齊次型方程及其求解

1、年月綿陽師范學(xué)院學(xué)報(bào)田第卷第期齊次型方程及其求解胡勁松西華大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院四川成都摘要對一階常微分方程中的齊次方程的推廣形式—齊次型方程進(jìn)行了研究并將齊次方程的“變量變換”法求解過程推廣應(yīng)用到齊次型方程從而證明了齊次型方程是可積方程得到了一階微分方程的幾種新的可積類型其中也包括部分黎卡提方程和貝努利方程。關(guān)健詞齊次方程齊次型方程變量變換法可積方程川中圖分類號文獻(xiàn)標(biāo)識碼文章編號石眾魂抖引言眾所周知形如上立的一階微分方程稱為齊次方程【。

2、定義形如中‘的一階微分方程稱為齊次型方程。若通過變量變換引人新的未知函數(shù)。上即令二一工一、中‘貝組可一立么求得方程的通解。本文我們將齊次方程的求解過程加以推廣解決了齊次型方程的求解問題從而得到了包括部分黎卡提方程和貝努利方程在內(nèi)的一階微分方程的幾種新的可積類型。主要結(jié)果定理齊次型方程為可積方程。證引沐新的未知函數(shù)。尋二即令二。則碟耀化為可摘變量的微分方程二空甲氣湯“‘毛叭一從耐出規(guī)解了么一卿勸故齊次型方程是可積方程。我們注意到齊次方程即

3、是當(dāng)齊次型方程中的城幻時(shí)的特殊情況。定理、任意‘橢興二一。一郵則耀竇息一。一一。二其中、二。尹且氣。不全為零為可積方程。注當(dāng)①式子中的分母為零時(shí)這時(shí)應(yīng)理解為分子也為零即“一”。文中以下的推論定理和推論中的情況與之相同。且在例例和例中我們都沒有判斷是否滿足條件。設(shè)一一二衫則二一尹幾尸幾‘二一一一一幾二一幾二助一一一一一代人方程并將其變形為收稿日期眾‘作者簡介胡勁松男副教授主要研究方向基礎(chǔ)數(shù)學(xué)。得原方程的通解為綿陽師范學(xué)院學(xué)報(bào)自然科學(xué)版第卷

4、叮一舒。注此例是文〔」中的例的一個(gè)黎卡提凡方程但在文【」中只能求出其特解。例北虧程空二一粵獸汾尹的通解。硯石不萬‘二一、、一‘”幾幾、二一、一。一一解肝車力性刀滬型。幾盯一幾二飛幾育一下一一了二獷田淮韻匕翔拱萬性刀介認(rèn)型力‘一峙一程且牛則原方程化為二于一李共共共‘。令二二號“代人并整理得二礦礦氣標(biāo)血二扣解之“”卉得“為’立么業(yè)心號了肛拼擠貝邢例乳爵一蘭。蕩命了。一今的通解。解所給方程為型。此時(shí)二兒二由推論知該方程為齊次型方程且貝”原方程

5、化”會?！E萬一—一蘭。令獷代人并整理得么一二生一礦‘業(yè)令旦或一含一護(hù)一一擴(kuò)例二與二嘿解之并將“換成善整理得原方程的通解為尹下萬萬一了一上的通解。一‘一一解所給方程為型。此時(shí)氣一一一‘一誼下下二一由定理知。為劑且二一貝。原為會二一生’生一毛。令二一代人并整一定哭尋氣獷口寫’—或一下衛(wèi)竺井斗與解之并將。換成擴(kuò)得原方程的通解為““名劣擴(kuò)了一二尹七了而。例求方醉于口蕩‘萬郊〔‘“中只例’的貝努利方程的通解。解所給方程為型。此時(shí)一’仗下丁哥由二

6、且號貝”原方程化為。換成善劣孿二令備善“‘劣了譽(yù)。令李、一一一二‘們砂人少十里龍哭召尋下尸下一烏沁一萬花尸一丁召‘口蕩刀肺式二少于于牙口落石“乙“一工得原方程的通解為獷一擴(kuò)二眾或廠下。結(jié)語雖然對一階微分方程的求解有過很多的研究曾證明黎卡提形方程〔刊但可積的一階微分方程還是很少。法國數(shù)學(xué)家劉維爾寰尹‘?！话愣疾皇强煞e方程時(shí)方程即是可積。但當(dāng)、二和均為冪函數(shù)且滿足定理當(dāng)時(shí)滿足推論的條件的例即是如此這時(shí)方程即是方程或方程的特殊情況。