[學(xué)習(xí)]概率論完整ppt課件第22講

1、,,,在前面的課程中，我們討論了隨機(jī)變量及其分布，如果知道了隨機(jī)變量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.,然而，在實(shí)際問(wèn)題中，概率分布一般是較難確定的. 而在一些實(shí)際應(yīng)用中，人們并不需要知道隨機(jī)變量的一切概率性質(zhì)，只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了.,,因此，在對(duì)隨機(jī)變量的研究中，確定某些數(shù)字特征是重要的 .,這一講，我們先介紹隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.,在這些數(shù)字特征中，最常用的是,期望和方差,一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,1、概

2、念的引入：,某車間對(duì)工人的生產(chǎn)情況進(jìn)行考察. 車工小張每天生產(chǎn)的廢品數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量. 如何定義X的平均值呢？,某電話交換臺(tái)每天8:00-9:00收到的呼叫數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量. 如何定義X的平均值即該交換臺(tái)每天8:00-9:00收到的平均呼叫數(shù)呢？,我們來(lái)看第一個(gè)問(wèn)題.,若統(tǒng)計(jì)100天,,例1 某車間對(duì)工人的生產(chǎn)情況進(jìn)行考察. 車工小張每天生產(chǎn)的廢品數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量. 如何定義X的平均值呢？,32天沒(méi)有出廢品;30天每天出

3、一件廢品;17天每天出兩件廢品;21天每天出三件廢品;,可以得到這100天中 每天的平均廢品數(shù)為,這個(gè)數(shù)能否作為X的平均值呢？,可以想象，若另外統(tǒng)計(jì)100天，車工小張不出廢品，出一件、二件、三件廢品的天數(shù)與前面的100天一般不會(huì)完全相同，這另外100天每天的平均廢品數(shù)也不一定是1.27.,n0天沒(méi)有出廢品;n1天每天出一件廢品;n2天每天出兩件廢品;n3天每天出三件廢品.,可以得到n天中每天的平均廢品數(shù)為,(假定小張每天

4、至多出三件廢品),一般來(lái)說(shuō),若統(tǒng)計(jì)n天,,這是以頻率為權(quán)的加權(quán)平均,由頻率和概率的關(guān)系,,不難想到，在求廢品數(shù)X的平均值時(shí)，用概率代替頻率，得平均值為,這是以概率為權(quán)的加權(quán)平均,這樣得到一個(gè)確定的數(shù). 我們就用這個(gè)數(shù)作為隨機(jī)變量X的平均值 .,這樣做是否合理呢？,我們采用計(jì)算機(jī)模擬.,不妨把小張生產(chǎn)中出廢品的情形用一個(gè)球箱模型來(lái)描述:,有一個(gè)箱子，里面裝有10個(gè)大小，形狀完全相同的球，號(hào)碼如圖.,規(guī)定從箱中任意取出一個(gè)球，記下

5、球上的號(hào)碼，然后把球放回箱中為一次試驗(yàn).,記X為所取出的球的號(hào)碼(對(duì)應(yīng)廢品數(shù)) . X為隨機(jī)變量，X的概率函數(shù)為,下面我們用計(jì)算機(jī)進(jìn)行模擬試驗(yàn).,輸入試驗(yàn)次數(shù)(即天數(shù))n,計(jì)算機(jī)對(duì)小張的生產(chǎn)情況進(jìn)行模擬,統(tǒng)計(jì)他不出廢品，出一件、二件、三件廢品的天數(shù)n0,n1,n2,n3 , 并計(jì)算,與,進(jìn)行比較.,下面我們一起來(lái)看計(jì)算機(jī)模擬的結(jié)果.,請(qǐng)看演示,隨機(jī)變量均值的確定,則對(duì)X作一系列觀察(試驗(yàn))，所得X的試驗(yàn)值的平均值也是隨機(jī)的.,由此引入離

6、散型r.vX的數(shù)學(xué)期望的定義如下:,對(duì)于一個(gè)隨機(jī)變量，若它可能取的值是X1,X2, …, 相應(yīng)的概率為 p1,p2, …,,但是，如果試驗(yàn)次數(shù)很大，出現(xiàn)Xk的頻率會(huì)接近于pk，于是可期望試驗(yàn)值的平均值接近,定義1 設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，它的概率函數(shù)是: P(X=Xk)=pk , k=1,2,…,也就是說(shuō),離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)的和.,數(shù)學(xué)期望的統(tǒng)計(jì)意義,請(qǐng)看演示,要了解數(shù)學(xué)期望的統(tǒng)計(jì)意義，,例

7、1 某人的一串鑰匙上有n把鑰匙，其中只有一把能打開(kāi)自己的家門(mén)，他隨意地試用這串鑰匙中的某一把去開(kāi)門(mén). 若每把鑰匙試開(kāi)一次后除去，求打開(kāi)門(mén)時(shí)試開(kāi)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望.,解: 設(shè)試開(kāi)次數(shù)為X,,P(X=k)= 1/n , k=1,2,…,n,E(X),于是,二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為f (x),在數(shù)軸上取很密的分點(diǎn)x0 <x1<x2< …,則X落在小區(qū)間[xi, xi+1)的概率是,

