數(shù)理方法第二版前三章習(xí)題谷超豪

1、第一章波動(dòng)方程第一章波動(dòng)方程1.1學(xué)習(xí)要求(1)理解弦振動(dòng)方程的物理意義，定解條件的物理意義.(2)理解波的左右傳播理解依賴區(qū)間決定區(qū)域和影響區(qū)域的概念掌握齊次化原理.(3)理解波動(dòng)方程分離變量法解的物理意義掌握非齊次邊界條件的齊次化方法.(4)理解膜振動(dòng)方程的物理意義，掌握球平均法和降維法.(5)熟練掌握達(dá)郎貝爾公式和分離變量法的推導(dǎo)過程會(huì)應(yīng)用這兩種方法求解定解問題.(6)熟練和非齊次邊界條件的齊次化方法.1.2習(xí)題選講1.方程的導(dǎo)出

2、、定解條件1.細(xì)桿(或彈簧)受某種外界原因而產(chǎn)生縱向振動(dòng)以u(píng)(xt)表示靜止時(shí)在x處的點(diǎn)在時(shí)刻t離開原來位置的偏移.假設(shè)振動(dòng)過程中所發(fā)生的張力服從胡克定律試證明u(xt)滿足方程??t?ρ(x)?u?t?=??x?E?u?x?其中ρ為桿的密度E為楊氏模量.證明:如圖建立坐標(biāo)系選取桿上一段微元(xx?x)則微元兩端的相對(duì)伸長(zhǎng)分別為?u?x(xt)和?u?x(x?xt).假設(shè)桿的橫截面面積為S則微元兩端所受拉力分別為E(x)?u?x(xt)

3、S(x)和E(x?x)?u?x(x?xt)S(x?x).因此所受合力為E(x?x)?u?x(x?xt)S(x?x)?E(x)?u?x(xt)S(x)且正向與坐標(biāo)軸相同.圖圖圖11圖示設(shè)x為微元重心則重心處加速度為?2u?t2(xt)由牛頓第二定律得ρ(x)S(x)?x?2u?t2(xt)=E(x?x)S(x?x)?u?x(x?xt)?E(x)S(x)?u?x(xt)=??x?E(x?)S(x?)?u?x(x?t)??x1第一章波動(dòng)方程解

4、:根據(jù)弦的微小橫振動(dòng)方程有ρ?2u?t2=??x?T(x)?u?x?其中T(x)為弦的內(nèi)部張力.在本題中T(x)=ρg(l?x)故有?2u?t2=g??x?(l?x)?u?x?.5.一柔軟均勻的細(xì)弦一端固定另一端是彈性支承.設(shè)該弦在阻力與速度成正比的介質(zhì)中作微小的橫振動(dòng)試寫出弦的位移所滿足的定解問題.解:此時(shí)所受外力為阻力F(x)=k?u?t因而有T?2u?t2?ρ?2u?x2=?k?u?t假設(shè)固定端為x=0有u(0t)=0對(duì)于彈性支承

5、端x=l有??u?xσu?????x=l=0.6.若F(ξ)G(ξ)均為其變?cè)亩芜B續(xù)可導(dǎo)函數(shù)驗(yàn)證F(x?at)G(xat)均滿足弦振動(dòng)方程(1.11).解:參見第二節(jié).7.驗(yàn)證u(xyt)=1?t2?x2?y2在錐t2?x2?y20中滿足波動(dòng)方程?2u?t2=?2u?x2?2u?y2.解:顯然?u?t=?t(t2?x2?y2)32?2u?t2=3t2(t2?x2?y2)52??t2?x2?y2??32類似的?2u?x2=3x2(t2

6、?x2?y2)52?t2?x2?y2??32?2u?y2=3y2(t2?x2?y2)52?t2?x2?y2??32代入即得所證.2.達(dá)朗貝爾公式、波的傳播1.證明方程??x??1?xh?2?u?x?=1a2?1?xh?2?2u?t2的通解可以寫成u(xt)=F(x?at)G(xat)h?x其中h0為常數(shù)FG為任意的具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的單變量函數(shù)，并由此求解它的初值問題:t=0:v=(h?x)?(x)?v?t=(h?x)ψ(x)解:(1)令