《自動控制原理》3-6+線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差分析

1、09:54,第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法,3-6 線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析,09:54,穩(wěn)定性、過渡過程性能(動態(tài)性能)和穩(wěn)態(tài)性能是我們分析系統(tǒng)、評價系統(tǒng)、改善系統(tǒng)時所用的三類重要衡量標(biāo)準(zhǔn)。,09:54,3-6 控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 系統(tǒng)響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)分量(例如t>ts的輸出分量）反映了系統(tǒng)跟蹤給定控制信號或希望輸出信號的準(zhǔn)確度或抑制擾動信號的恢復(fù)能力。通常用穩(wěn)態(tài)誤差來衡量。它與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)、參數(shù)及外作用的形式有關(guān)，

2、也與元件的不靈敏、零點漂移、老化及各種傳動機械的間隙、摩擦等因素有關(guān)。本書只討論由于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)及外作用等因素所引起的穩(wěn)態(tài)誤差，即原理性誤差。 給定穩(wěn)態(tài)誤差（由給定輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差） 擾動穩(wěn)態(tài)誤差（由擾動輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差） 給定輸入量變化時，要求系統(tǒng)輸出量以一定的精度跟隨輸入量的變化，因而用給定穩(wěn)態(tài)誤差來衡量系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。給定輸入量不變時，需要分析輸出量在擾動作用下所受到的影響，因而用擾動穩(wěn)態(tài)誤差來衡量系

3、統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。,原理性誤差、給定穩(wěn)態(tài)誤差、擾動穩(wěn)態(tài)誤差。,09:54,,R(t),-,B(s),E(s),N(s),+,C(s),,>> step(feedback(tf(10*[0.0,1],conv([1,1],[1.67,1])),1),0:.01:35),,,,,,,,,,,,>> step(feedback(tf(10*[0.0,1],conv([1,0],[1.67,1])),1),0:.01:35)

4、,>> step(feedback(tf(1*[0.0,1],conv([1,1],[1.67,1])),1),0:.01:35),從圖形中體會誤差和穩(wěn)態(tài)誤差,理想值,,09:54,,,,,,輸入（理想值）,K=5,K=1,K=0.3,階躍響應(yīng),階躍響應(yīng)：穩(wěn)態(tài)誤差為零,斜坡響應(yīng)：穩(wěn)態(tài)誤差為常數(shù),>>t=0:.01:20;>>u=t;>>lsim(feedback(tf(5*[0,1],

5、conv([1,0],[1.67,1])),1),u,t),,,誤差,從圖形中體會誤差和穩(wěn)態(tài)誤差,09:54,,一、穩(wěn)態(tài)誤差的定義和基本概念 系統(tǒng)的誤差 e(t)的基本定義為輸出量的希望值與實際值之差。典型系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示，其誤差定義有兩種形式：（1）輸出端定義法：式中：  為系統(tǒng)輸出量的希望值； C(t)為輸出量的實際值。（2）輸入端定義法： 式中： r(t)為給定輸入；

6、 b(t)為系統(tǒng)主反饋信號。 H（s）是測量裝置的傳遞函數(shù)（通常我們認為是理想的），故此時誤差就是給定輸入與測量裝置的輸出量之差。,誤差的定義,09:54,希望情況下偏差信號E(S)＝0， 則系統(tǒng)在輸入信號作用下的希望輸出為：,對于擾動信號N(s)而言,希望的情況就是擾動信號引起的輸出為0（R=0，E=0）,即系統(tǒng)的希望輸出Cn(t)一點都不受擾動的影響。,“希望值”的基本概念：

7、,,希望的狀態(tài),總之：,一,09:54,從系統(tǒng)輸出端定義的穩(wěn)態(tài)誤差，概念清晰，物理意義明確，也符合基本定義，但在實際系統(tǒng)中 無法測量，因而，一般只有數(shù)學(xué)意義。而從系統(tǒng)輸入端定義的穩(wěn)態(tài)誤差，它在系統(tǒng)中是可以測量的，因而具有實用性。對于單位反饋系統(tǒng)，要求輸出量C(t)的變化規(guī)律與給定輸入r(t)的變化規(guī)律一致，所以給定輸入r(t)也就是輸出量的希望值 ，即 。 此時，上述兩種定義統(tǒng)一為