8、小區(qū)間[xi, xi+1),陰影面積近似為,小區(qū)間[Xi, Xi+1),由于xi與xi+1很接近, 所以區(qū)間[xi, xi+1)中的值可以用xi來(lái)近似代替.,這正是,的漸近和式.,陰影面積近似為,該離散型r.v 的數(shù)學(xué)期望是,由此啟發(fā)我們引進(jìn)如下定義.,定義2 設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù) 為 f (x),如果,有限,定義X的數(shù)學(xué)期望為,也就是說(shuō),連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)絕對(duì)收斂的積分.,,若

9、X~U(a,b),即X服從( a,b)上的均勻分布,則,若X服從,若X服從參數(shù)為,由隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義，不難計(jì)算得：,這意味著，若從該地區(qū)抽查很多個(gè)成年男子，分別測(cè)量他們的身高，那么，這些身高的平均值近似是1.68.,已知某地區(qū)成年男子身高X~,三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望,1. 問(wèn)題的提出：,設(shè)已知隨機(jī)變量X的分布，我們需要計(jì)算的不是X的期望，而是X的某個(gè)函數(shù)的期望，比如說(shuō)g(X)的期望. 那么應(yīng)該如何計(jì)算呢？,如何計(jì)算隨機(jī)變量函數(shù)

10、的數(shù)學(xué)期望?,一種方法是，因?yàn)間(X)也是隨機(jī)變量，故應(yīng)有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出來(lái). 一旦我們知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定義把E[g(X)]計(jì)算出來(lái).,使用這種方法必須先求出隨機(jī)變量函數(shù)g(X)的分布，一般是比較復(fù)雜的 .,那么是否可以不先求g(X)的分布而只根據(jù)X的分布求得E[g(X)]呢？,下面的基本公式指出，答案是肯定的.,類似引入上述E(X)的推理，可得如下的基本公式:,設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，Y=g

11、(X)，則,,當(dāng)X為離散型時(shí),P(X= xk)=pk ; 當(dāng)X為連續(xù)型時(shí),X的密度函數(shù)為f(x).,推廣到兩個(gè)以上r.v的基本公式，見(jiàn)教材.,,該公式的重要性在于: 當(dāng)我們求E[g(X)]時(shí), 不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了. 這給求隨機(jī)變量函數(shù)的期望帶來(lái)很大方便.,將g(X)特殊化，可得到各種數(shù)字特征:,其中 k 是正整數(shù).,稍事休息,四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),1. 設(shè)C是常數(shù)，則E(C)=C;,4. 設(shè)X、

12、Y獨(dú)立，則 E(XY)=E(X)E(Y);,2. 若k是常數(shù)，則E(kX)=kE(X);,3. E(X1+X2) = E(X1)+E(X2);,（諸Xi獨(dú)立時(shí)）,注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y獨(dú)立,五、數(shù)學(xué)期望性質(zhì)的應(yīng)用,例1 求二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望,若 X~B(n,p)，,則X表示n重貝努里試驗(yàn)中的“成功” 次數(shù).,現(xiàn)在我們來(lái)求X的數(shù)學(xué)期望 .,,可見(jiàn)，服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望是np

13、.,X~B(n,p),,若設(shè),則 X= X1+X2+…+Xn,= np,i=1,2，…，n,因?yàn)?P(Xi =1)= p,,P(Xi =0)= 1-p,所以 E(X)=,則X表示n重貝努里試驗(yàn)中的“成功” 次數(shù).,例2 把數(shù)字1,2,…,n任意地排成一列，如果數(shù)字k恰好出現(xiàn)在第k個(gè)位置上，則稱為一個(gè)巧合，求巧合個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望.,由于 E(Xk)=P(Xk =1),解: 設(shè)巧合個(gè)數(shù)為X,,k=1,2, …,n,則,故

14、,引入,下面我們給出數(shù)學(xué)期望應(yīng)用的一個(gè)例子.,合理驗(yàn)血問(wèn)題,請(qǐng)看演示,例3 設(shè)甲、乙兩人玩必分勝負(fù)的賭博游戲，假定游戲的規(guī)則不公正，以致兩人獲勝的概率不等，甲為p,乙為q，p>q,p+q=1.為了補(bǔ)償乙的不利地位，另行規(guī)定兩人下的賭注不相等，甲為 a, 乙為b, a>b. 現(xiàn)在的問(wèn)題是：a究竟應(yīng)比b大多少，才能做到公正？,解：設(shè)甲贏的錢數(shù)為X，乙贏的錢數(shù)為Y，,依題意,解：設(shè)甲贏的錢數(shù)為X，乙贏的錢數(shù)為Y，,為對(duì)雙方公正,