初中數(shù)學(xué)競賽幾何講座共5講

1、智浪教育普惠英才文庫初中數(shù)學(xué)競賽幾何講座（共初中數(shù)學(xué)競賽幾何講座（共5講）講）第一講注意添加平行線證題第二講巧添輔助妙解競賽題第三講點(diǎn)共線、線共點(diǎn)第四講四點(diǎn)共圓問題第五講三角形的五心第一講第一講注意添加平行線證題注意添加平行線證題在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫平行線.平行線是初中平面幾何最基本的也是非常重要的圖形.在證明某些平面幾何問題時若能依據(jù)證題的需要添加恰當(dāng)?shù)钠叫芯€則能使證明順暢、簡潔.添加平行線證題一般有如下四種情況.1為了改變

2、角的位置為了改變角的位置大家知道兩條平行直線被第三條直線所截同位角相等內(nèi)錯角相等同旁內(nèi)角互補(bǔ).利用這些性質(zhì)?？赏ㄟ^添加平行線將某些角的位置改變以滿足求解的需要.例1設(shè)P、Q為線段BC上兩點(diǎn)且BP＝CQA為BC外一動點(diǎn)(如圖1).當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動到使∠BAP＝∠CAQ時△ABC是什么三角形？試證明你的結(jié)論.答：當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動到使∠BAP＝∠CAQ時△ABC為等腰三角形.證明：如圖1分別過點(diǎn)P、B作AC、AQ的平行線得交點(diǎn)D.連結(jié)DA.在△DBP＝∠

3、AQC中顯然∠DBP＝∠AQC∠DPB＝∠C.由BP＝CQ可知△DBP≌△AQC.有DP＝AC∠BDP＝∠QAC.于是DA∥BP∠BAP＝∠BDP.則A、D、B、P四點(diǎn)共圓且四邊形ADBP為等腰梯形.故AB＝DP.所以AB＝AC.這里通過作平行線將∠QAC“平推”到∠BDP的位置.由于A、D、B、P四點(diǎn)共圓使證明很順暢.例2如圖2四邊形ABCD為平行四邊形∠BAF＝∠BCE.求證：∠EBA＝∠ADE.證明：證明：如圖2分別過點(diǎn)A、B作E

4、D、EC的平行線得交點(diǎn)P連PE.由ABCD易知△PBA≌△ECD.有PA＝EDPB＝EC.顯然四邊形PBCE、PADE均為平行四邊形.有∠BCE＝∠BPE∠APE＝∠ADE.∥＝ADBPQC圖1PEDGABFC圖2智浪教育普惠英才文庫＝＝.11ANAMDEEM122ANAMDEEM2則＋＝＝＝＋.APABAQACDECEBE?DEEMEM21?11ANAM22ANAM所以＋＝＋.APABAQAC11ANAM22ANAM這里僅僅添加了一條

5、平行線將求證式中的四個線段比“通分”使公分母為DE于是問題迎刃而解.例5AD是△ABC的高線K為AD上一點(diǎn)BK交AC于ECK交AB于F.求證：∠FDA＝∠EDA.證明：證明：如圖5過點(diǎn)A作BC的平行線分別交直線DE、DF、BE、CF于Q、P、N、M.顯然＝＝.ANBDKAKDAMDC有BDAM＝DCAN.(1)由＝＝有BDAPFBAFBCAMAP＝.(2)BCAMBD由＝＝有DCAQECAEBCANAQ＝.(3)BCANDC對比(1)、

6、(2)、(3)有AP＝AQ.顯然AD為PQ的中垂線故AD平分∠PDQ.所以∠FDA＝∠EDA.這里原題并未涉及線段比添加BC的平行線就有大量的比例式產(chǎn)生恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用這些比例式就使AP與AQ的相等關(guān)系顯現(xiàn)出來.4為了線段相等的傳遞為了線段相等的傳遞當(dāng)題目給出或求證某點(diǎn)為線段中點(diǎn)時應(yīng)注意到平行線等分線段定理用平行線將線段相等的關(guān)系傳遞開去.例6在△ABC中AD是BC邊上的中線點(diǎn)M在AB邊上點(diǎn)N在AC邊上并且∠MDN＝90.如果BM2＋CN2＝