8、 e(t)= r(t) - c(t),說明,一,09:54,對于非單位反饋系統(tǒng)，若設(shè)定義1的誤差為 E’(s),定義2的誤差為E(s)，則E(s)與E’(s)的關(guān)系如下： 可見，兩種定義對非單位反饋系統(tǒng)是存在差異的，但兩種定義下的誤差之間具有確定的關(guān)系，即誤差E’(s)可以直接或間接地由 E(s)來確定。從本質(zhì)上看，它們都能反映控制系統(tǒng)的控制精度。在本書以后的討論中，將采用第二種誤差定義。 E(t)通常也稱為系統(tǒng)的誤差響應(yīng)，它反

9、映了系統(tǒng)在輸入信號和擾動信號作用下整個工作過程中的精度。誤差響應(yīng)中也包含有瞬態(tài)分量和穩(wěn)態(tài)分量兩個部分，如果所研究的系統(tǒng)是穩(wěn)定的，那么當(dāng)時間t趨于無窮大時，瞬態(tài)分量趨近于零，剩下的只是穩(wěn)態(tài)分量。,說明,一,09:54,穩(wěn)態(tài)誤差的定義：對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，誤差信號的穩(wěn)態(tài)分量稱為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，以 表示。,基本公式,注意：誤差、誤差響應(yīng)、穩(wěn)態(tài)分量、瞬態(tài)分量、穩(wěn)態(tài)誤差等概念,注意：兩種誤差定義的統(tǒng)一性其關(guān)鍵在于反饋傳遞函數(shù)H(s)的確定性、可靠

10、性、準(zhǔn)確性。,穩(wěn)態(tài)誤差的定義,一,09:54,,R(t),-,B(s),E(s),N(s),+,C(s),,>> step(feedback(tf(50*[0.0,1],conv([1,0],[1.67,1])),1),0:.01:35),,,,,,,,,,,,C(t)=b(t),H(s)=1,注意：誤差、誤差響應(yīng)、穩(wěn)態(tài)分量、瞬態(tài)分量、動態(tài)誤差、穩(wěn)態(tài)誤差等概念,單位反饋情況：,從圖形和公式中體會誤差和穩(wěn)態(tài)誤差,一,09:54

11、,,R(t),-,B(s),E(s),N(s),+,C(s),,>> step(feedback(tf(50*[0.0,1],conv([1,0],[1.67,1])),2),0:.01:35),,,,,,,,,,,,C(t),,r(t)=1(t),H(s)=2,非單位反饋情況：,注意：誤差、誤差響應(yīng)、穩(wěn)態(tài)分量、瞬態(tài)分量、動態(tài)誤差、穩(wěn)態(tài)誤差等概念,從圖形和公式中體會誤差和穩(wěn)態(tài)誤差,一,09:54,注意：誤差、誤差響應(yīng)、穩(wěn)態(tài)分

12、量、瞬態(tài)分量、動態(tài)誤差、穩(wěn)態(tài)誤差等概念,1.誤差： 或 一般意義；2.誤差響應(yīng)：包括輸入誤差和干擾誤差，也有具體誤差響應(yīng)曲線的意思；3.穩(wěn)態(tài)分量：t>ts 的 全稱：誤差響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)分量；4.瞬態(tài)分量：tts后誤差響應(yīng)的變化關(guān)系；6.穩(wěn)態(tài)誤差：7.心中一定要有開始給出的語言定義。,一,09:54,C(t)=b(t),>> step(f

13、eedback(tf(8*[0.0,1],conv([1,1],conv([1.67,1],[3,1]))),1),0:.01:135),從圖形和公式中體會誤差和穩(wěn)態(tài)誤差,一,09:54,,,,,,輸入,K=5,K=1,K=0.3,階躍響應(yīng),階躍響應(yīng)：零穩(wěn)態(tài)誤差,斜坡響應(yīng)：穩(wěn)態(tài)誤差為常數(shù),指令：t=0:.01:20;u=t;lsim(feedback(tf(5*[0,1],conv([1,0],[1.67,1])),1),u,t),

14、從圖形和公式中體會誤差和穩(wěn)態(tài)誤差,一,09:54,研究穩(wěn)態(tài)誤差的不同問題所使用的不同結(jié)構(gòu)圖。,一般形式,特殊形式1,特殊形式2,特殊形式3,特殊形式4,注意：這種形式好用梅孫公式。,一,09:54,二、輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差 如果不計擾動輸入的影響，只求系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差。此時，系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖簡化為。,,注意分析的方法和思路,準(zhǔn)備,09:54,,由圖可知由誤差的定義可知式中稱為給定輸入作用下系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)。

