對(duì)任給 ε > 0 ，有,,其后介紹了兩個(gè)中心極限定理: 列維—林德伯