[學習]概率論與數(shù)理統(tǒng)計柴中林第7講

1、,,概率論與數(shù)理統(tǒng)計第七講,主講教師：柴中林副教授,中國計量學院理學院,問題的提出,在實際中，人們有時對隨機變量的函數(shù)更感興趣。如: 已知圓軸截面直徑 D 的分布,,§2.4 隨機變量函數(shù)的分布,求截面面積 的分布。,又如：已知 t=t0 時刻噪聲電流 I 的分布，,求功率 W=I2R (R為電阻) 的分布等。,一般地，設隨機變量 X 的分布已知，求Y = g(X) (設 g 是連續(xù)

2、函數(shù)) 的分布。,這個問題無論在理論上還是在實實際中都非常重要。,2.4.1 離散型隨機變量函數(shù)的分布,解：當 X 取值 -1，0，1，2 時， Y 取對應值 4，1，0 和 1。,由 P{Y=0} = P{X=1}=0.1， P{Y=1} = P{X=0}+P{X=2} = 0.3+0.4 = 0.7， P{Y=4} = P{X=-1} = 0.2 .,例1：設隨機變量 X 有如下概率分布：,

3、求 Y= (X – 1)2 的概率分布。,得 Y 的概率分布：,一般地，若X是離散型 隨機變量，概率分布為,如果 g(x1), g(x2), …, g(xk), … 中有一些是相同的，把它們作適當并項即可得到一串互不相同 (不妨認為從小到大) 的 y1, y2 ,…, yi ,….,把 yi 所對應的所有xk ( 即yi = g(xk) ) 的 pk相加，記成 qi , 則 q1, q2, …, qi ,…就是Y = g(X)

4、 的概率分布。,例2：在應用上認為: 單位時間內(nèi)，一個地區(qū)發(fā)生火災的次數(shù)服從泊松分布。設某城市一個月內(nèi)發(fā)生火災的次數(shù) X～P(5)，試求隨機變量Y=|X-5|的概率分布。,解：由于X的所有可能取值為0, 1, 2, …, 對應的概率分布為,及Y=|X-5|可知，Y 的所有可能取值為0, 1, 2, …。且對每個 i，當 0< i≤ 5時，有 k=5+i 和k=5-i 兩個 k 值與 i 對應, 使 |k-5|=i ;,

5、當i=0 或 i≥6 時，只有一個 k 值與 i 對應，使|k-5|=i 。于是，Y的概率分布為：,2.4.2 連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布,解：設 Y 的分布函數(shù)為 FY(y)，則,例3：設隨機變量X 有概率密度,求 Y = 2X+8 的概率密度。,于是Y 的密度函數(shù),注意到,得,求導可得,當 y>0 時,,例4：設 X 具有概率密度fX(x)，求Y=X2的密度。,解：設Y 和X的分布函數(shù)分別為FY(y)和FX(x),,注意到

6、 Y=X2 ≥0，故當 y≤0時，F(xiàn)Y(y)=0；,若,則 Y=X2 的概率密度為：,從上述兩例中可以看到, 在求P(Y≤y)的過程中, 關鍵的一步是設法從{ g(X)≤y }中解出X,從而得到與 {g(X)≤y }等價的X的不等式 。例如: 用{X≤(y-8)/2 } 代替 {2X+8≤y},,用 代替{ X2≤ y }。,這樣做是為了利用已知的 X的分布，求出相應的Y的分

7、布函數(shù) FY (y)。,這是求隨機變量函數(shù) Y = g(X) 的分布函數(shù)的一種常用方法。,例5：設隨機變量X的概率密度為,求 Y = sinX 的概率密度。,解：注意到,,當 y≤0 時， FY(y)=0；,當 y≥1時，F(xiàn)Y(y)=1；,當 0< y <1時,,而,對 FY (y) 求導，得,所以,定理的證明與前面的解題思路類似。,其中 x = h(y) 是 y = g(x) 的反函數(shù)，,,定理1: 設 X是一個取值于區(qū)

8、間[a, b], 具有概率密度 fX(x)的連續(xù)型隨機變量, 又設 y= g(x)處處可導的嚴格單調(diào)函數(shù), 記 (α, β) 為g(x)的值域，則隨機變量Y = g(X)是連續(xù)型隨機變量，概率密度為,例6：設隨機變量X在 (0,1) 上服從均勻分布，求 Y=-2ln X 的概率密度。,易知0 <X<1.在區(qū)間 (0, 1) 上，函數(shù) ln X < 0，,故 Y=-2ln X >0,,解：設Y 和X的分布函數(shù)分別

9、為FY(y)和FX(x),,故當 y≤0時，F(xiàn)Y(y)=0；,已知 X 在 (0,1) 上服從均勻分布，,當y>0時，F(xiàn)Y(y)=P(Y≤y)=P(-2lnX ≤y)=P(X ≥e(-y/2) ),得,得,本節(jié)介紹隨機變量函數(shù)的分布問題。對于連續(xù)型隨機變量，在求Y=g(X) 的分布時, 關鍵一步是把事件 { g(X)≤ y } 轉化為X在一定范圍內(nèi)取值 {X∈ G} 的形式，然后利用 X 的分布求 P { g(X)≤y }。,小