第4章 線性規(guī)劃在工商管理中的應(yīng)用

1、1,第四章 線性規(guī)劃在工商管理中的應(yīng)用,§1 人力資源分配的問題§2 生產(chǎn)計(jì)劃的問題§3 套裁下料問題§4 配料問題§5 投資問題,2,§1　人力資源分配的問題,,例1．某晝夜服務(wù)的公交線路每天各時(shí)間段內(nèi)所需司機(jī)和乘務(wù)人員數(shù)如下： 設(shè)司機(jī)和乘務(wù)人員分別在各時(shí)間段一開始時(shí)上班，并連續(xù)工作八小時(shí)，問該公交線路怎樣安排司

2、機(jī)和乘務(wù)人員，既能滿足工作需要，又配備最少司機(jī)和乘務(wù)人員?,3,§1　人力資源分配的問題,解：設(shè) xi 表示第i班次時(shí)開始上班的司機(jī)和乘務(wù)人員數(shù),這樣我們建立如下的數(shù)學(xué)模型。 目標(biāo)函數(shù)： Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 約束條件：s.t. x1 + x6 ≥ 60 x1 + x2 ≥ 70

3、 x2 + x3 ≥ 60 x3 + x4 ≥ 50 x4 + x5 ≥ 20 x5 + x6 ≥ 30 x1,x2,x3,x4,x5,x6 ≥ 0,4,§1　人力資源分配的問題,例2．一家中型的百貨商場，它對售貨員的需求經(jīng)過統(tǒng)計(jì)分析如下表所示。為了保證售貨人員

4、充分休息，售貨人員每周工作5天，休息兩天，并要求休息的兩天是連續(xù)的。問應(yīng)該如何安排售貨人員的作息，既滿足工作需要，又使配備的售貨人員的人數(shù)最少？,5,§1　人力資源分配的問題,解：設(shè) xi ( i = 1,2,…,7)表示星期一至日開始休息的人數(shù),這樣我們建立如下的數(shù)學(xué)模型。 目標(biāo)函數(shù)： Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 約束條件：s.t. x1 + x2 +

5、x3 + x4 + x5 ≥ 28 x2 + x3 + x4 + x5 + x6 ≥ 15 x3 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 24 x4 + x5 + x6 + x7 + x1 ≥ 25 x5 + x6 + x7 + x1 + x2 ≥ 19

6、 x6 + x7 + x1 + x2 + x3 ≥ 31 x7 + x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 28 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 ≥ 0,6,§2　生產(chǎn)計(jì)劃的問題,例3．某公司面臨一個(gè)是外包協(xié)作還是自行生產(chǎn)的問題。該公司生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品，都需要經(jīng)過鑄造、機(jī)加工和裝配三個(gè)車間。甲、乙兩種產(chǎn)品的鑄

7、件可以外包協(xié)作，亦可以自行生產(chǎn)，但產(chǎn)品丙必須本廠鑄造才能保證質(zhì)量。數(shù)據(jù)如表。問：公司為了獲得最大利潤，甲、乙、丙三種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少件？甲、乙兩種產(chǎn)品的鑄造中，由本公司鑄造和由外包協(xié)作各應(yīng)多少件？,7,§2　生產(chǎn)計(jì)劃的問題,解：設(shè) x1,x2,x3 分別為三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三種產(chǎn)品的件數(shù)，x4,x5 分別為由外協(xié)鑄造再由本公司加工和裝配的甲、乙兩種產(chǎn)品的件數(shù)。 求 xi 的利潤：利潤 = 售價(jià) - 各

8、成本之和 產(chǎn)品甲全部自制的利潤 =23-(3+2+3)=15 產(chǎn)品甲鑄造外協(xié)，其余自制的利潤 =23-(5+2+3)=13 產(chǎn)品乙全部自制的利潤 =18-(5+1+2)=10 產(chǎn)品乙鑄造外協(xié)，其余自制的利潤 =18-(6+1+2)=9 產(chǎn)品丙的利潤 =16-(4+3+2)=7 可得到

