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1、7-7-1. 7-7-1.容斥原理之重疊問題 容斥原理之重疊問題 (一) (一)1. 了解容斥原理二量重疊和三量重疊的內(nèi)容; 2. 掌握容斥原理的在組合計(jì)數(shù)等各個(gè)方面的應(yīng)用.教學(xué)目標(biāo) 教學(xué)目標(biāo)知識(shí)要點(diǎn) 知識(shí)要點(diǎn)一、兩量重疊問題在一些計(jì)數(shù)問題中,經(jīng)常遇到有關(guān)集合元素個(gè)數(shù)的計(jì)算.求兩個(gè)集合并集的元素的個(gè)數(shù),不能簡(jiǎn)單地把兩個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)相加,而要從兩個(gè)集合個(gè)數(shù)之和中減去重復(fù)計(jì)算的元素個(gè)數(shù),即減去交集的元素個(gè)數(shù),用式子可表示成: A B ?
2、A ? B ? A B(其中符號(hào)“ ”讀作“并”,相當(dāng)于中文“和”或者“或”的意思;符號(hào)“ ”讀作“交”,相當(dāng)于中文“且”的意思.)則稱這一公式為包含與排除原理,簡(jiǎn)稱容斥原理.圖示如下 : A 表示小圓部分, B 表示大圓部分,C 表示大圓與小圓的公共部分,記為: A B ,即陰影面積.圖示如下: A 表示小圓部分, B 表示大圓部分,C 表示大圓與小圓的公共部分,記為: A B ,即陰影面積.包含與排除原理告訴我們,要計(jì)算兩個(gè)集合A、
3、B 的并集 A B 的元素的個(gè)數(shù),可分以下兩步進(jìn)行:第一步:分別計(jì)算集合 A、B 的元素個(gè)數(shù),然后加起來,即先求 A ? B (意思是把 A、B 的一切元素都“包含”進(jìn)來,加在一起);第二步:從上面的和中減去交集的元素個(gè)數(shù),即減去C ? A B (意思是“排除”了重復(fù)計(jì)算的元素個(gè)數(shù)).1.先包含—— A ? B重疊部分 A B 計(jì)算了 2 次,多加了1次;2.再排除—— A ? B ? A B把多加了1次的重疊部分 A B 減去.二、三
4、量重疊問題A 類、 B 類與C 類元素個(gè)數(shù)的總和? A 類元素的個(gè)數(shù)?B 類元素個(gè)數(shù) ?C 類元素個(gè)數(shù)? 既是 A 類又是 B 類的元素個(gè)數(shù) ? 既是 B 類又是C 類的元素個(gè)數(shù)? 既是 A 類又是C 類的元素個(gè)數(shù) ? 同時(shí)是 A 類、 B 類、C 類的元 素個(gè)數(shù).用符號(hào)表示為: A B C ? A ? B ? C ? A B ? B C ? A C ? A B C .圖示如下:圖中小圓表示 A 的元素的個(gè)數(shù),中圓表示B 的元素的個(gè)數(shù),
5、大圓表示C 的元素的個(gè)數(shù).1.先包含: A ? B ? C重疊部分 A B 、B C 、C A重疊了 2 次, 多加了1次.2.再排除: A ? B ? C ? A B ? B C ? A C重疊部分 A B C 重疊了3次,但是在進(jìn)行 A ? B ? C ?A B ? B C ? A C 計(jì)算時(shí)都被減掉了.3.再包含: A ? B ? C ? A B ? B C ? A C ? A B C .在解答有關(guān)包含排除問題時(shí),我們常常利用圓圈
6、圖(韋恩圖)來幫助分析思考.有:58 ? 37 ? 21(人).【答案】 21人【鞏固】 【鞏固】四(二)班有 班有 48名學(xué)生,在一節(jié)自習(xí)課上,寫完語文作業(yè)的有 名學(xué)生,在一節(jié)自習(xí)課上,寫完語文作業(yè)的有 30 人,寫完數(shù)學(xué)作業(yè)的有 人,寫完數(shù)學(xué)作業(yè)的有 20人,語文 人,語文數(shù)學(xué)都沒寫完的有 數(shù)學(xué)都沒寫完的有6 人. 人.⑴ 問語文數(shù)學(xué)都寫完的有多少人? 問語文數(shù)學(xué)都寫完的有多少人?⑵ 只寫完語文作業(yè)的有多少人? 只寫完語文作業(yè)的有多
7、少人?【考點(diǎn)】?jī)闪恐丿B問題 【難度】1 星 【題型】解答【解析】⑴ 由題意,有48? 6 ? 42 (人)至少完成了一科作業(yè),根據(jù)包含排除原理,兩科作業(yè)都完成的學(xué)生有:30 ? 20 ? 42 ? 8 (人). ⑵ 只寫完語文作業(yè)的人數(shù)? 寫完語文作業(yè)的人數(shù)-語文數(shù)學(xué)都寫完的人數(shù),即30 ?8 ? 22 (人).【答案】 22人【鞏固】 【鞏固】四(1)班有 )班有 46 46 人,其中會(huì)彈鋼琴的有 人,其中會(huì)彈鋼琴的有 30 30 人