15、 應(yīng)用拉氏變換的終值定理可以方便地求出計算系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差的基本公式。,想著梅遜公式,基本公式,注意這里采用的是輸入側(cè)定義的方法。,準(zhǔn)備,09:54,在給定輸入作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)和輸入信號的形式有關(guān)，對于一個給定的系統(tǒng)，當(dāng)給定輸入的形式確定后，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差將取決于開環(huán)傳遞函數(shù)描述的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。 分析穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的關(guān)系，關(guān)鍵是根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)個數(shù)所規(guī)定的控

16、制系統(tǒng)類型。設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)一般形式為,準(zhǔn)備,09:54,式中稱為系統(tǒng)的開環(huán)放大倍數(shù)或開環(huán)增益（第二章中已經(jīng)給出該公式）。開環(huán)傳遞函數(shù)的分類：以分母中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié) 個數(shù) 來定義開環(huán)傳遞函數(shù)的型。當(dāng) ……時，分別稱系統(tǒng)為0型、1型、2型……系統(tǒng)。而G(s)H(s)中其它零、極點對分類沒有影響。 下面分析系統(tǒng)在不同典型輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。,開環(huán)傳遞函數(shù)的一般形式：,準(zhǔn)備,09:5

17、4,基本公式小結(jié)：緊緊圍繞公式來研究。,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,準(zhǔn)備,09:54,令 稱 為穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù)。穩(wěn)態(tài)誤差可表示為 因此，在單位階躍輸入下，給定穩(wěn)態(tài)誤差決定于系統(tǒng)的位置穩(wěn)態(tài)誤差。對于0型系統(tǒng)，,1、  單位階躍輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差 對于單位階躍輸入，R(s)=1/s,由式（5）求得系

18、統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為,討論：,注意方法和思路,再用討論法,定義式,基本公式,基本公式,開始,09:54,對于1型系統(tǒng)（或高于1型的系統(tǒng)）， 可見，由于0型系統(tǒng)中沒有積分環(huán)節(jié)，它對階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為一定值，誤差的大小與系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)K成反比，K越大， 越小，只要K不是無窮大，系統(tǒng)總有誤差存在。 對實際系統(tǒng)來說，通常是允許存在穩(wěn)態(tài)誤差的，但不允許超過規(guī)定的指標(biāo)（如5％）。為了降低穩(wěn)態(tài)誤差，可在穩(wěn)定條

19、件允許的前提下，增大系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)，若要求系統(tǒng)對階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零，則必須選用1型或高于1型的系統(tǒng)。,說明：,09:54,,R(t),-,B(s),E(s),N(s),+,C(s),,>> step(feedback(tf(10*[0.0,1],conv([1,1],[1.67,1])),1),0:.01:35),,,,,,,,,,,,>> step(feedback(tf(10*[0.0,1],conv

20、([1,0],[1.67,1])),1),0:.01:35),>> step(feedback(tf(1*[0.0,1],conv([1,1],[1.67,1])),1),0:.01:35),從圖形中體會誤差和穩(wěn)態(tài)誤差,09:54,2、 單位斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差 對于單位斜坡輸入 ，此時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為 令 稱為穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)。 于是穩(wěn)態(tài)誤差可表示為

21、 因此，在單位斜坡輸入下，給定穩(wěn)態(tài)誤差決定于速度誤差系數(shù)。,定義式,基本公式,基本公式,09:54,對于0型系統(tǒng)， 對于1型系統(tǒng)，,再用討論法,09:54,對于2型系統(tǒng)（或高于2型的系統(tǒng)）， 上面的計算表明，在單位斜坡輸入作用下，0型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為 ，而1型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為一定值，且誤差與開環(huán)放大系數(shù)成反比。為了使穩(wěn)態(tài)誤差不超過

22、規(guī)定值，可以增大系統(tǒng)的K值。2型或高于2型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差總為零。因此，對于單位斜坡輸入，要使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為一定值或為零，必需 ，也即系統(tǒng)必須有足夠積分環(huán)節(jié)。,說明：,09:54,,,,,,輸入,K=5,K=1,K=0.3,階躍響應(yīng),階躍響應(yīng)：零穩(wěn)態(tài)誤差,斜坡響應(yīng)：穩(wěn)態(tài)誤差為常數(shù),指令：t=0:.01:20;u=t;lsim(feedback(tf(5*[0,1],conv([1,0],[1.67,1])),1),u,t),

