“千課萬人”鄭毓信數(shù)學(xué)教育的若干深層次思考（壓縮版）

1、數(shù)學(xué)教育的若干深層次思考,鄭毓信（2016，4）,簡介,享受國務(wù)院特殊津貼專家，江蘇省文史館館員；南京大學(xué)哲學(xué)系教授，博士生導(dǎo)師。從事學(xué)術(shù)研究與教學(xué)工作50多年，曾多次赴英、美與我國港臺(tái)地區(qū)作長期學(xué)術(shù)訪問，意大利、德國、荷蘭等多所著名大學(xué)作學(xué)術(shù)講演。已出版專著32部，論文350多篇，在數(shù)學(xué)哲學(xué)、數(shù)學(xué)教育、科學(xué)哲學(xué)等領(lǐng)域有較大影響。,報(bào)告主要內(nèi)容,引言：從優(yōu)秀教師的成長歷程談起。一、聚焦“核心素養(yǎng)”；二、課例研究的必要發(fā)展；三、教

2、師如何才能用好教材？,引言：從優(yōu)秀教師的成長歷程談起,背景：16位著名特級(jí)教師的成長案例（華應(yīng)龍主編，《做一個(gè)優(yōu)秀的小學(xué)數(shù)學(xué)教師》，教育科學(xué)出版社，2011）。曹培英；錢守旺；丁杭纓；俞正強(qiáng)；夏青峰；賁友林；錢金鐸；徐長青；許衛(wèi)兵；徐斌；黃愛華；劉莉；林心明；朱育紅；華應(yīng)龍；李烈。,,,應(yīng)有的思考,問題1：我們能否由此總結(jié)出關(guān)于優(yōu)秀小學(xué)數(shù)學(xué)教師成長的若干規(guī)律？問題2：什么是優(yōu)秀小學(xué)數(shù)學(xué)教師的主要標(biāo)準(zhǔn)？,一些明顯的共同點(diǎn),第一，這些教

3、師都畢業(yè)于中等師范學(xué)校；第二，盡管有少數(shù)“幸運(yùn)者”，但其中的大多數(shù)人都起步于偏僻的農(nóng)村小學(xué)，根本談不上什么成長的環(huán)境。這能否被看成普遍規(guī)律、也即優(yōu)秀教師成長的必由途徑？,可能的啟示（1）,盡管原來的中師已不復(fù)存在，大多數(shù)中數(shù)畢業(yè)生后來也都有一個(gè)學(xué)歷提升的過程，但是，所說的“學(xué)歷提升”對(duì)其成長究竟起了什么作用？當(dāng)年的中師學(xué)習(xí)經(jīng)歷對(duì)于他們的成長又有哪些影響？我們并可從中獲得哪些啟示和教益？,可能的啟示（2）,盡管現(xiàn)在的情況有了很大的變化

4、，但是，當(dāng)年在偏僻農(nóng)村的執(zhí)教經(jīng)歷對(duì)這些教師后來的發(fā)展又有什么重要的影響？,可能的結(jié)論,事實(shí)上，即使我們?cè)诮裉焐硖幋笾谐鞘?，?duì)于教師的成長也有很多不利的因素：你能否自覺抵制外部的各種誘惑，不僅能夠?qū)W會(huì)淡泊與放棄，也能由自己的工作獲得真正的快樂，從而就能平心靜氣、認(rèn)認(rèn)真真過好每一天，包括始終保持旺盛的前進(jìn)動(dòng)力。,回到原來的問題,問題1：究竟什么是優(yōu)秀小學(xué)數(shù)學(xué)教師成長的基本規(guī)律或必由途徑？問題2：什么又應(yīng)被看成優(yōu)秀小學(xué)數(shù)學(xué)教師的主要標(biāo)準(zhǔn)？,

5、可能的解答,張興華老師的總結(jié)：（1）教學(xué)實(shí)踐的認(rèn)真總結(jié)與反思；（2）加強(qiáng)學(xué)習(xí)。關(guān)鍵：“勤于思考，善于思考”！,相關(guān)的論述（1）,“勤于思考，善于思考，是宋煜陽突出的學(xué)習(xí)特點(diǎn)。他認(rèn)為一切創(chuàng)新，思考先行?！兄趯?duì)外來信息的獨(dú)立判斷，行之于對(duì)實(shí)際問題的追溯改進(jìn)，行之于對(duì)自我意志的百般錘煉’?！保至几弧！白咴诮虒W(xué)研究的幸福之路上”，《小學(xué)教學(xué)》，2015年第10期）,主要的啟示：思考些什么？,第一，對(duì)外來信息的獨(dú)立判斷，特別是，不應(yīng)盲

6、目地追隨潮流。第二，實(shí)際問題的總結(jié)反思，這也是“反思性實(shí)踐者”這一關(guān)于教師工作新定位的主要特征。,相關(guān)的論述（2）,“我國近幾十年的教改，政府層面主要提出兩個(gè)關(guān)鍵詞：素質(zhì)教育、新課程改革。今天較為活躍的中青年專家，大都是在當(dāng)年‘新課程’的形勢下成長起來的——有意思的是，大家并不是按‘課程標(biāo)準(zhǔn)’成長起來的?！薄拔艺J(rèn)為，解決教室里的問題，永遠(yuǎn)是課程改革的最佳出發(fā)點(diǎn)?！?（干國祥，“課程，課程”，《福建教育》，2016年第3期）,相關(guān)的思

7、考：優(yōu)秀教師的主要標(biāo)準(zhǔn)？,優(yōu)秀教師的特色不應(yīng)局限于教學(xué)方法或模式，也應(yīng)體現(xiàn)其對(duì)于教學(xué)內(nèi)容的深刻理解，反映他對(duì)于學(xué)習(xí)和教學(xué)活動(dòng)本質(zhì)的深入思考，以及對(duì)于理想課堂與教師自身價(jià)值的深切理解與執(zhí)著追求。,參考文獻(xiàn)（1）,鄭毓信，“教師應(yīng)有自己的獨(dú)立思考”，《小學(xué)教學(xué)》，2014年第4期。鄭毓信，“數(shù)學(xué)教師專業(yè)成長的6個(gè)關(guān)鍵詞”，《小學(xué)教學(xué)》，2015年第4、5期,一、聚焦“核心素養(yǎng)”,背景：教育領(lǐng)域的新熱點(diǎn)。“今天，這個(gè)概念體系（指“核心素養(yǎng)

8、”——注）正在成為新一輪課程改革深化的方向。”（《人民教育》，2015年第7期，“社評(píng)”）“當(dāng)今世界各國教育都在聚焦對(duì)于人的核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。”（顧明遠(yuǎn)）,相關(guān)的事實(shí)：教師培訓(xùn)的熱門主題,第六屆中國小學(xué)數(shù)學(xué)教育峰會(huì)：“聚焦數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”（2015，10，杭州）“全國小學(xué)數(shù)學(xué)‘深度學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下的未來課堂’教學(xué)研討峰會(huì)”（2015，11，中山）“全國小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科價(jià)值與核心素養(yǎng)專題觀摩研討會(huì)”（2015，12，深圳）“第一屆海峽

