初中數(shù)學(xué)競賽講座

1、1競賽講座23－完全平方數(shù)完全平方數(shù)(一)完全平方數(shù)的性質(zhì)一個(gè)數(shù)如果是另一個(gè)整數(shù)的完全平方，那么我們就稱這個(gè)數(shù)為完全平方數(shù)，也叫做平方數(shù)。例如：0149162536496481100121144169196225256289324361400441484…觀察這些完全平方數(shù)，可以獲得對它們的個(gè)位數(shù)、十位數(shù)、數(shù)字和等的規(guī)律性的認(rèn)識(shí)。下面我們來研究完全平方數(shù)的一些常用性質(zhì)：性質(zhì)1：完全平方數(shù)的末位數(shù)只能是014569。性質(zhì)2：奇數(shù)的平方的個(gè)

2、位數(shù)字為奇數(shù)，十位數(shù)字為偶數(shù)。證明奇數(shù)必為下列五種形式之一：10a110a310a510a710a9分別平方后，得(10a1)=10020a1=20a(5a1)1(10a3)=10060a9=20a(5a3)9(10a5)=100100a25=20(5a5a1)5(10a7)=100140a49=20(5a7a2)9(10a9)=100180a81=20(5a9a4)1綜上各種情形可知：奇數(shù)的平方，個(gè)位數(shù)字為奇數(shù)159；十位數(shù)字為偶數(shù)。

3、性質(zhì)3：如果完全平方數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù)，則它的個(gè)位數(shù)字一定是6；反之，如果完全平方數(shù)的個(gè)位數(shù)字是6，則它的十位數(shù)字一定是奇數(shù)。證明已知=10k6，證明k為奇數(shù)。因?yàn)榈膫€(gè)位數(shù)為6，所以m的個(gè)位數(shù)為4或6，于是可設(shè)m=10n4或10n6。則10k6=(10n4)=100(8n1)x106或10k6=(10n6)=100(12n3)x106即k=108n1=2(54n)1或k=1012n3=2(56n)3∴k為奇數(shù)。推論1：如果一個(gè)數(shù)的十位數(shù)

4、字是奇數(shù)，而個(gè)位數(shù)字不是6，那么這個(gè)數(shù)一定不是完全平方數(shù)。推論2：如果一個(gè)完全平方數(shù)的個(gè)位數(shù)字不是6，則它的十位數(shù)字是偶數(shù)。性質(zhì)4：偶數(shù)的平方是4的倍數(shù)；奇數(shù)的平方是4的倍數(shù)加1。這是因?yàn)?2k1)=4k(k1)1(2k)=4性質(zhì)5：奇數(shù)的平方是8n1型；偶數(shù)的平方為8n或8n4型。在性質(zhì)4的證明中，由k(k1)一定為偶數(shù)可得到(2k1)是8n1型的數(shù)；由為奇數(shù)或偶數(shù)可得(2k)為8n型或8n4型的數(shù)。性質(zhì)6：平方數(shù)的形式必為下列兩種之

5、一：3k3k1。因?yàn)樽匀粩?shù)被3除按余數(shù)的不同可以分為三類：3m3m13m2。平方后，分別得3(二)重要結(jié)論1.個(gè)位數(shù)是2378的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；2.個(gè)位數(shù)和十位數(shù)都是奇數(shù)的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；3.個(gè)位數(shù)是6，十位數(shù)是偶數(shù)的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；4.形如3n2型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；5.形如4n2和4n3型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；6.形如5n2型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；7.形如8n28n38n58n68n7型的整數(shù)一

6、定不是完全平方數(shù)；8.數(shù)字和是23568的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)。(三)范例[例1]：一個(gè)自然數(shù)減去45及加上44都仍是完全平方數(shù)，求此數(shù)。解：設(shè)此自然數(shù)為x，依題意可得(mn為自然數(shù))(2)(1)可得∴nm(但89為質(zhì)數(shù)，它的正因子只能是1與89，于是。解之，得n=45。代入(2)得。故所求的自然數(shù)是1981。[例2]：求證：四個(gè)連續(xù)的整數(shù)的積加上1，等于一個(gè)奇數(shù)的平方(1954年基輔數(shù)學(xué)競賽題)。分析設(shè)四個(gè)連續(xù)的整數(shù)為，其中n為整數(shù)

7、。欲證是一奇數(shù)的平方，只需將它通過因式分解而變成一個(gè)奇數(shù)的平方即可。證明設(shè)這四個(gè)整數(shù)之積加上1為m，則而n(n1)是兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的積，所以是偶數(shù)；又因?yàn)?n1是奇數(shù)，因而n(n1)2n1是奇數(shù)。這就證明了m是一個(gè)奇數(shù)的平方。[例3]：求證：111111111這串?dāng)?shù)中沒有完全平方數(shù)(1972年基輔數(shù)學(xué)競賽題)。分析形如的數(shù)若是完全平方數(shù)，必是末位為1或9的數(shù)的平方，即或在兩端同時(shí)減去1之后即可推出矛盾。證明若，則因?yàn)樽蠖藶槠鏀?shù)，右端為偶數(shù)