23、09:54,3、單位拋物線輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差 對于單位拋物線輸入 ，此時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為 令 稱 為穩(wěn)態(tài)加速度誤差系數(shù)。于是穩(wěn)態(tài)誤差可表示為 對于0型系統(tǒng)，于是穩(wěn)態(tài)誤差可表示為,定義式,基本公式,基本公式,09:54,對于1型系統(tǒng)，對于2型系統(tǒng)，,09:5

24、4,對于3型系統(tǒng)（或高于3型的系統(tǒng)）， 以上計算表明，在單位拋物線輸入作用下，0型和1型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為 ，2型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為一定值，且誤差與開環(huán)放大系數(shù)成反比。對3型或高于3型的系統(tǒng)，其穩(wěn)態(tài)誤差為零。但是，此時要使系統(tǒng)穩(wěn)定則比較困難。,說明：,09:54,>> t=0:.01:300;>> u=1/2*t.^2;>>lsim(feedback(tf(

25、0.001*conv([10,1],[25,1]),conv([1,0],conv([1,0],[15,1]))),1),u,t) K=0.001,0.0005,0.0002,,,誤差,09:54,>> t=0:.01:100;>> u=1/2*t.^2;>>lsim(feedback(tf(0.14*conv([8,1],[4,1]),conv([1,0],conv([1,0],[6,1]))

26、),1),u,t)K=0.14,0.04,0.0094,,,誤差,09:54,在各種典型輸入信號作用下，不同類型系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差如表3-1所示。,小結(jié)：,09:54,1.注意使用線性疊加原理。即給定輸入信號增加多少倍，則穩(wěn)態(tài)誤差也增加相同的倍數(shù)；若給定輸入信號是上述典型信號的線性組合，則系統(tǒng)相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差就由疊加原理求出。例如，若輸入信號為則系統(tǒng)的總穩(wěn)態(tài)誤差為 2.穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù) 、 、和 描述了系統(tǒng)對減小

27、和消除穩(wěn)態(tài)誤差的能力，因此，它們是系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)特性的一種表示方法，可以理解為穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)。提高開環(huán)放大系數(shù) K或增加開環(huán)傳遞函數(shù)中的積分環(huán)節(jié)數(shù)，都可以達到減小或消除系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的目的。但是，這兩種方法都受到系統(tǒng)穩(wěn)定性的限制。因此，對于系統(tǒng)的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性必須統(tǒng)籌兼顧、全面衡量。,說明：,可以作為基本公式。,09:54,3.由以上討論可知，當(dāng) 時，系統(tǒng)相對 的穩(wěn)態(tài)誤差為零，當(dāng) 時，系統(tǒng)相對的穩(wěn)態(tài)誤差為

28、零；當(dāng) 時，系統(tǒng)相對的穩(wěn)態(tài)誤差為零。因此，當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)含有 個串聯(lián)積分環(huán)節(jié)時，稱系統(tǒng)對給定輸入 r(t)是 階無差系統(tǒng)，而 稱為系統(tǒng)的無差度。例1 設(shè)圖示系統(tǒng)的輸入信號r(t)=10+5t， 試分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性并求出其穩(wěn)態(tài)誤差。 解 由圖求得系統(tǒng)的特征方程為,1.先判穩(wěn),09:54,由特征方程列勞斯表 2 1+0.5K

29、 3 K要使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須 K >0 , 1+0.5K >0 , 3(1+0.5K)－2K >0解得 K >0，K>-2，K< 6所以，當(dāng)0< K< 6時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 （1）由圖可知，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)分別為,K,2.再求穩(wěn)態(tài)誤差,09:54,所以，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

30、 上述結(jié)果表明，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與K成反比，K值越大，穩(wěn)態(tài)誤差越小，但K值的增大受到穩(wěn)定性的限制，當(dāng)K >6時，系統(tǒng)將不穩(wěn)定。,（2）求穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù),（3）求穩(wěn)態(tài)誤差,3.說明：,09:54,>> [rt,info]=routhtf(tf(6*[0.5,1],conv([1,0],conv([1,1],[2,1]))))rt =2 4 3 6 6 0 6