9、兩岸小學(xué)數(shù)學(xué)‘核心素養(yǎng)’課程與教學(xué)觀摩研討會(huì)”（2015，12）“第二屆悅遠(yuǎn)教育海峽兩岸小學(xué)數(shù)學(xué)‘核心素養(yǎng)’課程與教學(xué)觀摩研討會(huì)”（2016，4）,應(yīng)當(dāng)堅(jiān)持的基本立場,我們不應(yīng)盲目地去追隨潮流，而應(yīng)始終堅(jiān)持自己的獨(dú)立思考?！胺叛凼澜?，立足本土；聚焦改革，注重理念?！保?002）,應(yīng)有的思考,問題1：現(xiàn)今對(duì)于“核心素養(yǎng)”的提倡與一般意義上的“素質(zhì)教育”有什么聯(lián)系和區(qū)別？ 問題2：數(shù)學(xué)教育又應(yīng)如何去落實(shí)“走向核心素養(yǎng)”這一整體性的教育

10、思想？,有益的比較,“2014年3月，教育部印發(fā)了《關(guān)于全面深化課程改革、落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的意見》，提出了‘核心素養(yǎng)’概念，為進(jìn)一步深化課程改革指明了方向?！薄敖裉?，這個(gè)概念體系（指“核心素養(yǎng)”——注）正在成為新一輪課程改革深化的方向?！保ā吧缭u(píng)”，《人民教育》，2015年第7期）,有益的比較,“1997年國家教委印發(fā)《關(guān)于當(dāng)前積極推進(jìn)中小學(xué)實(shí)施素質(zhì)教育的若干意見》，提出應(yīng)‘著眼于受教育者長遠(yuǎn)發(fā)展的要求，以面向全體學(xué)生，全面提高學(xué)

11、生的基本素質(zhì)為根本宗旨?！渲羞€特別提到，要建立一整套‘素質(zhì)教育運(yùn)行體系’，包括‘以全面提高學(xué)生素質(zhì)為目標(biāo)的課程體系。’”,,“1999年1月，國務(wù)院批轉(zhuǎn)教育部《面向21世紀(jì)教育振興行動(dòng)計(jì)劃》。其中指出，要‘整體推進(jìn)素質(zhì)教育’，并首次指出‘2000年初步形成現(xiàn)代化基礎(chǔ)教育課程框架和標(biāo)準(zhǔn)’，要‘啟動(dòng)新課程的實(shí)驗(yàn)’?！薄巴?月，一份關(guān)于素質(zhì)教育的標(biāo)志性文件——《中共中央國務(wù)院關(guān)于深化教育改革，全面推進(jìn)素質(zhì)教育的決定》發(fā)布，其中明確素質(zhì)教

12、育‘以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力為重點(diǎn)’，指出‘全面推進(jìn)素質(zhì)教育，是我國教育事業(yè)的一場深刻變革?！?應(yīng)有的思考,問題1：現(xiàn)今對(duì)于“核心素養(yǎng)”的提倡與一般所謂的“素質(zhì)教育”究竟有什么聯(lián)系和區(qū)別，特別是，“以素養(yǎng)發(fā)展為核心的教育”與新一輪課程改革中對(duì)于“三維目標(biāo)”的提倡究竟又有什么不同？,,關(guān)鍵：究竟什么是這里所說的“素養(yǎng)”或“核心素養(yǎng)”的具體內(nèi)涵？筆者的看法：盡管存在不少的論述，但在這一方面應(yīng)當(dāng)說還有很長的路要走！,具體的建議： “

13、教育貴在堅(jiān)持”（一個(gè)實(shí)例）,“從來沒想到，在北京一所不起眼的小區(qū)配套學(xué)校里，居然有一群人，對(duì)‘三維’目標(biāo)的研究如此執(zhí)著達(dá)8年之久；他們從學(xué)科知識(shí)走到了知識(shí)樹，從知識(shí)樹走到了能力，從能力走到了高位目標(biāo)，并解決了一系列教學(xué)困惑和問題。無論課改形勢發(fā)生什么變化，都沒有動(dòng)搖他們的研究精神。10年過去了，這所普通學(xué)校迅速成長為海淀區(qū)第一方陣的佼佼者……進(jìn)校附校是這里面的‘勝利者’，勝在了‘執(zhí)著’二字 ?！保ā度嗣窠逃罚?011年第6期）,一個(gè)更

14、深的憂慮,教育領(lǐng)域中的常見現(xiàn)象：頻繁的口號(hào)操作與純粹的“文字游戲”。的確，如果我們過于頻繁地提出各種口號(hào)，又缺乏深入的研究與必要的解讀，就很容易給人留下“玩弄文字”的印象，更必然地會(huì)給實(shí)際工作造成嚴(yán)重的消極影響。,,問題2：數(shù)學(xué)教育應(yīng)當(dāng)如何去落實(shí)“核心素養(yǎng)”？兩條可能的途徑：（1）“核心素養(yǎng)”應(yīng)當(dāng)落實(shí)到各個(gè)學(xué)科，我們并應(yīng)具體地去研究“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”等相關(guān)的概念；（2）應(yīng)當(dāng)更加重視傳統(tǒng)課程的改革與整合：“基礎(chǔ)教育要去學(xué)科化”。,第

15、一種觀點(diǎn),“只從學(xué)科的角度出發(fā)，不利于學(xué)生素養(yǎng)的發(fā)展?！保櫭鬟h(yuǎn)）“基礎(chǔ)教育要去學(xué)科化，強(qiáng)調(diào)綜合”。我們不僅應(yīng)當(dāng)積極提倡各個(gè)傳統(tǒng)學(xué)科的綜合，也應(yīng)以“整體性思維”取代“學(xué)科性思維”。顯然，按照上述的觀點(diǎn)，我們?cè)诋?dāng)前就完全沒有必要、也根本不應(yīng)去提及所謂的“數(shù)學(xué)（及其它各個(gè)學(xué)科的）核心素養(yǎng)”。,一個(gè)相關(guān)的實(shí)踐,“清華附小……通過核心素養(yǎng)的‘打底’、‘1+X課程’的整合和直接完整性的教學(xué)，照亮了孩子人生發(fā)展的道路和未來的遠(yuǎn)景?！保ā度嗣窠?/p>

16、育》2015年第13期，特約評(píng)論員）“基于學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)的‘1+X課程’改革對(duì)于當(dāng)下的基礎(chǔ)教育課程改革具有價(jià)值引領(lǐng)的意義?！保櫭鬟h(yuǎn)，《人民教育》，2015年第13期）,筆者的思考（1）,數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域中相關(guān)研究的啟示：（1）數(shù)學(xué)中對(duì)于統(tǒng)一性的追求；（2）數(shù)學(xué)教育中關(guān)于“整合數(shù)學(xué)”的研究。,,例如，這是課改以來各種數(shù)學(xué)教材的一個(gè)共同特點(diǎn)，即是認(rèn)為我們應(yīng)當(dāng)完全打破關(guān)于代數(shù)（算術(shù)）、幾何等學(xué)科分支的傳統(tǒng)區(qū)分。但由仔細(xì)的分析可以

