二階常系數線性齊次微分方程

1、,第五節(jié)二階常系數線性齊次微分方程,一、二階常系數線性齊次微分 方程解的性質與通解結構二、二階常系數線性齊次微分 方程的解法,,,,的方程，稱為二階線性微分方程.當 時，方程(1)成為,形如,,,,定理11.1 設y1(x)， y2(x)是二階常系數線性齊次微分方程(3)的兩個解，則 也是方程(3)的解

2、，其中C1, C2是任意常數.,一、二階常系數線性齊次微分方程解的性質與通解結構,證,,,,,,,這個定理表明，二階線性齊次微分方程任何兩個解y1(x)， y2(x)的線性組合 ，仍是方程的解.那么， 是不是方程(3)的通解呢？,,,,例1 對于二階常系數線性齊次微分方程,容易驗證：

3、 都是它的解.由定理11.1 知,也是它的解.但這個解中只含有一個任意常數C，顯然它不是所給方程的通解.,,,,問題：方程(3)的兩個特解y1(x)， y2(x)滿足什么條件時，,才是方程(3)的通解？,,,,定義6.1 設y1(x) 與y2(x)是定義在某區(qū)間內的兩個函數，如果存在不為零的常數k (或存在不全為零的常數k1 , k2)，使得對于該區(qū)間內的一切x ，有,成立，則稱

4、函數y1(x) 與y2(x) 在該區(qū)間內線性相關，否則稱y1(x) 與y2(x) 線性無關.,例如，例1中 是線性相關的， 是線性無關的.,,,,定理6.2 如果函數y1(x) 與y2(x)是二階常系數線性齊次微分方程(3)的兩個線性無關的特解，則,就是方程(3)的通解,其中C1,

5、 C2為兩個任意常數.,,,,例2,,,,,,,二、二階常系數線性齊次微分方程的解法,把 代入方程(3)，整理后得,稱一元二次方程(5)為二階常系數線性齊次微分方程(3)的特征方程.,,,,是方程(3)的解，,特征方程(5)的根為,即 線性無關.因此方程(3)的通解為,,,,于是得到方程(3)的一個特解 ，須找出方程(3)

6、的另一個特解y2，且,,,,,,,取一個滿足上式且不為常數的u(x),即可得到所求的y2,將上式積分兩次,得,可取C1=1,C2=0,得u(x)=x,于是得方程(3)的另一個特解,線性無關，方程(3)的通解為,是方程(3)的復數形式特解.利用歐拉公式,,,,再由定理6.1可知，函數,也是方程(3)的解，且,,,,求二階常系數齊次線性微分方程(3)的通解步驟：,1.寫出特征方程，并求出特征方程的兩個根；,2 .根據兩個特征根的不同情況，按