31、 0info =All elements in row 3 are zeros;,>> syms t>> r=10+t;>> [kpva,es]=ess(tf(6*[0.5,1],conv([1,0],conv([1,1],[2,1]))),r)kpva = [ inf, 6, 0] es =5/6,解法2：MATLAB輔助法,09:54,>>t=0:.01:50

32、;>>r=10+t;>>lsim(feedback(tf(2*[0.5,1],conv([1,0],conv([1,1],[2,1]))),1),r,t);k=6,2,0.5,0.2,0.1,0.051;,,,可視化,誤差,09:54,三、擾動穩(wěn)態(tài)誤差 控制系統(tǒng)除了受到給定輸入的作用外，通常還受到擾動輸入的作用。系統(tǒng)在擾動輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差的大小，反映了系統(tǒng)的抗干擾能力。,化成便于觀察的形式,R(

33、s)=0,09:54,擾動輸入可以作用在系統(tǒng)的不同位置，因此，即使系統(tǒng)對于某種形式的給定輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零，但對同一形式的擾動輸入其穩(wěn)態(tài)誤差則不一定為零。下面根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，以圖3-25所示系統(tǒng)來討論由擾動輸入所產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差。按照前面給出的誤差信號的定義可得擾動輸入引起的誤差為而此時系統(tǒng)的輸出為,想著梅孫公式,09:54,式中稱為擾動輸入作用下系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)。此時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為,所以,可以比照著給定輸入情況的

34、討論對擾動輸入進行同樣的討論。,,,,,,,,,,,,,,N(s),E(s),+,+,C(s),B(s),09:54,例2 設(shè)控制系統(tǒng)如圖3-26所示，其中給定輸入 ，擾動輸入（ 和 均為常數(shù) ），試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。,09:54,解 當(dāng)系統(tǒng)同時受到給定輸入和擾動輸入的作用 時，其穩(wěn)定誤差為給定穩(wěn)態(tài)誤差和擾動穩(wěn)態(tài)誤差的疊加。令n(t)=0時，求得給定輸入作用下的誤差傳遞函數(shù)為

35、所以給定穩(wěn)態(tài)誤差為,,,,,,,,,,,R(s),-,,,+,N(s),圖3-26 例2系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖,C(s),,09:54,令r(t)=0時，求得擾動輸入作用下的誤差傳遞 函數(shù)為 所以擾動穩(wěn)態(tài)誤差為 由上式計算可以看出，r(t)和n(t)同是階躍信號，由于在系統(tǒng)中的作用點不同，故它們產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差也不相同。此外，由擾動穩(wěn)態(tài)誤差的表達式可見，提高系統(tǒng)前向通道中擾動信號作用點之前的環(huán)節(jié)G1(s)的放大系數(shù)（即

36、），可以減小系統(tǒng)的擾動穩(wěn)態(tài)誤差。該系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差為,09:54,為了分析系統(tǒng)中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)對穩(wěn)態(tài)誤差的影響，我們假設(shè)圖3-26中 給定輸入和擾動輸入保持不變。這時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差可按上述相同的方法求出，即,09:54,系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差為 比較以上兩次計算的結(jié)果可以看出，若要消除系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差，則系統(tǒng)前向通道中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)都起作用。若要消除系統(tǒng)的擾動穩(wěn)態(tài)誤差，則在系統(tǒng)前向通道中只有擾動輸入作用點之前G1

37、(s)的積分環(huán)節(jié)才起作用。因此，若要消除由給定輸入和擾動輸入同時作用于系統(tǒng)所產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差，則串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)應(yīng)集中在前向通道中擾動輸入作用點之前(即G1(s)中） 。,09:54,誤差分析,1 誤差定義,輸入端定義：,E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-C(s)H(s),輸出端定義：,E(s)=R(s)-C(s),,,En(s)=C希-C實= –Cn(s),09:54,2 例題,求圖示系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess 。,其中 r(t)=t,

38、 n(t)= -1(t),解：,令n(t)=0,,因為系統(tǒng)穩(wěn)定，所以,,,令r(t)=0,,En(s)= -Cn(s),總誤差ess=essr+ essn,09:54,,G0H0,3 系統(tǒng)型別,,,此時的k為開環(huán)增益,sν表示開環(huán)有ν個極點在坐標(biāo)原點,,ν=0,稱為0型系統(tǒng),稱為Ⅰ型系統(tǒng),稱為Ⅱ型系統(tǒng),稱為Ⅲ型系統(tǒng),ν=1,ν=2,ν=3,09:54,對于非單位反饋系統(tǒng)，當(dāng)H（s）為常數(shù)時，以上分析的有關(guān)結(jié)論同樣適用。前面定義了相對于給