17、看出，現(xiàn)今所看到的各種“整合”事實(shí)上都只是對(duì)代數(shù)（算術(shù)）與幾何的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行了混合編排，但就各個(gè)內(nèi)容的具體安排而言，應(yīng)當(dāng)說仍然保持了相對(duì)的獨(dú)立性。,,再例如，盡管數(shù)學(xué)中存在多個(gè)不同的數(shù)學(xué)分支，而且，隨著研究的深入，這種多元化的趨勢更有不斷加強(qiáng)的跡象；但數(shù)學(xué)中也始終存在強(qiáng)大的統(tǒng)一趨勢。如克萊因（F. Klein）關(guān)于幾何學(xué)研究的是（各種）變換群之下的不變量的思想；法國布爾巴基學(xué)派關(guān)于數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的研究，等等。,相關(guān)的啟示（1）,由相關(guān)研究可

18、以看出：數(shù)學(xué)中不同學(xué)科分支的整合決非易事，我們更不應(yīng)將此簡單地等同于相關(guān)內(nèi)容在形式上的簡單組合；恰恰相反，最為重要的即是我們能否通過深入的分析和研究，揭示出對(duì)象的共同本質(zhì)。,相關(guān)的啟示（2）,與唯一強(qiáng)調(diào)統(tǒng)一性相比較，我們又應(yīng)更加重視多元化與統(tǒng)一性之間的辯證關(guān)系，特別是，我們又如何能通過這方面的研究不斷深化自己的認(rèn)識(shí)。,,我們?cè)诖瞬?yīng)注意防止這樣一種現(xiàn)象，即是人為地制造某種“統(tǒng)一”；毋寧說，在追求“統(tǒng)一性”的同時(shí)，我們也應(yīng)高度重視對(duì)象不同

19、特點(diǎn)的分析，并應(yīng)深入地去思考所說的“統(tǒng)一”究竟是否有其一定的合理性和必要性。,聚焦“1+X課程”,所謂的“1”，是“指優(yōu)化整合后的國家基礎(chǔ)性課程，我們把原來的十幾門課程，根據(jù)學(xué)科屬性、學(xué)習(xí)規(guī)律及學(xué)習(xí)方式整合成五大領(lǐng)域：‘品格與社會(huì)’‘體育與健康’‘語言與人文’‘?dāng)?shù)學(xué)與科技’‘藝術(shù)與審美’?！绷硗?，“X”則是“指實(shí)現(xiàn)個(gè)性化發(fā)展的特色課程，包括學(xué)校個(gè)性課程和學(xué)生個(gè)性課程兩個(gè)層次?！保ǜ]桂梅等，“‘1+X課程’與學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)”，《人民教育

20、》，2015年第13期）,具體的思考,既然“五大領(lǐng)域”具有不同的性質(zhì)，我們?yōu)楹斡忠獙⑵浣y(tǒng)一納入“1+X”這樣一個(gè)模式，特別是，這一做法究竟有哪些優(yōu)點(diǎn)？ 我們又應(yīng)如何去看待所說的“五大領(lǐng)域”與原先各個(gè)學(xué)科之間的關(guān)系？特別是，后者是否還具體一定的相對(duì)獨(dú)立性？,,例如，由于自然科學(xué)與人文學(xué)科顯然具有不同的性質(zhì)，因此，將“語言與人文”、“數(shù)學(xué)與科技”劃分成兩個(gè)不同領(lǐng)域就是較為合理的；但是，這事實(shí)上恰又進(jìn)一步突現(xiàn)了這樣一個(gè)問題，即是我們應(yīng)當(dāng)如何

21、去理解將它們同時(shí)歸屬于“1+X課程”這樣一個(gè)模式的合理性和必要性？,,再例如，就不同學(xué)科的整合而言，盡管數(shù)學(xué)與科學(xué)常常被看成是較為接近的（這或許也正是“1+X課程”何以提出“數(shù)學(xué)與科技”這一整合性領(lǐng)域的主要原因），但在這兩者之間事實(shí)上也存在重要的質(zhì)的區(qū)別。,,第一，按照現(xiàn)代的研究，數(shù)學(xué)事實(shí)上不應(yīng)被歸屬于一般意義上的“經(jīng)驗(yàn)科學(xué)”，而是更加接近于所謂的“思維科學(xué)”。例如，這正是人們?cè)谶@方面的一項(xiàng)共識(shí)，即是我們應(yīng)對(duì)“數(shù)學(xué)抽象”與一般所謂的“

22、經(jīng)驗(yàn)抽象”作出明確區(qū)分。,,第二，從教學(xué)的角度看，在這兩者之間也存在重要的區(qū)別：科學(xué)學(xué)習(xí)主要地應(yīng)被看成一種“觀念改變教學(xué)”，即是我們?nèi)绾文軌蛲ㄟ^科學(xué)學(xué)習(xí)幫助學(xué)生很好地實(shí)現(xiàn)由“素樸觀念”向“科學(xué)觀念”的重要轉(zhuǎn)變；與此相對(duì)照，數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目標(biāo)則是幫助學(xué)生學(xué)會(huì)思維，并能逐步養(yǎng)成“理性的精神”。,可能的結(jié)論,與唯一強(qiáng)調(diào)不同學(xué)科的整合相比較，這是課程改革深入發(fā)展更為重要的一個(gè)指導(dǎo)思想，即是如何能將“核心素養(yǎng)的培養(yǎng)”這一總體性教育目標(biāo)落實(shí)于各個(gè)學(xué)

23、科的教學(xué)，從而就不僅能夠很好地體現(xiàn)各個(gè)學(xué)科的特點(diǎn)，也能在總體上真正做到各有其長，各盡其職，相互配合，互相促進(jìn)。,必要的澄清,當(dāng)然，上面的論述并非是指我們不應(yīng)對(duì)傳統(tǒng)的學(xué)科教育作出任何改變；恰恰相反，我們應(yīng)以整體性教育目標(biāo)為指導(dǎo)積極地去從事學(xué)科教育的改革，但同時(shí)也應(yīng)注意防止各種簡單化與片面性的認(rèn)識(shí)，后者則又不僅是指對(duì)于“去學(xué)科化”的盲目提倡，也是指將各個(gè)學(xué)科的教學(xué)簡單地納入某個(gè)單一的模式。,相關(guān)的論述（1）,“課程的整體優(yōu)化與建設(shè)并不一定要

