2樣本數(shù)據(jù)分布與總體參數(shù)估計

1、第二章數(shù)據(jù)分布與總體參數(shù)估計,主要內(nèi)容,1 樣本與總體2 數(shù)據(jù)分布與抽樣分布3 總體參數(shù)估計,1 樣本與總體,先看二個問題： 問題1：某電腦生產(chǎn)商想了解用戶對他們生產(chǎn)的電腦的性能滿意情況和售后服務滿意情況，委托了一家管理咨詢公司做調查，如果你是這家管理咨詢公司的經(jīng)理，你該怎么做呢？ 問題2：某青少年德育發(fā)展研究專家想了解2008年北京奧運會對青少年愛國情感的影響，他該怎么做？,再來看另

2、一個問題： 2008年1月初的某天，中國春節(jié)前夕，湖南某地的村民高某，發(fā)現(xiàn)經(jīng)過持續(xù)幾天的下雪寒冷天，地里的蔬菜等莊稼全都爛掉了，他想，物價必然會因此而大漲，為此他來到人流南來北往的公路和鐵路邊調查，結果讓他大驚：方便面漲到了30多元一盒、雞蛋10多元一個……，哇噻，這可不得了，物價漲10多倍了，他趕緊回家告知左鄰右舍、親戚朋友，說不能再賣糧食了，現(xiàn)在全中國都糧食短缺、物價飛漲，結果……,上述問題反映了一個事實：當我們需

3、要了解某一種現(xiàn)象或某一個事件時，如果牽涉的面或者范圍比較廣時，我們不可能進行地毯式的調查，一是時間不允許，二是財力精力不支持，而是進行有選擇的調查，在心理學研究中，我們把選擇出來的調查（研究）對象稱為樣本，把現(xiàn)象或事件所牽涉的所有人的集合稱為總體。,總體：性質相同的一類事物的全體。個體：構成總體的每一 基本單位或單元。樣本：從總體中抽取的一部分個體集合。樣本中所包含的個體數(shù)目稱為樣本容量。,,?? ?? ? ?

4、? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? 總體 (N) ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,總體與個體、樣本,描述總體數(shù)據(jù)特征的數(shù)學統(tǒng)計指標稱為參數(shù)，用µ、σ、ρ等符號表示；描述樣本數(shù)據(jù)特征的數(shù)學統(tǒng)計指標稱為統(tǒng)計量，用 、S或SD、r等表示,,?? ?? ? ? ? ? ? ?

5、?? ? ? ? ? ? ?? 總體 (N) ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,?,? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,,,另一類問題： 如果公司管理者想知道小陳對他崗位的滿意度，通過一個標準化的工作滿意度測試，發(fā)現(xiàn)她得分為88分（滿分100分），請問這88分只是小陳工作滿意度的一個估計

6、值還是她工作滿意度的真實分數(shù)？如果是對150名員工進行施測呢，又如何看待收集到的數(shù)據(jù)？,2 數(shù)據(jù)分布與抽樣分布,我們在前面的學習中知道，心理研究中的數(shù)據(jù)具有三個特點：隨機性、變異性和規(guī)律性，通過統(tǒng)計圖或統(tǒng)計表的方法我們都可以初步、直觀地刻畫出它的規(guī)律性，但要想更進一步地了解數(shù)據(jù)變異的規(guī)律性，就需要通過數(shù)學的方法，分布函數(shù)就是描述數(shù)據(jù)變異規(guī)律的數(shù)學模型。,2.1 數(shù)據(jù)分布,2.1.1 正態(tài)分布 （1）定義與方程

7、 正態(tài)分布，又叫高斯分布，是一種連續(xù)分布。 服從正態(tài)分布的隨機變量，在取值區(qū)間中部取值概率最高，從中間到兩側，取值概率逐漸下降，接近取值區(qū)間上、下限時，取值概率越來越小，且兩側取值概率是對稱的。 公式：,知識點說明：Y的積分為1，而這剛好是概率的和，即曲線和X軸所包圍的面積為1。,A、呈例掛的鐘形，兩頭小，中間大，面積p=1；B、有其分布函數(shù)（?→形狀，?→位置） ；C、橫坐標以標準

8、差為單位，用Z分數(shù)表示；D、正態(tài)分布下數(shù)據(jù)與標準差有一定數(shù)量關系；,（2）正態(tài)分布的特點,包含總數(shù)目的68.26%,包含總數(shù)目的95%,包含總數(shù)目的99%，幾乎包含了全體。,（3）正態(tài)分布的圖形形 狀,上述分布為標準正態(tài)分布，它的三個參數(shù)值分別為?=1，?=0，Y=0.3989，以它的分布函數(shù)編制的表稱為標準正態(tài)分布表，標準正態(tài)分布表在實踐中得到了非常廣泛的應用。,（4）標準正態(tài)分布及其應用,正態(tài)分布的形狀隨?和?值的變化而變化，如果