9、 xi （i = 1,2,3,4,5） 的利潤分別為 15、10、7、13、9 元。,8,§2　生產(chǎn)計(jì)劃的問題,通過以上分析,可建立如下的數(shù)學(xué)模型:目標(biāo)函數(shù)： Max 15x1 + 10x2 + 7x3 + 13x4 + 9x5 約束條件： 5x1 + 10x2 + 7x3 ≤ 8000 6x1 + 4x2 + 8x3 + 6x4 + 4x5 ≤ 12000 3x1 +

10、 2x2 + 2x3 + 3x4 + 2x5 ≤ 10000 x1,x2,x3,x4,x5 ≥ 0,9,§3　套裁下料問題,,例5．某工廠要做100套鋼架，每套用長為2.9 m,2.1 m,1.5 m的圓鋼各一根。已知原料每根長7.4 m，問：應(yīng)如何下料，可使所用原料最省？ 解： 共可設(shè)計(jì)下列5 種下料方案，見下表,設(shè) x1,x2,x3,x4,x5 分別為上面 5 種方

11、案下料的原材料根數(shù)。這樣我們建立如下的數(shù)學(xué)模型。 目標(biāo)函數(shù)： Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 約束條件： s.t. x1 + 2x2 + x4 ≥ 100 2x3 + 2x4 + x5 ≥ 100 3x1 + x2 + 2x3

12、 + 3x5 ≥ 100 x1,x2,x3,x4,x5 ≥ 0,10,用“管理運(yùn)籌學(xué)”軟件計(jì)算得出最優(yōu)下料方案：按方案1下料30根；按方案2下料10根；按方案4下料50根。 即 x1=30; x2=10； x3=0； x4=50； x5=0； 只需90根原材料就可制造出100套鋼架。

13、注意：在建立此類型數(shù)學(xué)模型時(shí)，約束條件用大于等于號(hào)比用等于號(hào)要好。因?yàn)橛袝r(shí)在套用一些下料方案時(shí)可能會(huì)多出一根某種規(guī)格的圓鋼，但它可能是最優(yōu)方案。如果用等于號(hào)，這一方案就不是可行解了。,§3　套裁下料問題,11,§4　配料問題,,例6．某工廠要用三種原料1、2、3混合調(diào)配出三種不同規(guī)格的產(chǎn)品甲、乙、丙，數(shù)據(jù)如右表。問：該廠應(yīng)如何安排生產(chǎn)，使利潤收入為最大？,解：設(shè) xij 表示第 i 種（甲、乙、丙）產(chǎn)品中原料

14、 j 的含量。這樣我們建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，要考慮： 對于甲： x11，x12，x13； 對于乙： x21，x22，x23； 對于丙： x31，x32，x33； 對于原料1： x11，x21，x31； 對于原料2： x12，x22，x32； 對于原料3： x13，x23，x33； 目標(biāo)函數(shù)： 利潤最大，利潤 = 收入 - 原料支出 約束條件： 規(guī)格要求

15、 4 個(gè)； 供應(yīng)量限制 3 個(gè)。,12,§4　配料問題,利潤=總收入-總成本=甲乙丙三種產(chǎn)品的銷售單價(jià)*產(chǎn)品數(shù)量-甲乙丙使用的原料單價(jià)*原料數(shù)量，故有目標(biāo)函數(shù)Max 50（x11+x12+x13）+35（x21+x22+x23）+25（x31+x32+x33）-65（x11+x21+x31）-25（x12+x22+x32）-35（x13+x23+x33）= -15x11+25x12+15x1

16、3-30x21+10x22-40x31-10x33 約束條件： 從第1個(gè)表中有： x11≥0.5(x11+x12+x13) x12≤0.25(x11+x12+x13) x21≥0.25(x21+x22+x23) x22≤0.5(x21+x22+x23),13,§4　配料問題,從第2個(gè)表中，生產(chǎn)甲乙丙的原材料不能超過原材料的供應(yīng)限額，故有

17、 (x11+x21+x31)≤100 (x12+x22+x32)≤100 (x13+x23+x33)≤60 通過整理，得到以下模型：,14,§4　配料問題,例6．（續(xù)）目標(biāo)函數(shù)：Max z = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33 約束條件： s.t. 0.5 x11-0.5 x12 -0.5 x13 ≥ 0 （原材料1不少于5