24、取消現(xiàn)在的課程分類和已經(jīng)有的學(xué)科，它的著力點(diǎn)是打破那些已經(jīng)固定的不同學(xué)科之間界線分明的邊界，是要穿越那些的近乎僵化的學(xué)科與知識(shí)界限，使課程內(nèi)容更加豐富多彩?！保ㄖx維和）,相關(guān)的論述（2）,“技能網(wǎng)建起來了……再細(xì)化，與知識(shí)掛鉤……后來發(fā)現(xiàn)，這么教不行，得學(xué)科分工，不然非亂了不可。你的學(xué)科更適合教哪個(gè)技能，其它的學(xué)科可以用這個(gè)技能?！懊總€(gè)學(xué)科都是盲人摸象的一面，其實(shí)都是不全面的。所有的學(xué)科坐在一起，才看清了這頭象，這時(shí)候，才知道，原來我

25、這個(gè)學(xué)科是干這個(gè)事情的?！保ā昂５磉M(jìn)校附校”）,一個(gè)很好的做法,“這次制定課程方案時(shí)，學(xué)科專家做的第一件事情就是思考：這門學(xué)科在孩子身上能夠產(chǎn)生哪些變化？對(duì)孩子的素養(yǎng)有哪些貢獻(xiàn)？”（張緒培）這顯然也應(yīng)被看成我們應(yīng)當(dāng)如何去界定“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”的具體途徑。,第二種觀點(diǎn)（聚焦“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”）,一個(gè)特殊的論點(diǎn)：“《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確提出了10個(gè)核心素養(yǎng)，……曾把這些稱之為核心概念，但嚴(yán)格意義上講，稱這些詞為‘概念’并不合適……本

26、文把這10個(gè)詞稱之為‘?dāng)?shù)學(xué)的核心素養(yǎng) ?！保ā靶W(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵與價(jià)值”）,筆者的思考,但是，如果所謂的“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”可以簡單地被等同于“（數(shù)學(xué)）核心概念”，那么，所有的相關(guān)工作豈不都成了純粹的“概念游戲”？！,具體工作（1）：視野的必要拓寬,盡管目前國內(nèi)所看到的主要由“核心素養(yǎng)”到“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”的發(fā)展，但后者不應(yīng)被看成全新的概念，因?yàn)?，只要將視野擴(kuò)展到國際數(shù)學(xué)教育界，就可看到不少相關(guān)的研究，其中都明確提出了“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”這樣一個(gè)

27、概念。,,進(jìn)而，對(duì)于社會(huì)進(jìn)步與個(gè)人發(fā)展的高度關(guān)注又可被看成所有這些研究的共同特點(diǎn)?！耙环矫媸巧鐣?huì)的視角：數(shù)學(xué)素養(yǎng)主要涉及到了社會(huì)—經(jīng)濟(jì)的變化與社會(huì)的技術(shù)進(jìn)步，它應(yīng)當(dāng)與此相適應(yīng)并促進(jìn)社會(huì)的整體發(fā)展；另一方面，數(shù)學(xué)素養(yǎng)又與個(gè)人的生活密切相關(guān)，也即應(yīng)當(dāng)聚焦于個(gè)人?！?主要的不同點(diǎn),對(duì)一部分學(xué)者而言，提倡“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”就意味著對(duì)于數(shù)學(xué)教育的更高要求，特別是，我們不僅應(yīng)當(dāng)積極提倡“大眾數(shù)學(xué)”，而且也應(yīng)明確地提倡“數(shù)學(xué)上普遍的高標(biāo)準(zhǔn)”。但也有一部

28、分學(xué)者認(rèn)為，“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”的界定為數(shù)學(xué)教育提供了“最低標(biāo)準(zhǔn)”。,具體工作（2）：“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”之我見,應(yīng)當(dāng)堅(jiān)持“數(shù)學(xué)上普遍的高標(biāo)準(zhǔn)”，并應(yīng)努力做到“少而精”?！皵?shù)學(xué)核心素養(yǎng)”的基本涵義：我們應(yīng)當(dāng)通過數(shù)學(xué)教學(xué)幫助學(xué)生學(xué)會(huì)思維，并能逐步學(xué)會(huì)想得更清晰，更深入，更全面，更合理。,兩個(gè)關(guān)鍵（1）：“數(shù)學(xué)地思維”與“通過數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)思維”,一個(gè)基本事實(shí)：數(shù)學(xué)思維并非思維的唯一可能形式，各種不同的思維形式（如文學(xué)思維、藝術(shù)思維、哲學(xué)思維、科學(xué)思維等）

29、也都有其一定的合理性（和局限性），從而，我們就不應(yīng)唯一地強(qiáng)調(diào)“幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維”，毋寧說，后者事實(shí)上即可被看成清楚地表明了“學(xué)科性思維”的局限性。,,當(dāng)然，我們并不應(yīng)因此而完全否定數(shù)學(xué)思維的研究和學(xué)習(xí)，毋寧說，這即是對(duì)于數(shù)學(xué)教育工作者如何做好這一方面的工作提出了更高的要求，或者說，即是指明了進(jìn)一步的努力方向：通過數(shù)學(xué)教學(xué)幫助學(xué)生學(xué)會(huì)思維！,具體建議：兩個(gè)方面的研究,（1）立足“數(shù)學(xué)思維”（數(shù)學(xué)家的思維方式），并以此作為發(fā)展學(xué)生思維

30、的必要規(guī)范，包括通過與日常思維的比較幫助人們更為深入地認(rèn)識(shí)后者的局限性，并能逐步形成一些新的思維方式等；,,（2）立足日常思維：我們并應(yīng)跳出數(shù)學(xué)、并從更為一般的角度去認(rèn)識(shí)各種數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)思想方法的普遍意義（和局限性），從而就可對(duì)促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展發(fā)揮更為積極的作用。,兩個(gè)關(guān)鍵（2）,“通過數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)思維”，并非是指想得更快、又如何能夠“與眾不同”，而主要是指我們?nèi)绾文軌驇椭鷮W(xué)生逐步學(xué)會(huì)想得更清晰，更深入，更全面，更合理。,相關(guān)的思考（1

31、）：判斷數(shù)學(xué)課成功與否的主要標(biāo)準(zhǔn),無論我們?cè)诮虒W(xué)中采取了什么樣的教學(xué)方法或模式，都應(yīng)更加關(guān)注自己的教學(xué)是否真正促進(jìn)了學(xué)生更為積極地去進(jìn)行思考，并能逐步學(xué)會(huì)想得更清晰、更全面、更深、更合理。,相關(guān)的思考（2）：數(shù)學(xué)中做好思維教學(xué)的關(guān)鍵,我們應(yīng)當(dāng)很好地去處理動(dòng)手與動(dòng)腦、快與慢、多與少、熱鬧與安靜、以及學(xué)生獨(dú)立思考與合作學(xué)習(xí)、積極交流之間的關(guān)系。例如，這就是我們?cè)诋?dāng)前應(yīng)當(dāng)努力糾正的一個(gè)現(xiàn)象：我們的學(xué)生一直在做，一直在算，一直在動(dòng)手，但就是不

