初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料

1、初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料(64)最大 最小值 甲內(nèi)容提要 甲內(nèi)容提要1. 求二次函數(shù) y=ax2+bx+c(a≠0)，的最大、最小值常用兩種方法：①配方法：原函數(shù)可化為 y=a(x+ )2+ . ab2 ab ac44 2 ?∵在實數(shù)范圍內(nèi)(x+ )2≥0， ab2∴若 a>0 時，當(dāng) x=－時， y 最小值= ； ab2 ab ac44 2 ?若 a0，y≥ ，這時取等號，則 y 為最小值 ； ab ac44 2 ?ab ac44

2、2 ?若 a0, b>0, a+b=k . (k 為定值).那么 ab=a(k－a)=－a2+ka=－(a－ k)2+ . 2142 k當(dāng) a= 時，ab 有最大值 . 2k42 k即 ? ?? ???? ?.21k abk b a ，∴a 和 b 是方程 x2－ kx+k=0 的兩個實數(shù)根. 21∵a, b 都是正實數(shù)，∴△≥0. 即(－ )2－4k≥0. 2k解得 k≥16；或 k≤0 . k≤0 不合題意舍去.∴當(dāng) k

3、≥16 取等號時，a+b, ab 的值最小，最小值是 16.即這個矩形周長、面積的最小值是 16.例 3. 如圖△ABC 的邊 BC=a, 高 AD=h, 要剪下一個 矩形 EFGH，問 EH 取多少長時，矩形的面積最大？ 最大面積是多少？解：用構(gòu)造函數(shù)法設(shè) EH=x, S 矩形=y, 則 GH= . xy∵△AHG∽△ABC， ∴. hx ha xy? ?∴ y= . 4 ) 2 ( ) ( 2 ah h x hahx

4、h ax ? ? ? ? ?∴當(dāng) x= 時，y 最大值 = . 2h4ah即當(dāng) EH= 時，矩形面積的最大值是 . 2h4ah例 4. 如圖已知：直線 m ∥n，A，B，C 都是定點(diǎn)，AB=a, AC=b, 點(diǎn) P 在 AC 上，BP的延長線交直線 m 于 D.問：點(diǎn) P 在什么位置時，S△PAB+S△PCD 最??？解：設(shè)∠BAC=α，PA=x, 則 PC=b－x.∵m∥n，∴ . PAPCABCD＝∴CD= xx b a )