9、我們令?=1，?=0，正態(tài)分布又會出現(xiàn)什么情況呢？,,Ⅰ標準正態(tài)分布表的制表方法及使用,制表法1：從無窮小開始，Z逐漸增加；制表法2：從對稱軸開始，即從Z=0開始。,使用：三個值的求解 ① 已知概率可查Z分數(shù)： P→Z ② 已知Z分數(shù)可查概率： Z→P ③ 已知概率或標準分數(shù)可查密度值、函數(shù)值,① 已知概率可查Z分數(shù)： P→Z 已知在某一選拔性考試中，有20%的人被選中，如果考試的分數(shù)

10、符合正態(tài)分布，問Z分數(shù)大于多少的人會被選中？如果分數(shù)分布的平均數(shù)是50，標準差是10，則分數(shù)線是多少？② 已知Z分數(shù)可查概率： Z→P 在某一年的律師資格考試中，律師資格審查委員會認為，只要Z分數(shù)大于2.5（已知考試分數(shù)的分布符合正態(tài)分布，平均分為80分，標準差為6分）就授予律師資格，問在這一次考試中有多大比例的人獲得律師資格？③ 已知概率或標準分數(shù)可查密度值、函數(shù)值 就是已知Z值和P值求Y值，在心理統(tǒng)

11、計中這個功能一般不用。,ⅰ、求均數(shù)與某個 Z 值間的 P 值： Z=0～Z=1 Z=0～Z=-1ⅱ、求任何兩個 Z 值間的 P值 ： -1.2σ~2.4σ 0.6σ~1.5σⅲ、求某個Z值以上或以下的面積： Z=2.4σ以上P

12、 Z=-1.2σ以下P,查表練習,,,1 2 3,,-3 - 2 -1 ?,,P=0.34134,P=0.34134,結果,,,Z=0～Z=1 Z=0～Z=-1,2．±2σ：,3．±3σ：,4．±1.96σ：,5．±2.58σ：,幾個常用值,1．±1σ：,假設500名學生的數(shù)學

13、成績分布符合正態(tài)分布。且已知平均分70，標準差5分。試問60分以下，60~80分，80分以上，這三個分數(shù)段中，學生的人數(shù)分布各為多少？ 已知：N=500，M=70，SD=5 X，M，SD→Z→P,Ⅱ 正態(tài)分布理論在研究中的應用,ⅰ、按能力分組，確定人數(shù),① X ? Z ：,② Z ? P：,,③ 求各段的 P,60以下:,分析步驟,80以上：,④ 求各區(qū)間的人數(shù)：,60以下:,60～80：

14、,80以上：,60～80：,表7-2 教師對學生的評定,ⅱ、化等級評定為測量數(shù)據(jù),三位教師對100名學生的學習能力進行了等級評價如表:,3名學生所獲得的評定等級,試比較其中三位學生學習能力的高低是否一樣？,① 是否等值？(即評判標準是否一致),② 如何否轉化？,問題分析,⑴ n ? p：,2、分析過程,① 確定位置,⑵ 求各等級比率的中間值,② 確定中間值,③ 確定查表值,,,,,,,?,?,?,?,?,0.05,0.25,0.4,

15、0.25,0.05,C,A,B,E,D,A：P’=0.05/2+0.45=0.475,B：P’=0.25/2+0.2=0.325,C：P’=（0.4/2)-0.2=0,PF=0.05/2+0.95=0.975,PF=0.25/2+0.7=0.825,PF=0.4/2+0.3=0.5,,表7-4 甲教師評定的相對結果,⑶ P ? Z：,③ 確定查表值,表7-5 乙教師評定的相對結果,⑷ 比較學生的能力高低,表7-7 三名學

16、生的等級比較結果,ⅲ、測驗分數(shù)的正態(tài)化（P173-174）,A、將原始數(shù)據(jù)整理成次數(shù)分布表；B、求各分組上限以下的累加次數(shù)；C、計算每組中點的累加次數(shù)，即前一組上限以下的累加次數(shù)加上該組資次數(shù)的一半；D、各組中點以下的累加次數(shù)除以總數(shù)求累加概率；E、將各組組中點以下累積比率視為正態(tài)分布的概率，查正態(tài)表，求Z分數(shù)F、將正態(tài)化的z值線性轉換：T=10Z+50,數(shù)學模型：,2.1.2 二項分布,（1）定義：離散型隨機變量的概率分布,