32、想！,,再例如，這也應(yīng)被看成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)主要功能，即是有利于人們養(yǎng)成“長時(shí)間思考”的習(xí)慣。但是，我們又如何才能幫助學(xué)生養(yǎng)成這樣一種習(xí)慣、也即真正進(jìn)入“入定”這樣一個(gè)狀態(tài)呢？,相關(guān)的思考（3）：注重學(xué)生思維品質(zhì)的提高,從上述角度去分析，相對(duì)于各種具體的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)而言，我們?cè)诮虒W(xué)中顯然也應(yīng)更加重視學(xué)生思維品質(zhì)的提高，特別是，即能不斷提高思維的清晰性與嚴(yán)密性（合理性），思維的深刻性與全面性，思維的綜合性與靈活性，以及思維

33、的創(chuàng)造性。,參考材料（2）,鄭毓信，“學(xué)科視角下的核心素養(yǎng)與整合課程”系列，《小學(xué)數(shù)學(xué)教師》，2016年第1-4期,二、課例研究的必要發(fā)展,背景：教學(xué)觀摩經(jīng)久不衰。應(yīng)有的思考：問題：我們?nèi)绾尾拍艽龠M(jìn)課例研究的深入發(fā)展？,現(xiàn)實(shí)中的積極變化,由“觀摩課（+專家點(diǎn)評(píng)）”向“家常課（常態(tài)課堂）”的重要轉(zhuǎn)變。關(guān)鍵（功能的變化）：由簡單的“示范”轉(zhuǎn)而更加重視如何能夠通過各種案例為廣大教師的專業(yè)發(fā)展提供重要的平臺(tái)。,相關(guān)的論述（1）,由“觀課

34、與評(píng)課”向“品課”的必要發(fā)展，這也就是指，我們應(yīng)將課例看成研究的對(duì)象，從而為“教師的教學(xué)研究、業(yè)務(wù)進(jìn)修和專業(yè)發(fā)展提供一個(gè)境界高尚的平臺(tái)?！保ǚ竭\(yùn)加，《品課·小學(xué)數(shù)學(xué)卷001》，教育科學(xué)出版社，2013）,相關(guān)的論述（2）,與一般所謂的“評(píng)課”相對(duì)照，應(yīng)當(dāng)更加提倡“觀課議課”：“評(píng)課是對(duì)課做判斷、下結(jié)論，議課是針對(duì)課堂現(xiàn)象和研究問題進(jìn)行平等交流與討論”，并能通過共同探討與真正的互動(dòng)促進(jìn)雙方的專業(yè)成長（陳大偉等，“以人為本、有效優(yōu)

35、先——關(guān)于‘觀課議課’與小學(xué)數(shù)學(xué)教師的對(duì)話”，《小學(xué)數(shù)學(xué)教師》，2015年第12期）,進(jìn)一步的努力方向,我們并應(yīng)切實(shí)加強(qiáng)這方面工作的研究性質(zhì)，特別是，即應(yīng)努力超越具體內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計(jì)、并從更為一般的角度去開展進(jìn)一步的研究，即如如何能夠以此為背景引出一些值得人們深入思考的普遍性問題，什么又是當(dāng)前的實(shí)例所給予我們的普遍性啟示，等等。,當(dāng)前存在的問題,研究性的缺失。例如，只是滿足于將諸多“優(yōu)秀課例”匯編成冊(cè)，卻沒有意識(shí)到還應(yīng)以此為基礎(chǔ)更為深入地

36、去開展研究。 工作的隨意性。這也就是指，課例學(xué)習(xí)缺乏明確的目的性，更談不上研究工作的系統(tǒng)性和計(jì)劃性。,正面的建議,努力方向：由“觀摩課”、“議課”到真正的“課例研究”。關(guān)鍵：（1）“問題意識(shí)”：我們應(yīng)當(dāng)帶著一定的“問題”去從事課例的學(xué)習(xí)與研究（2）我們并應(yīng)努力做到“小中見大”，也即真正做到“用案例說話”：用具體的例子說出普遍性的道理 。,插入（1）：好的“課例研究”的幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn),生動(dòng)性；豐富性；典型性。,插入（2）：當(dāng)前值得重

37、視的一些研究課題,教學(xué)方法和教學(xué)模式的研究，專題性的教學(xué)研究（如“概念的教學(xué)”等），數(shù)學(xué)思維的教學(xué)，重點(diǎn)內(nèi)容（如分?jǐn)?shù)的教學(xué)等）的教學(xué) ；等等。,課例研究的兩個(gè)范例（1）,賁友林，“走向‘為學(xué)生的設(shè)計(jì)’——一節(jié)數(shù)學(xué)課歷經(jīng)14年的對(duì)比與思考”，《教學(xué)研究與評(píng)論（小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)）》，2010年第4期。主要內(nèi)容：“兩位數(shù)減兩位數(shù)（退位）”的教學(xué)設(shè)計(jì)。,,研究的基本方法：從案例著手；加強(qiáng)比較，努力做到“小中見大”。背景：1995年的一節(jié)課

38、，2008年的一節(jié)課。三個(gè)主要的著眼點(diǎn)：（1）算題呈現(xiàn)與情境創(chuàng)設(shè)；（2）算法探究與動(dòng)手操作；（3）課前預(yù)設(shè)與課堂生成。,（1）算題呈現(xiàn)與情境創(chuàng)設(shè),13年前的數(shù)學(xué)課，出示算題的方式大都是開門見山，直截了當(dāng)。2008年的數(shù)學(xué)課，則將計(jì)算問題與解決實(shí)際問題結(jié)合在一起，并用“懶羊羊、美羊羊”進(jìn)行了包裝。 思考（問題的提出）：“今天是‘羊’，明天是什么？懶羊羊、美羊羊的確是一年級(jí)學(xué)生喜歡的動(dòng)畫形象，但這樣的情境創(chuàng)設(shè)對(duì)計(jì)算的學(xué)習(xí)究竟有什么

39、作用呢？”,（2）算法探究與動(dòng)手操作,13年前的數(shù)學(xué)課，學(xué)習(xí)算法的方法是教師講，學(xué)生聽，教師演示，學(xué)生看。2008年的數(shù)學(xué)課，學(xué)生先操作演示、講解，教師再“重復(fù)”確認(rèn)，學(xué)生先口述計(jì)算過程，教師再板書進(jìn)行“規(guī)范”指導(dǎo)。思考1（問題的提出） ：“讓學(xué)生直接看操作演示，或讓學(xué)生動(dòng)手操作探究，都是基于一年級(jí)學(xué)生的思維發(fā)展還處于具體直觀階段而采用的設(shè)計(jì)。那讓學(xué)生直接看操作演示與讓學(xué)生動(dòng)手操作探究有什么不同呢？”,,思考2（問題的提出） ：”在實(shí)