18、0%） -0.25x11+0.75x12 -0.25x13 ≤ 0 （原材料2不超過25%） 0.75x21-0.25x22 -0.25x23 ≥ 0 （原材料1不少于25%） -0.5 x21+0.5 x22 -0.5 x23 ≤ 0 （原材料2不超過50%） x11+ x21 + x31 ≤ 100 (供應(yīng)量限制）

19、x12+ x22 + x32 ≤ 100 (供應(yīng)量限制） x13+ x23 + x33 ≤ 60 (供應(yīng)量限制） xij ≥ 0 , i = 1,2,3; j = 1,2,3,15,§5　投資問題,,例8．某部門現(xiàn)有資金200萬元，今后五年內(nèi)考慮給以下的項(xiàng)目投資。已知：項(xiàng)目A：從第一年到第五年每年年初都可投資，當(dāng)年末能收回本利110%

20、；項(xiàng)目B：從第一年到第四年每年年初都可投資，次年末能收回本利125%，但規(guī)定每年最大投資額不能超過30萬元；項(xiàng)目C：需在第三年年初投資，第五年末能收回本利140%，但規(guī)定最大投資額不能超過80萬元；項(xiàng)目D：需在第二年年初投資，第五年末能收回本利155%，但規(guī)定最大投資額不能超過100萬元。 據(jù)測定每萬元每次投資的風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)如右表：問：a）應(yīng)如何確定這些項(xiàng)目的每年投資額，使得第五年年末擁有資金的本利金額為最大？b）應(yīng)

21、如何確定這些項(xiàng)目的每年投資額，使得第五年年末擁有資金的本利在330萬元的基礎(chǔ)上使得其投資總的風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)為最小？,解： 1）確定決策變量：連續(xù)投資問題 設(shè) xij ( i = 1～5，j = 1～4)表示第 i 年初投資于A(j=1)、B(j=2)、C(j=3)、D(j=4)項(xiàng)目的金額。這樣我們建立如下的決策變量： A x11 x21 x31 x41 x51

22、 B x12 x22 x32 x42 C x33 D x24,16,2）約束條件：第一年：A當(dāng)年末可收回投資，故第一年年初應(yīng)把全部資金投出去，于是 x11+ x12 = 200；第二年：B次年末才可收回投資，故第二年年初有資金1.1 x11

23、，于是 x21 + x22+ x24 = 1.1x11；第三年：年初有資金 1.1x21+ 1.25x12，于是 x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12；第四年：年初有資金 1.1x31+ 1.25x22，于是 x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22；第五年：年初有資金 1.1x41+ 1.25x32，于是 x51 = 1.1x41+ 1.25x32； B、C、D的投資限制： xi2 ≤

24、 30 ( i =1、2、3、4 )，x33 ≤ 80，x24 ≤ 100 3）目標(biāo)函數(shù)及模型：a) Max z = 1.1x51+ 1.25x42+ 1.4x33 + 1.55x24 s.t. x11+ x12 = 200 x21 + x22+ x24 = 1.1x11； x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12； x41 + x42 = 1

25、.1x31+ 1.25x22； x51 = 1.1x41+ 1.25x32； xi2 ≤ 30 ( i =1、2、3、4 )，x33 ≤ 80，x24 ≤ 100 xij ≥ 0 ( i = 1、2、3、4、5；j = 1、2、3、4）,§5　投資問題,17,,b)所設(shè)變量與問題a相同，目標(biāo)函數(shù)為風(fēng)險(xiǎn)最小，有 Min f =x11+x21+x31+x41+x51+3(

26、x12+x22+x32+x42)+4x33+5.5x24 在問題a的約束條件中加上“第五年末擁有資金本利在330萬元”的條件，于是模型如下：Min f = (x11+x21+x31+x41+x51)+3(x12+x22+x32+x42)+4x33+5.5x24 s.t. x11+ x12 = 200 x21 + x22+ x24 = 1.1x11； x31 + x32+ x33

27、 = 1.1x21+ 1.25x12； x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22； x51 = 1.1x41+ 1.25x32； xi2 ≤ 30 ( i =1、2、3、4 )，x33 ≤ 80，x24 ≤ 100 1.1x51 + 1.25x42+ 1.4x33+ 1.55x24 ≥ 330 xij ≥ 0 ( i = 1、2、