貴州省貴陽(yáng)市花溪二中八年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座第十三講 從勾股定理談起

1、第1頁(yè)（共8頁(yè)）第十三講第十三講從勾股從勾股定理談起定理談起勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關(guān)系，大約在公元前1100多年前，商高已經(jīng)證明了普通意義下的勾股定理，在國(guó)外把勾股定理稱(chēng)為“畢達(dá)哥拉斯定理”勾股定理是平面幾何中一個(gè)重要定理，其廣泛的應(yīng)用體現(xiàn)在：勾股定理是現(xiàn)階段線段計(jì)算、證明線段平方關(guān)系的主要方法，運(yùn)用勾股定理的逆定理，通過(guò)計(jì)算也是證明兩直線垂直位置關(guān)系的一種有效手段直角三角形是一類(lèi)特殊三角形，有著豐富的性質(zhì)：兩銳角互余(角的

2、關(guān)系)、勾股定理(邊的關(guān)系)，30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半(邊角關(guān)系)，這些性質(zhì)在求線段的長(zhǎng)度、證明線段倍分關(guān)系、證明線段平方關(guān)系等方面有廣泛的應(yīng)用例題求解例題求解【例1】如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊AB為邊向內(nèi)作等邊△ABD，連結(jié)DC，以DC為邊作等邊△DCE，B、E在CD的同側(cè)，若AB=2，則BE=(重慶市中考題)思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥因BE不是直角三角形的邊，故不能用勾股定理直接計(jì)算，需找出與BE相等的線段轉(zhuǎn)化問(wèn)題注千百年來(lái)，

3、勾股定理的證明吸引著數(shù)學(xué)愛(ài)好者，目前有400多種證法，許多證法的共同特點(diǎn)是通過(guò)弦圖的割補(bǔ)、借助面積加以證明，美國(guó)第20任總統(tǒng)加菲爾德(1831—1881)曾給出一個(gè)簡(jiǎn)單證法勾股定理的發(fā)現(xiàn)是各族人民早期文明的特征，有人建議，將來(lái)與“外星人”交往，可以把勾股定理轉(zhuǎn)化為光電訊號(hào)，傳向異域，他們一定懂得勾股定理現(xiàn)已確定的2002年8月在北京舉行的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)來(lái)源于弦圖的圖案第3頁(yè)（共8頁(yè)）思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥假設(shè)存在符合條件的直角三角形，它

4、的三邊長(zhǎng)為a、b、c，其中c為斜邊，則??????????2222abcbacba，于是將存在性問(wèn)題的討論轉(zhuǎn)化為求方程組的解注當(dāng)勾股定理不能直接運(yùn)用時(shí)，常需要通過(guò)等線段的代換、作輔助垂線等途徑，為勾股定理的運(yùn)用創(chuàng)造必要的條件，有時(shí)又需要由線段的數(shù)量關(guān)系去判斷線段的位置關(guān)系，這就需要熟悉一些常用的勾股數(shù)組從代數(shù)角度，考察方程222zyx??的正整數(shù)解，古代中國(guó)人發(fā)現(xiàn)了“勾三股，四弦五”，古希臘人找到了這個(gè)方程的全部整數(shù)解（用代數(shù)式表示的勾

5、股數(shù)組）17世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬提出猜想：當(dāng)n≥3時(shí)，方程nnnzyx??無(wú)正整數(shù)解1994年，曼國(guó)普林斯頓大學(xué)維爾斯教授歷盡艱辛證明了這個(gè)猜想，被譽(yù)為20世紀(jì)最偉大的成果一般地，在有等邊三角形、正方形的條件下，可將圖形旋轉(zhuǎn)60或90，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中角度、線段的長(zhǎng)度保持不變，在新的位置上分散的條件相對(duì)集中，以便挖掘隱含條件，探求解題思路學(xué)力訓(xùn)練學(xué)力訓(xùn)練1如圖，AD是△ABC的中線，∠ADC=45，把△ACD沿AD對(duì)折，點(diǎn)C落在點(diǎn)C′的位置

6、，則BC′與BC之間的數(shù)量關(guān)系是(山西省中考題)2如圖，△ABC是直角三角形，BC是斜邊，將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，能與△ACP重合，若AP＝3，則PP′的長(zhǎng)等于3如圖，已知AB=13，BC=14，AC=15，AD⊥BC于D，則AD=(武漢市選拔賽試題)4如圖，四邊形ABCD中，AB＝3cm，BC=4cm，CD=12㎝，DA=13cm，且∠ABC=90，則四邊形ABCD的面積是cm25如圖，一個(gè)長(zhǎng)為10米的梯子，斜靠在墻上，梯子的頂