40、際教學(xué)中，部分學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)已經(jīng)高于教材的邏輯起點(diǎn)，……那么，動(dòng)手操作還需要嗎？”,（3）課前預(yù)設(shè)與課堂生成,13年前的課堂，教師演示、講解，覆蓋了學(xué)生的想法，學(xué)生亦步亦趨回答教師的提問，很難產(chǎn)生自己的想法，只要跟著教師走就行了。2008年的數(shù)學(xué)課，我們清晰地感受到，學(xué)生有不同的想法，且多次有表達(dá)的愿望。但課堂中，教師幾次讓學(xué)生“等一等”，“很自我”的處理，讓學(xué)生難以言說。,,思考（問題的提出）：“13年前的數(shù)學(xué)課，預(yù)設(shè)排斥與擠占了生成

41、。2008年的數(shù)學(xué)課，預(yù)設(shè)給了生成的空間，卻又未能處理好預(yù)設(shè)與生成兩者的關(guān)系。我們都知道，課前預(yù)設(shè)是對(duì)教學(xué)的整體勾畫，要與課堂生成有機(jī)統(tǒng)一。,又一重要的啟示：教學(xué)研究與教學(xué)工作密切結(jié)合,新的教學(xué)實(shí)踐：2009年的再次實(shí)踐。教師專業(yè)成長的基本途徑：實(shí)踐—總結(jié)與反思—新的實(shí)踐（“反思性實(shí)踐”）,課例研究的兩個(gè)范例（2）,張齊華，“‘圓的認(rèn)識(shí)’教學(xué)實(shí)錄”，《小學(xué)教學(xué)》，2016年第1期。主要內(nèi)容：“圓的認(rèn)識(shí)”的第五個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)（第五版）。

42、相關(guān)的總結(jié)性文章：“核心素養(yǎng)：讓課堂綻放新活力”，同上。,,背景：國家級(jí)教師培訓(xùn)中的一個(gè)具體任務(wù)?；玖觯骸坝啦恢貜?fù)別人，更不重復(fù)自己”！更為具體的思考：“圓的學(xué)習(xí)，還可以如何學(xué)習(xí)？還可以承載怎樣的新目標(biāo)、新價(jià)值？”努力的方向：“上一堂直指數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)課?！?應(yīng)有的思考（1）,問題1：教學(xué)工作為什么不應(yīng)簡單地去“重復(fù)”？問題2：教學(xué)中又是否存在所謂的“經(jīng)典課例”？ 問題3：什么樣的課可以被看成“直指數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)課

43、”？,張齊華的自述,“18年的教學(xué)歷程，難以勝數(shù)的課堂畫面瞬間在頭腦中一一閃過。而期間，‘圓的認(rèn)識(shí)’一課的幾次不同演繹與重建，尤為歷歷在目——從歷史人文視野下的豐沛厚重，到洗練純粹只剩下線條文字的干凈素樸，從‘大問題’整合下課堂的開放，到‘先學(xué)后教’背景下對(duì)學(xué)生主體學(xué)習(xí)的徹底回歸……由外而內(nèi)、由物及人、由師轉(zhuǎn)生的一次次否定與超越，恰恰見證著我對(duì)數(shù)學(xué)課堂‘另一種可能’的不斷探尋與發(fā)現(xiàn)。”,另一相關(guān)的論述,“尋找另一種可能，必然建立在對(duì)已有

44、可能的準(zhǔn)確判斷和深刻反省上，否則，一切的尋找只能自然算是盲人摸象，無所指歸。”,可能的結(jié)論,與簡單地提倡“永不重復(fù)”相比較，我們應(yīng)當(dāng)更加提倡具有明確目的性的探索，包括對(duì)存在問題的自覺反思與超越，基于教育教學(xué)思想不斷深化的積極探索，以及由于教學(xué)環(huán)境與教學(xué)對(duì)象的特殊性而做出的必要調(diào)整，等等。,“第五版”的主要亮點(diǎn),（1）頂層問題與結(jié)構(gòu)思維；（2）有效追問與深度學(xué)習(xí)；（3）合理想象與空間觀念。核心思想：“用好的問題引發(fā)深遂的數(shù)學(xué)思考，進(jìn)

45、而發(fā)展學(xué)生的空間想象力，這或許正是我在這堂課上所作出的新的探索，也算是呈現(xiàn)了‘圓的認(rèn)識(shí)’又一種新的可能吧。”,具體的教學(xué)設(shè)計(jì),核心問題：“刻畫一個(gè)長方形的大小，最少需要兩個(gè)數(shù)（量）；刻畫一個(gè)正方形的大小，只要一個(gè)數(shù)（量），那么，刻畫一個(gè)圓的大小，最少需要幾個(gè)數(shù)（量）？這一個(gè)或幾個(gè)數(shù)（量）究竟在哪里？為什么只要這一個(gè)或幾個(gè)數(shù)（量）就能夠確定一個(gè)圓的大??？”,教學(xué)中提到的另外一些問題,“究竟什么才是圓的半徑，半徑真的有無數(shù)條嗎？它們的長度都

46、相等嗎？”“既然半徑有無數(shù)條，憑什么一條線段就能確定圓的大?。俊?“除了半徑，還有沒有別的數(shù)據(jù)，也可以確定圓的大??？”,,“怎樣的線段是圓的直徑，直徑又有哪些特點(diǎn)？”“您憑什么認(rèn)為直徑也有無數(shù)條？”“在同學(xué)們的作品中，我們發(fā)現(xiàn)了一些很有意思的作品（同心圓，車輻圖等）， 一起來分享，你能聯(lián)想到生活中的哪些畫面？”,相關(guān)的論述,“在學(xué)生已經(jīng)沒有問題的地方，提出一個(gè)有價(jià)值、有思維含金量、能有效促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)問題，是否應(yīng)該成為我

47、們的重要教學(xué)任務(wù)？”“沒有了生活中的畫面可供觀察，觀察力顯然已派不上用場，但想象力、空間操作、思維匹配等與空間觀念高度相關(guān)的思維因子，卻一一登場?！?筆者的分析,這事實(shí)上即可被看成我們應(yīng)當(dāng)如何去做好“先學(xué)后教”提供了新的啟示，特別是，在充分體現(xiàn)學(xué)生主體地位的同時(shí)，教師又應(yīng)如何去發(fā)揮應(yīng)有的指導(dǎo)作用？可能的解答：整體設(shè)計(jì)的開放性（核心問題的引領(lǐng)，放手讓學(xué)生自由地去進(jìn)行探究，……）；細(xì)節(jié)處理的精致化（課堂上的對(duì)話與積極互動(dòng)，教師的理答能力

48、，必要的追問， ……）。,小結(jié)：必要的發(fā)展,由簡單的“課例展示”、到作為教師專業(yè)成長重要平臺(tái)的“品課”和“議課”，再到真正的“課例研究”，這也就是指，我們應(yīng)當(dāng)切實(shí)增強(qiáng)這方面工作的研究性質(zhì)，努力做到“問題引領(lǐng)”、“小中見大”。,三、教師如何才能用好教材？,更為一般的思考：我們究竟應(yīng)當(dāng)如何去理解教學(xué)活動(dòng)的創(chuàng)造性？一個(gè)特殊的涵義：相對(duì)于“教教材”，我們應(yīng)當(dāng)更加提倡“用教材去教”。但是，數(shù)學(xué)教師又如何才能“用好教材”，或是說，什么即可被看成

