數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座高斯函數(shù)

1、1數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座：高斯函數(shù)知識(shí)、方法、技能函數(shù)，稱為高斯函數(shù)，又稱取整函數(shù).它是數(shù)學(xué)競賽熱點(diǎn)之一.][xy?定義一：對任意實(shí)數(shù)是不超過的最大整數(shù)，稱為的整數(shù)部分.與它相伴隨][xxx][xx的是小數(shù)部分函數(shù)].[xxxxy???由、的定義不難得到如下性質(zhì)：][xx（1）的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閆；的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閉[xy?xy?)10[（2）對任意實(shí)數(shù)，都有.x10][????xxxx且（3）對任意實(shí)數(shù)，都有.xxxxxxx?????

2、?][11][][（4）是不減函數(shù)，即若則，其圖像如圖I－4－5－1；][xy?21xx?][][21xx?是以1為周期的周期函數(shù)，如圖I－4－5－2.xy?圖Ⅰ—4—5—1圖Ⅰ—4—5—2（5）.其中.][][xnxxnnx????????NnRx（6）；特別地，????????????niiiniiRxxxyxyxxyxyx11][][][][][].[][banbna?3定理三：（厄米特恒等式）][]1[]2[]1[][nxnnx

3、nxnxxNnRx????????????則【證法1】引入輔助函數(shù)因…].1[]2[]2[]1[][][)(nnxnnxnxnxxnxxf????????????????)1(nxf對一切成立，所以是一個(gè)以為周期的周期函數(shù)，而當(dāng)時(shí)，)(xf?Rx?)(xfn1]10[nx?直接計(jì)算知，故任意，厄米特恒等式成立.0)(?xfRx?【證法2】等式等價(jià)于消].[][]1[]1[][][xnxnnnxnxxxn??????????去后得到與原等

4、式一樣的等式，只不過是對，則一定存在一個(gè)使得][xn)10[?xk，即，故原式右端另一方面，由nkxnk???1knxk???)1(.1][???knxnkxnk???1知，nnkxnnknikxniknknxnknknxnk12122111??????????????????????在這批不等式的右端總有一個(gè)等于1，設(shè).這時(shí)，kntntk????即1?????]1[][nxx，而，因此原式的左端是個(gè)1之0][???nknx1]1[]1

5、[????????nnxnknx?1?k和，即左端故左=右..1??k【評述】證法2的方法既適用于證明等式，也適用于證明不等式.，這個(gè)方法是：第一步“棄整”，把對任意實(shí)數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為的問題；第二步對分段討論.)10[)10[高斯函數(shù)在格點(diǎn)（又叫整點(diǎn)）問題研究中有重要應(yīng)用.下面給出一個(gè)定理.定理四：設(shè)函數(shù)上連續(xù)而且非負(fù)，那么和式內(nèi)的][)(baxfy在????btabattf][)](([為整數(shù)）表示平面區(qū)域內(nèi)的格點(diǎn)個(gè)數(shù).特別地，有)(0