初中數(shù)學競賽講座(第17講)應(yīng)用問題的算術(shù)解法與代數(shù)解法

1、第十七講第十七講應(yīng)用問題的算術(shù)解法與代數(shù)解法應(yīng)用問題的算術(shù)解法與代數(shù)解法從小學到中學，數(shù)學課程最顯著的變化，就是從算術(shù)學習到代數(shù)和幾何的學習僅就代數(shù)來說，它的基本課題是著眼于利用運算來討論各種數(shù)學問題從發(fā)展的角度看，代數(shù)學是在“數(shù)”與“運算”的基礎(chǔ)上有系統(tǒng)地發(fā)展起來的首先擴大了數(shù)的范圍，從正整數(shù)、正分數(shù)和零發(fā)展到有理數(shù)、實數(shù)；其次，在用字母表示數(shù)的基礎(chǔ)上，應(yīng)用“運算律”解代數(shù)方程和研究代數(shù)式由于在常見的數(shù)量關(guān)系中，可以說應(yīng)用問題是最基本

2、的討論對象，因此，在小學和中學的數(shù)學課中，都有解應(yīng)用問題這一內(nèi)容只不過在小學是用“算術(shù)解法”，而在中學是用“代數(shù)解法”下面舉幾個典型實例，來比較一下這兩種解法的不同，從而進一步體會代數(shù)解法的優(yōu)越性例1某農(nóng)場計劃播種小麥與大豆共138公頃，種小麥的面積是種大豆面積的4倍試問該農(nóng)場應(yīng)種小麥與大豆各多少公頃？算術(shù)解法由本題所給的條件可知，播種總面積等于種大豆面積的(41)倍，因此種大豆的公頃數(shù)=總播種公頃數(shù)(41)，種小麥的公頃數(shù)=總播種公頃

3、數(shù)種大豆的公頃數(shù)，即138(41)=27.6(公頃)，13827.6=110.4(公頃)即應(yīng)種大豆27.6公頃，小麥110.4公頃代數(shù)解法用一個字母x表示要求的一個未知量，例如，設(shè)種大豆x公頃；再由題目的條件可知，種小麥4x公頃因此，只要根據(jù)關(guān)系式總播種公頃數(shù)=種小麥公頃數(shù)種大豆公頃數(shù)和已知條件“總公頃數(shù)為138”，就可以直截了當?shù)貙懗鲆韵碌仁?含有未知數(shù)的等式，也叫方程)4xx=1384x2(56x)=160去括號4x1122x＝16

4、0，合并同類項4x2x＝160112，即2x=48，所以x=24(只)…兔數(shù)從而5624=32(只)…雞數(shù)比較分析比較分析本題算術(shù)解法中，根據(jù)題設(shè)特點，利用了一個特殊技巧，即雞、免各抬起一半腳，然后依據(jù)其余腳數(shù)中，雞的腳數(shù)與頭數(shù)一一對應(yīng)關(guān)系，得到解答這種解法雖然有效，但不具有一般性，這也是算術(shù)解法的一個弱點，即一個問題一種解法，缺乏一般的通用性而代數(shù)解法則不同，在本題中，只須用一個字母x代表兔(或雞)的數(shù)量，然后便可根據(jù)已知條件，順理成