高一數(shù)學(xué)競賽講座2函數(shù)方程與函數(shù)迭代

1、江蘇省泰州中學(xué)高一數(shù)學(xué)競賽講稿江蘇省泰州中學(xué)高一數(shù)學(xué)競賽講稿函數(shù)方程函數(shù)方程高一數(shù)學(xué)備課組高一數(shù)學(xué)備課組1函數(shù)方程與函數(shù)迭代函數(shù)方程與函數(shù)迭代函數(shù)方程問題一直是各國重大競賽中的熱點問題，以IMO為例，在已進行的四十七屆競賽的試題中，有30多道是函數(shù)方程的試題，幾乎是每屆一題.在我國冬令營與國家集訓(xùn)隊的測試題中，函數(shù)方程問題也是屢見不鮮的.究其原因，它往往是給出較弱的條件，卻要從中得出甚強的結(jié)論（一般是要直接求出表達式）.【基礎(chǔ)知識基礎(chǔ)知

2、識】表示某一類（或某一個）函數(shù)所具有的一定性質(zhì)的關(guān)系式叫做函數(shù)方程函數(shù)方程（其中為未知函數(shù)）.()fx如果一個函數(shù)對其定義域內(nèi)變量的一切值均滿足所給的方程，則稱為這個函數(shù)方程的解函數(shù)方程的解.尋求函數(shù)方()fx程的解或證明函數(shù)方程無解的過程，就是解函數(shù)方程解函數(shù)方程.我們粗略地歸納其典型的解題方法，主要可以分成以下幾類：1.換元法：換元法：2.解方程（組）法解方程（組）法3.待定系數(shù)法待定系數(shù)法4.代值減元法代值減元法當(dāng)所給的函數(shù)方程中

3、變量不止一個時，和普通方程一樣，求解時首先要設(shè)法減少變量個數(shù)，代值減元就是一種減少變量的方法，它通過適當(dāng)?shù)貙ψ宰兞抠x于特殊值，從而簡化方程，逐步靠近未知結(jié)果，最終解決問題.5.柯西法柯西法先求出對于自變量取所有正整數(shù)的值時函數(shù)方程的解具有的形式，然后依次證明對自變量取整數(shù)值，有理數(shù)值以及取實數(shù)值時函數(shù)方程的解仍具有這種形式，從而得到方程的解.這里我們給出一個定理：柯西函數(shù)方程的解定理柯西函數(shù)方程的解定理：若是單調(diào)（或連續(xù)）函數(shù)，且滿足(

4、)fx()()()fxyfxfy???則（我們將此定理的證明放于例題中進行講解.）()xyR?()(1).fxxf?6.遞歸法遞歸法借助數(shù)列對函數(shù)方程加以研究的方法.設(shè)是定義在上的函數(shù)，如果存在遞推關(guān)系和初始條()fnR?S件當(dāng)知道的值后，由可以惟一確定的值，我們稱為遞歸函數(shù)遞歸函數(shù).1(1)fa?(1)(2)()fffn?S(1)fn?()fn遞推法主要解決遞歸函數(shù)問題.7.不動點法不動點法一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為D，若存在，使成立，

5、則稱為的不動點不動點，或()fx0xD?00()fxx?0x()fx稱為函數(shù)圖象的不動點不動點.00()xx()yfx?對于一些簡單的函數(shù)，利用不動點，把函數(shù)變形后再迭代，最后利用數(shù)學(xué)歸納法證明，往往會使算法簡單些.【典例精析典例精析】【例1】已知求11()()xxfxfxx????().fx〖分析〗令則再令則因此可以將所得三個等式看成是關(guān)于1xtx??11xt??11yt??1yty??的三個方程，便可解得11()()()1xfxff

6、xx??().fx解：設(shè)則代入原式，得即1xtx??11xt??11()()11ffttt????11()()111ffxxx?????○1設(shè)則代入原式，得即11tx??111()()1.1ttffttt??????1121()()1xxffxxx?????○2將與原方程聯(lián)立，解得○1○2321().2(1)xxfxxx?????〖說明〗如何換元才能將已知的函數(shù)方程轉(zhuǎn)化為可以求解的方程組，是一個具有技巧性的問題，它需要分析江蘇省泰州中學(xué)

7、高一數(shù)學(xué)競賽講稿江蘇省泰州中學(xué)高一數(shù)學(xué)競賽講稿函數(shù)方程函數(shù)方程高一數(shù)學(xué)備課組高一數(shù)學(xué)備課組3所以f(x)=0(因為a≠0)也就是說，若f(x)≠x2，則必有f(x)≡0成立，因此結(jié)論成立?！纠?】解函數(shù)方程：對任意x，y∈R，都有f(xy)f(x－y)=2f(x)cosy5.解：解：令x=0，y=t，得f(t)f(－t)=2f(0)cost①令x=t，y=，得f(t)f(t)=0②2?2??令x=，y=＋t得f(t)f(－t)=－2f(

8、)sint③2?2??2?由(①②－③)2得f(t)=f(0)costf()sint2?所以f(x)=acosxbsinx其中a=f(0)，b=f()為常數(shù)2?經(jīng)檢驗，f(x)=acosxbsinx滿足題設(shè)條件?！纠?】求所有滿足下列條件的::fNR??()()(3)fnmfnmfnnmNnm???????6.解:令m=0，得2f(n)=f(3n).nN??令m=n=0得f(0)=0令m=n得f(2n)f(0)=f(3n)即f(2n)=

9、f(3n)于是，對任意，有f(4m)=f(6m)=f(9m)①mN??另一方面，在原恒等式中令n=3m，得f(4m)f(2m)=f(9m)因此，對任意，都有f(2m)=0。于是，對任意，都有mN??nN??11()(3)(2)022fnfnfn???故，所求的f(n)≡0才能滿足題意?！纠?】函數(shù)f，g：R→R均非常數(shù)，且滿足：()()()()()(1)()()()()().(2)fxyfxgygxfygxygxgyfxfy??????

10、???求f(0)與g(0)的所有可能值。.解：解：自然地，令x=y=0，代入(1)、(2)得22(0)2(0)(0)(3)(0)(0)(0)(4)ffgggf??????若f(0)≠0，則由(3)，，由（4），有，矛盾！1(0)2g?221(0)(0)(0)04fgg?????所以f(0)=0，因此2(0)(0)gg?若g(0)=0，在(1)中令y=0，得f(x)≡0與題設(shè)不符所以g(0)=1綜上所述，f(0)=0，g(0)=1說明：我

11、們經(jīng)常會遇到函數(shù)在某個點上取值可能不確定的情況，這就需要我們?nèi)未嬲?，并意識到題目可能會有多解?！纠?】求所有的函數(shù)f：R→R，使得對任意實數(shù)x，y，z有①111()()()()224fxyfxzfxfyz???8.解：題設(shè)所給的是一個不等式，而不是方程，而且變元有三個，即x，y，z。我們設(shè)法通過取一些特殊值來尋求結(jié)果。令x=y=z=1，代入①，得所以故②21(1)((1))4ff??21((1))02f??1(1)2f?令y=z=1，