容斥原理之重疊問題(一).教師版

1、771容斥原理之重疊問題（一）.題庫教師版page1of9771.771.容斥原理之重疊問題容斥原理之重疊問題（一）（一）教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)1.了解容斥原理二量重疊和三量重疊的內(nèi)容；2.掌握容斥原理的在組合計數(shù)等各個方面的應(yīng)用知識要點知識要點一、兩量重疊問題在一些計數(shù)問題中，經(jīng)常遇到有關(guān)集合元素個數(shù)的計算求兩個集合并集的元素的個數(shù)，不能簡單地把兩個集合的元素個數(shù)相加，而要從兩個集合個數(shù)之和中減去重復(fù)計算的元素個數(shù)，即減去交集的元素個數(shù)，用

2、式子可表示成：(其中符號“”讀作“并”，相當(dāng)于中文“和”或者“或”的意思；符號“ABABAB???????”讀作“交”，相當(dāng)于中文“且”的意思)則稱這一公式為包含與排除原理，簡稱容斥原理圖示如下:表示小A圓部分，表示大圓部分，表示大圓與小圓的公共部分，記為：，即陰影面積圖示如下:表示BCAB?A小圓部分，表示大圓部分，表示大圓與小圓的公共部分，記為：，即陰影面積BCAB?包含與排除原理告訴我們，要計算兩個集合的并集的元素的個數(shù)，可分以下

3、兩步進(jìn)行：AB、AB?第一步：分別計算集合的元素個數(shù)，然后加起來，即先求(意思是把的一切元素都“包含”進(jìn)AB、AB?AB、來，加在一起)；第二步：從上面的和中減去交集的元素個數(shù)，即減去(意思是“排除”了重復(fù)計算的元素個數(shù))CAB??二、三量重疊問題類、類與類元素個數(shù)的總和類元素的個數(shù)類元素個數(shù)類元素個數(shù)既是類又是類ABCA?B?C??AB的元素個數(shù)既是類又是類的元素個數(shù)既是類又是類的元素個數(shù)同時是類、類、類的元?BC?AC?ABC素個數(shù)

4、用符號表示為：圖示如下：ABCABCABBCACABC??????????????1先包含——AB?重疊部分計算了次，多加了次；AB?212再排除——ABAB???把多加了次的重疊部分減去1AB?771容斥原理之重疊問題（一）.題庫教師版page3of9加數(shù)學(xué)興趣小組的人，有(人)；圖中圓不含陰影的部分表示只參加數(shù)學(xué)興趣小組未參281216??B加語文興趣小組的人，有(人)291217??方法一：由此得到參加語文或數(shù)學(xué)興趣小組的有：(人

5、)16121745???方法二：根據(jù)包含排除法，直接可得：參加語文或數(shù)學(xué)興趣小組的人參加語文興趣小組的人參加數(shù)學(xué)興趣小組的人兩個小???組都參加的人，即：(人)28291245???【答案】人45【鞏固】【鞏固】芳草地小學(xué)四年級有芳草地小學(xué)四年級有人學(xué)鋼琴，人學(xué)鋼琴，人學(xué)畫畫，人學(xué)畫畫，人既學(xué)鋼琴又學(xué)畫畫，問只學(xué)鋼琴和只學(xué)畫人既學(xué)鋼琴又學(xué)畫畫，問只學(xué)鋼琴和只學(xué)畫584337畫的分別有多少人？畫的分別有多少人？CBA【考點】兩量重疊問題【

6、難度】1星【題型】解答【解析】解包含與排除題，畫圖是一種很直觀、簡捷的方法，可以幫助解決問題，畫圖時注意把不同的對象與不同的區(qū)域?qū)?yīng)清楚建議教師幫助學(xué)生畫圖分析，清楚的分析每一部分的含義如圖，圓表示學(xué)畫畫的人，圓表示學(xué)鋼琴的人，表示既學(xué)鋼琴又學(xué)畫畫的人，圖中圓不含ABCA陰影的部分表示只學(xué)畫畫的人，有：(人)，圖中圓不含陰影的部分表示只學(xué)鋼琴的43376??B人，有：(人)583721??【答案】人21【鞏固】【鞏固】四(二)班有班有名

7、學(xué)生，在一節(jié)自習(xí)課上，寫完語文作業(yè)的有名學(xué)生，在一節(jié)自習(xí)課上，寫完語文作業(yè)的有人，寫完數(shù)學(xué)作業(yè)的有人，寫完數(shù)學(xué)作業(yè)的有人，語文人，語文483020數(shù)學(xué)都沒寫完的有數(shù)學(xué)都沒寫完的有人人6⑴問語文數(shù)學(xué)都寫完的有多少人？問語文數(shù)學(xué)都寫完的有多少人？⑵只寫完語文作業(yè)的有多少人？只寫完語文作業(yè)的有多少人？【考點】兩量重疊問題【難度】1星【題型】解答【解析】⑴由題意，有(人)至少完成了一科作業(yè)，根據(jù)包含排除原理，兩科作業(yè)都完成的學(xué)生48642??有

8、：(人)3020428???⑵只寫完語文作業(yè)的人數(shù)寫完語文作業(yè)的人數(shù)語文數(shù)學(xué)都寫完的人數(shù)，即(人)?30822??【答案】人22【鞏固】【鞏固】四（四（1）班有）班有46人，其中會彈鋼琴的有人，其中會彈鋼琴的有30人，會拉小提琴的有人，會拉小提琴的有28人，則這個班既會彈鋼琴又會拉人，則這個班既會彈鋼琴又會拉小提琴的至少有小提琴的至少有人。人?！究键c】兩量重疊問題【難度】1星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級，二試，第6題【解析】至少