39、定輸入的無差度，同樣也可以定義相對于擾動輸入的無差度。當(dāng)系統(tǒng)的 中含有 個串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)時稱系統(tǒng)相對于擾動輸入是 階無差系統(tǒng)，而 稱為系統(tǒng)相對于擾動輸入的無差度。對本例中的前一種情況，系統(tǒng)對擾動輸入的無差度為0，而后一種情況，系統(tǒng)對擾動的無差度是1。顯然，當(dāng)談及一個系統(tǒng)的無差度時應(yīng)指明系統(tǒng)對哪一種輸入作用而言，否則，可能會得出錯誤的結(jié)論。,09:54,四、減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差的方法,前面的討論表明，為了減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差

40、，可以增加開環(huán)傳遞函數(shù)中的串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的數(shù)目或提高系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)。但是，串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)一般不超過2，而開環(huán)放大系數(shù)也不能任意增大，否則系統(tǒng)將可能不穩(wěn)定。為了進一步減小系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差，還可以采用加前饋控制的復(fù)合控制方法，即從給定輸入或擾動輸入處引出一個前饋控制量（擾動必須是可以測量的），加到系統(tǒng)中去，通過適當(dāng)選擇補償裝置和作用點，就可以達到減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差的目的。,09:54,在下圖所示系統(tǒng)中，為了消除由r(t)引起的穩(wěn)態(tài)誤差，可在原

41、反饋控制的基礎(chǔ)上，從給定輸入處引出前饋量經(jīng)補償裝置 加到系統(tǒng)控制量中。此時系統(tǒng)誤差信號的拉氏變換式為經(jīng)整理得 顯然，如果選擇補償裝置的傳遞函數(shù)為則系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差為零。,注意：用梅遜公式可以直接寫出傳遞函數(shù),09:54,在下圖所示系統(tǒng)中，為了消除由n(t)引起的穩(wěn)態(tài)誤差，可在原反饋控制的基礎(chǔ)上，從擾動輸入引出前饋量經(jīng)補償裝置 加到系統(tǒng)中，若設(shè)r(t)=0，則系統(tǒng)的輸出-C(s)就是系統(tǒng)的誤差信號。系統(tǒng)輸

42、出的拉氏變換式為經(jīng)整理得 顯然，如果選擇補償裝置的傳遞函數(shù)為,提問：E(s)應(yīng)該放在a還是b處？為什么？,a b,要用好直接使用梅遜公式得到傳遞函數(shù)和輸出表達式的基本功。,09:54,則可使輸出不受擾動n(t)的影響，故系統(tǒng)的擾動穩(wěn)態(tài)誤差為零。 從直觀上看，當(dāng)滿足 時，擾動信號經(jīng)兩條通道到達A點，兩個分支信號正好大小相等，符號相反，因而實現(xiàn)了對擾動的全補償。由于物理上可實現(xiàn)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)總是

43、滿足分母的階次大于或等于其分子的階次，要求構(gòu)造出分子的階次大于或等于其分母階次的補償裝置，這通常是不可能的。此外，由于傳遞函數(shù)的元件參數(shù)隨著時間的推移也會發(fā)生變化，這就使得全補償條件不可能成立。所以，實際上只能實現(xiàn)近似補償。可以證明（有條件），前饋控制加入前后，系統(tǒng)的特征方程保持不變（前邊的傳遞函數(shù)可直接看出），因此，系統(tǒng)的穩(wěn)定性將不會發(fā)生變化。,09:54,五、動態(tài)誤差及動態(tài)誤差系數(shù)方法,前面研究的穩(wěn)態(tài)誤差主要討論的是典型輸入信號下的

44、穩(wěn)態(tài)誤差，對于部分非典型信號（如正弦信號）下，求穩(wěn)態(tài)誤差的極限計算方法可能不能用。另外，我們可能還需要了解輸出響應(yīng)在進入穩(wěn)態(tài)（t>ts)后變化的規(guī)律如何。這些問題用前面介紹的方法都不方便。因此，下面再介紹一種適應(yīng)范圍更廣泛的方法：動態(tài)誤差系數(shù)法（又稱廣義誤差系數(shù)法）。（以給定穩(wěn)態(tài)誤差為例）,根據(jù)定義誤差信號的拉氏變換式為：,將誤差傳遞函數(shù)Φe（s）在s=0的鄰域內(nèi)展開成泰勒級數(shù)，得,09:54,得誤差信號拉氏變換的一般表達式為：,