49、教師“用好教材”的主要標(biāo)準(zhǔn) ？,具體的切入點(diǎn)：教材編寫與教師的教學(xué)工作的必要比較,共同點(diǎn)：歸根到底地說，兩者都是為學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)服務(wù)的！不同點(diǎn)：教材相對(duì)于學(xué)生仍有一定距離，也即主要是以教師為“中介”發(fā)揮作用的；教師的教學(xué)則可說更加單一、直接，而沒有任何的中介或緩沖——也正因此，教師就應(yīng)很好地發(fā)揮自身在教學(xué)工作中的主導(dǎo)作用。,相關(guān)的建議（1）,教師應(yīng)當(dāng)依據(jù)學(xué)生的具體情況、以及特定的教學(xué)環(huán)境等去進(jìn)行教學(xué)，包括依據(jù)具體情況對(duì)教學(xué)內(nèi)容做出適當(dāng)

50、的選擇和必要的調(diào)整?，F(xiàn)實(shí)中的問題與對(duì)策：學(xué)生“兩極分化”的加?。晃覀兪聦?shí)上也應(yīng)將學(xué)生看成教學(xué)工作的又一重要資源。,進(jìn)一步的思考（1）,這也是教材編寫與教師教學(xué)的又一重要區(qū)別：前者采取的是較為宏觀的視角，即是“提供了學(xué)習(xí)主題、基本線索和知識(shí)結(jié)構(gòu)”；教師在現(xiàn)實(shí)中則往往更加關(guān)注每一節(jié)課的具體設(shè)計(jì)，包括方方面面的各個(gè)細(xì)節(jié)，從而采取的也就是較為微觀的視角。,相應(yīng)的建議（2）,正因?yàn)榇耍覀兙蛻?yīng)很好發(fā)揮教材在這方面的指導(dǎo)作用，也即應(yīng)當(dāng)通過研讀教材

51、建立“整體性的觀念”，從而切實(shí)避免“只見樹木、不見森林”這樣一個(gè)弊病。,進(jìn)一步的思考（2）,盡管教材的編寫也考慮到了數(shù)學(xué)教育的“三維目標(biāo)”，但就教材的直接表現(xiàn)形式而言，又應(yīng)說主要集中于具體的知識(shí)和技能，也即主要是按照知識(shí)的內(nèi)在線索由淺而深地進(jìn)行組織安排的。,相應(yīng)的建議（3）,從而，我們?cè)诮虒W(xué)中也就應(yīng)當(dāng)很好地去處理“顯性成分”與“隱性成分”之間的關(guān)系，也即通過自己的教學(xué)將教材中較為“隱性”的成分很好地突現(xiàn)出來，特別是，即應(yīng)致力于幫助學(xué)生通

52、過數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)思維，并能很好地發(fā)揮數(shù)學(xué)的文化價(jià)值。,關(guān)鍵：切實(shí)增強(qiáng)教學(xué)的思維含量,必要的前提：如果教師本身不善于思考，也不愿意思考，所說的目標(biāo)顯然就不可能得到實(shí)現(xiàn)。從而，相對(duì)于“實(shí)、活、新”這一傳統(tǒng)的要求而言，我們?cè)诋?dāng)前就應(yīng)更加強(qiáng)調(diào)一個(gè)“深”字，也即對(duì)于教學(xué)內(nèi)容的“深刻理解”，包括隱藏在具體知識(shí)內(nèi)容背后的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)思想方法，以及相關(guān)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系。,兩個(gè)實(shí)例（1）,“從‘?dāng)?shù)學(xué)核心素養(yǎng)’看‘圖形的放大與縮小’的教學(xué)”教材中的處理方式（

53、蘇教版，六年級(jí)下冊(cè)）,,,相關(guān)的思考,如果從“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”的培養(yǎng)這一角度去分析，我們應(yīng)當(dāng)如何去從事這一內(nèi)容的教學(xué)？,具體分析（1）,一個(gè)明顯的事實(shí)：“放大”與“縮小”并非專門的數(shù)學(xué)概念，而是在日常生活中也具有十分廣泛的應(yīng)用。挑戰(zhàn)與機(jī)遇：這既容易導(dǎo)致一定的思維混亂，但同時(shí)也可被看成我們?cè)诮虒W(xué)中很好地滲透“數(shù)學(xué)化的思想”提供了很好契機(jī)。,相關(guān)的論述,對(duì)學(xué)生而言，與其說學(xué)數(shù)學(xué)，不如說學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化。（弗賴登特爾）對(duì)學(xué)生而言，“數(shù)學(xué)化”就是“

54、從無到有、從粗糙到精致”。 （馮俊業(yè)）所謂“數(shù)學(xué)化”，就是指“用數(shù)學(xué)的眼光去看待世界、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題”。,相關(guān)的教學(xué)建議（1）,教學(xué)中應(yīng)當(dāng)具體地指明“日常視角”與“數(shù)學(xué)視角”的聯(lián)系與區(qū)別。在日常生活中，所謂“放大”或“縮小”主要是指圖形大小的變化，人們?cè)诖怂P(guān)注的則又往往是現(xiàn)實(shí)的考慮，包括美學(xué)的思考。,具體分析（2）,數(shù)學(xué)中所說的“放大”或“縮小”，主要是指這樣一種變化：盡管圖形的大小有所變化，但其形狀則保持不變。,“數(shù)學(xué)概念”

55、的兩個(gè)主要特征,（1）“源于現(xiàn)實(shí)，高于現(xiàn)實(shí)”；（2）數(shù)學(xué)概念的“定義”并就是一個(gè)“重新建構(gòu)”的過程。,具體分析（3）,我們究竟應(yīng)當(dāng)如何去從事相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)？教材中的處理方式：“放大前后，照片的長有什么關(guān)系，寬呢？”常見的教學(xué)設(shè)計(jì)：要求學(xué)生“自己發(fā)現(xiàn)圖形放大和縮小的本質(zhì)與規(guī)律?！?教學(xué)中的常見現(xiàn)象,學(xué)生只是忙于動(dòng)手，但卻看不到積極的思維活動(dòng)！對(duì)照（教學(xué)中的常見現(xiàn)象）：我們的學(xué)生一直在做，一直在算，一直在動(dòng)手，但就是不想！,相關(guān)

56、的的教學(xué)建議（2）,加強(qiáng)數(shù)學(xué)思維的引導(dǎo)：（1）我們應(yīng)當(dāng)如何去判斷兩個(gè)圖形的形狀是否一致？或者說，什么可以被看成圖形相似與否的主要特征？（2）更為一般的思考：就圖形的“放大”和“縮小”而言，有哪些因素發(fā)生了變化？又有哪些因素保持不變？,,另一相關(guān)的問題：什么可以被看成平面圖形的主要成分，或者說，我們主要地即應(yīng)圍繞哪些因素去從事平面圖形的研究？“數(shù)學(xué)化”的又一重要涵義：由定性的描述到定量的研究！,相關(guān)的教學(xué)建議（3）：必要的追問,就“