8、,會(huì)拉小提琴的有 人,會(huì)拉小提琴的有 28 28 人,則這個(gè)班既會(huì)彈鋼琴又會(huì)拉 人,則這個(gè)班既會(huì)彈鋼琴又會(huì)拉小提琴的至少有 小提琴的至少有 人。 人?!究键c(diǎn)】?jī)闪恐丿B問題 【難度】1 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯,四年級(jí),二試,第 6 題 【解析】至少一項(xiàng)不會(huì)的最多有(46-30)+(46-28)=34,那么兩項(xiàng)都會(huì)的至少有 46-34=12 人 【答案】12人【例 【例 44】 如圖, 如圖, 圓 A 表示 表示 1 到 50 5
9、0 這 50 50 個(gè)自然數(shù)中能被 個(gè)自然數(shù)中能被 3 整除的數(shù), 整除的數(shù), 圓 B 表示這 表示這 50 50 個(gè)數(shù)中能被 個(gè)數(shù)中能被 5 整除的數(shù), 整除的數(shù),則陰影部分表示的數(shù)是 則陰影部分表示的數(shù)是 。A B【考點(diǎn)】?jī)闪恐丿B問題 【難度】1 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯,四年級(jí),二試,第 4 題 【解析】陰影部分是 A 和 B 共有的,即 1 到 50 這 50 個(gè)自然數(shù)中能被 3×5=15 整除的數(shù),即 15,
10、30,45 【答案】15,30 , 45【例 【例 55】 學(xué)校為了豐富學(xué)生的課余生活,組建了乒乓球俱樂部和籃球俱樂部,同學(xué)們踴躍報(bào)名參加,其中 學(xué)校為了豐富學(xué)生的課余生活,組建了乒乓球俱樂部和籃球俱樂部,同學(xué)們踴躍報(bào)名參加,其中 有 321 321 人報(bào)名參加乒乓球俱樂部, 人報(bào)名參加乒乓球俱樂部,429 429 人報(bào)名參加了籃球俱樂部,但學(xué)校最后發(fā)現(xiàn)有 人報(bào)名參加了籃球俱樂部,但學(xué)校最后發(fā)現(xiàn)有 50 50 人既報(bào)名 人既報(bào)名參加了乒
11、乓球俱樂部,又報(bào)名參加了籃球俱樂部,還有 參加了乒乓球俱樂部,又報(bào)名參加了籃球俱樂部,還有 23 23 人什么俱樂部都沒報(bào)名,問該學(xué)校共有 人什么俱樂部都沒報(bào)名,問該學(xué)校共有名學(xué)生. 名學(xué)生.【考點(diǎn)】?jī)闪恐丿B問題 【難度】1 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯,4 年級(jí),第 5 題 【解析】 321? 429 ? 50 ? 23 ? 723人 【答案】723人【例 【例 66】 某班共有 某班共有 46人,參加美術(shù)小組的有 人,參加美術(shù)
12、小組的有12人,參加音樂小組的有 人,參加音樂小組的有23人,有 人,有5 人兩個(gè)小組都參加了.這 人兩個(gè)小組都參加了.這個(gè)班既沒參加美術(shù)小組也沒參加音樂小組的有多少人? 個(gè)班既沒參加美術(shù)小組也沒參加音樂小組的有多少人?【考點(diǎn)】?jī)闪恐丿B問題 【難度】1 星 【題型】解答【解析】已知全班總?cè)藬?shù),從反面思考,找出參加美術(shù)或音樂小組的人數(shù),只需用全班總?cè)藬?shù)減去這個(gè)人數(shù),就得到既沒參加美術(shù)小組也沒參加音樂小組的人數(shù).根據(jù)包含排除法知,該班至少參
13、加了一個(gè)小組 的總?cè)藬?shù)為12 ? 23? 5 ? 30 (人).所以,該班未參加美術(shù)或音樂小組的人數(shù)是46 ? 30 ?16(人).【答案】16人【鞏固】 【鞏固】四年級(jí)一班有 年級(jí)一班有 45人, 人, 其中 其中 26人參加了數(shù)學(xué)競(jìng)賽, 人參加了數(shù)學(xué)競(jìng)賽,22人參加了作文比賽, 人參加了作文比賽, 一 12人兩項(xiàng)比賽都參加了. 人兩項(xiàng)比賽都參加了.班有多少人兩項(xiàng)比賽都沒有參加? 班有多少人兩項(xiàng)比賽都沒有參加?【考點(diǎn)】?jī)闪恐丿B問題 【
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