45、在零初始條件下，對上述級數(shù)求拉氏反變換，得穩(wěn)態(tài)誤差隨時間變化得函數(shù)關(guān)系如下：,定義,為動態(tài)誤差系數(shù)。,09:54,特別稱C0為動態(tài)位置誤差系數(shù)； C1為動態(tài)速度誤差系數(shù)； C2為動態(tài)加速度誤差系數(shù)。,說明：“動態(tài)”二字的含意是指這種方法可以完整描述系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差ess(t)隨時間變化的規(guī)律，而不是指誤差信號中的瞬態(tài)分量變化的情況。因為上邊的誤差計算式只是在時間趨于無窮時才成立。如果輸

46、入信號r(t)中包含有隨時間增長而趨于零的分量，則這一輸入分量不應(yīng)包含在誤差級數(shù)中的輸入信號及其各階導(dǎo)數(shù)之內(nèi)。,09:54,動態(tài)誤差系數(shù)的計算方法：1.多項式除法：1）將分子多項式和分母多項式分別按升冪排列；2）用多項式除法逐項求出C0,C1,C2,…2.泰勒公式直接求取法：利用定義式逐個計算。3.MATLAB輔助計算法：使用函數(shù)：taylor,taylortool.[cof,fn,E]=trerror(tfge,r,n),

47、(動態(tài)誤差及動態(tài)誤差系數(shù)計算）[kpva,Ess]=ess(tf,r)。（典型信號及其組合的穩(wěn)態(tài)誤差）,09:54,例：已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：,系統(tǒng)一：,系統(tǒng)二：,求動態(tài)誤差系數(shù)。,解：根據(jù)公式得：,09:54,用長除法,系統(tǒng)一：,系統(tǒng)一動態(tài)誤差系數(shù)：,C10=0C11=0.1C12=0.09C13=-0.019…………,09:54,用長除法,系統(tǒng)二：,系統(tǒng)二動態(tài)誤差系數(shù)：,C20=0C21=0.1C22=0.

48、 19C23=-0.039…………,09:54,tfge=tf([1,1,0],[1,1,10])r=1[cof,fn,E]=trerror(tfge,r,5),用MATLAB法:,09:54,Transfer function: s^2 + s------------s^2 + s + 10 r = 1cof = 0 0.1000 0.0900 -0.0190 -0.0071fn =1/

49、10*s+9/100*s^2-19/1000*s^3-71/10000*s^4 E =1/10*Dirac(t)+9/100*Dirac(1,t)-19/1000*Dirac(2,t)-71/10000*Dirac(3,t),結(jié)果：,09:54,穩(wěn)態(tài)誤差小結(jié)：1.公式小結(jié),（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,（1）基本公式,給定輸入單獨作用時,09:54,擾動單獨作用時,給定輸入和擾動共同作用時,（6）,（7）,（8）,（9）,

50、（10）,（11）,09:54,（2）導(dǎo)出公式,09:54,2.方法小結(jié)：根據(jù)基本公式和各種典型輸入型號進行討論。,3.消除穩(wěn)態(tài)誤差的方法小結(jié)：（1）重點集中在前向通路最前端的傳遞函數(shù)中（如G1(s)中）。措施：a.增加穩(wěn)態(tài)增益；b.增加積分環(huán)節(jié)的個數(shù)；（2）使用給定前饋補償和擾動前饋補償近似消除部分已知和可測信號造成的穩(wěn)態(tài)誤差。,09:54,4.穩(wěn)態(tài)誤差的計算方法(1).拉氏變換的終值定理 當(dāng)輸入信號為

51、 時,可用終值定理計算靜態(tài)誤差,諧波(正弦,余弦)輸入時不能應(yīng)用此定理。(2).根據(jù)誤差定義求穩(wěn)態(tài)誤差的方法 a.求誤差響應(yīng)傳遞函數(shù),09:54,b.誤差響應(yīng)的象函數(shù)c.誤差響應(yīng)的原函數(shù)d.求極值 即為穩(wěn)態(tài)誤差。 如系統(tǒng)同時存在輸入信號和擾動信號,則系統(tǒng)誤差的求法如下：,09:54,為系統(tǒng)對輸入信號的誤差傳遞函數(shù), 為