57、圖形的放大與縮小”的現(xiàn)實(shí)應(yīng)用而言，什么是最重要的因素？數(shù)學(xué)中又是如何對(duì)此進(jìn)行表述的？“放大與縮小”的具體區(qū)分（由“定量”向“定性”的復(fù)歸），以及更高層次上的“統(tǒng)一”。,小結(jié)（回顧）,數(shù)學(xué)教育主要應(yīng)當(dāng)促使學(xué)生更為積極地去進(jìn)行思考，并能逐步學(xué)會(huì)想得更清晰、更深入、更全面、更合理。相對(duì)于“幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維”而言，“通過數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)思維”是一個(gè)更為合適的口號(hào)。,[例2] 從“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”看“比”的教學(xué),教學(xué)實(shí)例：“生活中的比”（俞正強(qiáng)，

58、2015年11月，杭州）。現(xiàn)場調(diào)查：盡管學(xué)校還沒有正式教過“比的認(rèn)識(shí)”，但全班除3個(gè)人以外都已通過其它渠道學(xué)習(xí)了“比”這樣一個(gè)概念；但是，其中的大多數(shù)人卻又不知道這一內(nèi)容在現(xiàn)實(shí)中究竟有什么用，或者說，“數(shù)學(xué)中的比”與日常生活究竟有什么聯(lián)系？,教學(xué)實(shí)錄（1）,在對(duì)“比”的概念作了簡單回顧以后，任課教師首先提出了這樣一個(gè)問題：你在生活中有沒有遇到過“比”，有哪些？學(xué)生給出了各種各樣的回答，如藥水中藥物與水的比，洗滌劑的濃度，足球比賽中的

59、比，等等。由于這些實(shí)例顯然可以被歸屬于兩個(gè)不同的類，這時(shí)教師又將學(xué)生的注意力引向了以下的問題：這兩種“比”有什么不同？,教學(xué)實(shí)錄（2）,為方便計(jì)，我們并就可以將“藥水中藥物與水的比”與“足球比賽中的比”看成兩者的典型代表。學(xué)生在此又一次地給出了多種不同的解答，如前者是不可變（固定）的，并可適當(dāng)?shù)赜韬喕?；后者則是可變的，不可簡化的，等等。通過全班的交流與必要的引導(dǎo)，教師最終引出了這樣一個(gè)結(jié)論：前者就是“數(shù)學(xué)中的比”：它所反映的是兩個(gè)

60、量之間的固定（倍數(shù)）關(guān)系。,相關(guān)的思考,我們應(yīng)當(dāng)如何去評(píng)價(jià)上述的教學(xué)活動(dòng)，特別是，從促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展這一角度去分析，對(duì)于這一內(nèi)容的教學(xué)我們還可作出哪些改進(jìn)？,具體分析（1）,這或許可以被看成這一教學(xué)活動(dòng)的最低標(biāo)準(zhǔn)，即是幫助所有學(xué)生都能很好地區(qū)分所說的兩種不同類型，特別是，我們不應(yīng)將“足球比賽中的比”與其它一些類似現(xiàn)象錯(cuò)誤地歸屬于“數(shù)學(xué)中的比”。當(dāng)然，我們也應(yīng)幫助他們清楚地認(rèn)識(shí)“數(shù)學(xué)中的比”與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，包括逐步地學(xué)會(huì)將相關(guān)的數(shù)學(xué)

61、知識(shí)應(yīng)用于日常生活。,具體分析（2）,從更高的標(biāo)準(zhǔn)去分析，我們的教學(xué)顯然又不應(yīng)停留于對(duì)“生活中的比”與“數(shù)學(xué)中的比”的明確區(qū)分，特別是，即是滿足于清楚地指明“足球比賽中的比”并非“數(shù)學(xué)中的比”，而還應(yīng)當(dāng)從更為一般的角度去指明“日常視角”與“數(shù)學(xué)視角”的重要區(qū)別 。,,具體地說，盡管這可以被看成“比”最為基本的一個(gè)涵義，即是直接涉及到了兩個(gè)對(duì)象之間的比較，但日常生活中人們所關(guān)注的主要是兩者的優(yōu)劣、強(qiáng)弱等；與此不同，數(shù)學(xué)的視角則完全集中于兩

62、個(gè)量之間的關(guān)系，特別是，變化中的不變因素，這也就是指，我們?cè)诖怂P(guān)注的主要是兩個(gè)變量之間的確定關(guān)系，而不是各個(gè)量的具體大小，即如藥物和洗滌劑的濃度等。,,由日常生活向數(shù)學(xué)的過渡往往也意味著語言的重要變化。例如，人們常常會(huì)借助以下一些詞語來形容足球比賽的結(jié)果：小勝、大勝、險(xiǎn)勝、狂勝，盡管十分形象但同時(shí)也有很大的含糊性，或者說主要地即可被看成“定性的”范圍；與此相對(duì)照，“比（值）”的引入則就為兩者關(guān)系的精確描述提供了必要的概念工具。,具體分

63、析（3）,從上述角度去分析，我們顯然也就容易理解這樣一個(gè)事實(shí)，即在事先已經(jīng)學(xué)習(xí)了“除法”與“分?jǐn)?shù)’的情況下，我們又為什么要專門引入“比”這樣一個(gè)概念？,,如果說這正是“除法”與“分?jǐn)?shù)”的主要區(qū)別：分?jǐn)?shù)的引入主要體現(xiàn)了由（運(yùn)算）“過程”向“結(jié)果”的轉(zhuǎn)變，特別是，在尚未實(shí)際完成相關(guān)計(jì)算（除法）的情況下我們也應(yīng)學(xué)會(huì)用一個(gè)確定的數(shù)（分?jǐn)?shù)）去表示相應(yīng)的結(jié)果；那么，這就是人們引入“比”這一概念的主要原因：人們?cè)诖怂P(guān)注的主要是兩個(gè)量之間的關(guān)系，卻不

64、十分在意如何能將此歸結(jié)為一個(gè)確定的數(shù)。,總結(jié)（當(dāng)務(wù)之急）,我們究竟應(yīng)當(dāng)如何去理解“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”？這對(duì)于我們改進(jìn)教學(xué)又有哪些新的啟示和教益？我們又應(yīng)如何去理解教學(xué)工作的創(chuàng)造性，包括在教學(xué)中如何才能更好地發(fā)揮應(yīng)有的指導(dǎo)作用？,結(jié)束語（一點(diǎn)希望）,希望大家都能通過獨(dú)立思考對(duì)于上述各個(gè)問題作出自己的分析，從而更為有效地促進(jìn)自己的專業(yè)成長。,參考材料（3）,（1）鄭毓信，“數(shù)學(xué)教師如何才能用好教材”，《小學(xué)教學(xué)》，2016年第3期（2）鄭毓