52、系統(tǒng)對擾動信號的誤差傳遞函數(shù)。 則:,09:54,作業(yè)：3-15，3-16,09:54,例:已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下,試求系統(tǒng)在輸入信號r(t)=t和擾動信號n(t)=-1(t)同時作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess,舉例：,09:54,解:理想情況偏差信號E(S)＝0， 則系統(tǒng)在輸入信號作用下的希望輸出為：,注意：這里又是一種有意義的推導(dǎo)方法，即按輸出定義的誤差進行推導(dǎo)的方法,09:54,對于擾動信

53、號N(s)而言,理想的情況就是擾動信號引起的輸出為0,即希望系統(tǒng)的輸出一點都不受擾動的影響。 系統(tǒng)在輸入信號和擾動信號作用下的實際輸出為:,09:54,則R(s)和N(s)引起的系統(tǒng)誤差為:,用梅遜公式理解,09:54,在本題中,首先要判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性,如果系統(tǒng)不穩(wěn)定,不可能存在穩(wěn)態(tài)誤差。特征方程為:,09:54,即:所以系統(tǒng)穩(wěn)定。根據(jù)推導(dǎo)出的公式:,根據(jù)胡爾維茨判據(jù),09:54,系統(tǒng)的誤差與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)有關(guān),還與外作用(輸

54、入信號,擾動)的大小及形式有關(guān)。,注意：本例題給出了計算穩(wěn)態(tài)誤差的定義方法。,09:54,例:控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖為 試分別求出H(s)=1和H(s)=0.5時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。,,,注意：本例題直接使用公式法。,09:54,解:當(dāng)H(s)=1時,系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為則系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差當(dāng)H(s)=0.5時,,09:54,若上列在H(s)=1時,系統(tǒng)的允許誤差為0.2,問開環(huán)增益k應(yīng)等于多少? 當(dāng)

55、 時,上例的穩(wěn)態(tài)誤差又是多少? 因為0型系統(tǒng)在速度輸入和加速度輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差為無窮大,根據(jù)疊加原理,ess=∞,09:54,擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差,實質(zhì)上就是擾動引起的穩(wěn)態(tài)輸出的負值,它與開環(huán)傳遞函數(shù) G(s)=G1(s)G2(s)H(s)及擾動信號N(s)有關(guān),還與擾動作用點的位置有關(guān)。,09:54,注意：這里用心算法。,09:54,作用點不

56、同,穩(wěn)態(tài)誤差也不同。 在擾動作用點之前的前向通路中增加一個積分環(huán)節(jié)用 （比例積分調(diào)節(jié)器）代替,09:54,提高擾動作用點前的積分環(huán)節(jié)個數(shù)和增益,可以減小或消除擾動引起的穩(wěn)態(tài)誤差,但同樣會降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 綜上所述,為了減小輸入信號引起的穩(wěn)態(tài)誤差，可以提高開環(huán)傳遞函數(shù)的積分環(huán)節(jié)個數(shù)和增益。,09:54,為了減小擾動作用引起的穩(wěn)態(tài)誤差，可以提高擾動作用點之前傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的個數(shù)和增益。

57、而這樣都會降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而提高開環(huán)增益還會使系統(tǒng)動態(tài)性能變差，有些控制系統(tǒng)既要求有較高的穩(wěn)態(tài)精度，又要求有良好的動態(tài)性能，利用上述方法難以兼顧。為此我們用下列方法減小和消除穩(wěn)態(tài)誤差。,09:54,例:系統(tǒng)輸出:,注意：這個例子就是一個典型的調(diào)速例子。,注意用梅孫公式思考。,09:54,若選 則系統(tǒng)的輸出不受擾動的影響,但不容易物理實現(xiàn)。因為一般物理系統(tǒng)的

58、傳遞函數(shù)都是分母的階次高于或等于分子的階次。 如果選 則在穩(wěn)態(tài)情況下,這就是穩(wěn)態(tài)全補償, 實現(xiàn)很方便。,09:54,同樣,全補償也難以實現(xiàn),通常采用穩(wěn)態(tài)補償?shù)姆椒▉頊p小或消除系統(tǒng)在輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。,09:54,不引入補償裝置，則系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 為Ⅰ型系統(tǒng),所以在速度輸入信號作用下,存在常值穩(wěn)態(tài)誤差,09:54,引入按輸入補償?shù)淖饔肎r(s),則