17、概率分布函數(shù)：,標準差:,（2）二項分布的平均數(shù)、標準差,則有:,平均數(shù):,若滿足條件:,某測驗中有100道四擇一客觀題，請分析學生要答對多少道題才能說明他不是完全靠猜測答題的。,① 條件分析,（3）二項分布的應用——猜測性,② 求均數(shù)和標準差,④ 結果解釋：,③ 憑猜測答題時的概率與區(qū)間,同步練習,某測驗有30個正誤題，試問學生要做對多少題，才認為是真正掌握了所學的內(nèi)容。,,2.2 抽樣分布,,離散分布：二項分布、多項分布、普阿松分布

18、、超幾何分布 連續(xù)分布：正態(tài)分布、t分布、F分布、負指數(shù)分布、威布爾分布等,類型:,,定義：描述樣本統(tǒng)計量所有可能取值及相應概率變化規(guī)律的函數(shù)。即描述樣本統(tǒng)計量分布規(guī)律的函數(shù)。,（1）定義,,?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? 總體 (N) ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

19、? ? ? ?,?,? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,,,,,,,若總體正態(tài)，則從中抽取容量為n 的一切可能樣本的均數(shù)分布也呈正態(tài)；無論總體是否正態(tài)，只要 n 足夠大，樣本均數(shù)的分布接近正態(tài)分布。,（2）中心極限定理,中央極限定理與大數(shù)法則,中央極限定理(central limit theorem)?如果從平均數(shù)為μ、標準

20、差為σ的母 群中抽取樣本大小為N的許多樣本並 計算其平均數(shù)，則：這些樣本平均數(shù)將構成【常態(tài)分配】(不論原來母群的分配情形如何)該分配之平均數(shù)正好等於μ該分配之標準差(標準誤)等於σ/√N大數(shù)法則(law of large numbers)?樣本人數(shù)(即N)越大，所得到的許許多多樣本平均數(shù)越相似，而且越趨近於母群的平均數(shù),? 從總體抽取容量為n的一切可能樣本時：,? 從總體抽取容量為n的一切可

21、能樣本時：,統(tǒng)計學探索客觀現(xiàn)象規(guī)律性的過程,反映客觀現(xiàn)象的統(tǒng)計數(shù)據(jù),描述統(tǒng)計（包括統(tǒng)計數(shù)據(jù)的搜集、整理、顯示和分析）,推斷統(tǒng)計（利用樣本信息和概率論對總體的參數(shù)特征進行估計和檢驗等）,概率論（包括分布理論、大數(shù)定律和中心極限定理等）,事物(總體)內(nèi)部的數(shù)量規(guī)律性,,,,,,,樣本數(shù)據(jù),起點,終點,我們?yōu)槭裁匆獙W抽樣分布?,值得注意的是，在推斷統(tǒng)計過程中，無論數(shù)理基礎多嚴密，最重要的前提還是樣本的代表性問題。,1936年美國總統(tǒng)選舉前，一

22、份名為Literary Digest 的雜志進行了一項民意調查。調查的焦點是下一屆總統(tǒng)的人選。民意調查專家根據(jù)電話簿和車輛登記簿上的名單給一大批人發(fā)了簡單的調查表。盡管發(fā)出了大約一千萬調查表，但是回收率并不高(237.6萬張 )。在回收的調查表中，Landon非常受歡迎，于是該雜志預測Landon將贏得選舉。但是結果卻是Roosevelt勝出。,（3） 常用抽樣分布,Ⅰ、正態(tài)分布及漸近正態(tài)分布 ?Ⅱ、t分布 ? Ⅲ、?2分布?Ⅳ

23、、F分布 ?,樣本平均數(shù)的抽樣分配,樣本平均數(shù)(sample mean)的抽樣分配從母群中抽出N個樣本計算這N個樣本得分的平均數(shù)再重抽N個樣本並計算平均數(shù)如此反覆則所得平均數(shù)即構成某分配舉例?前述假想例，取N=5第一次抽5,12,13,18,19等人得M=3.2第二次抽1,3,9,11,20等人得M= 2.6第三次抽4,6,10,12,13等人得M=3.2…反覆多次後平均數(shù)3.2, 2.6, 3.2…即構成抽樣分配,Ⅰ

24、、正態(tài)分布及漸近正態(tài)分布,? 分布均數(shù) ：,? 分布標準差 ：,? 檢驗值 ：,定理1: 總體正態(tài)，σ2已知，樣本均數(shù)分布為正態(tài)。,? 分布均數(shù)：,? 分布標準差：,? 檢驗值：,定理2: 總體非正態(tài)，σ2已知，n足夠大 （n>30），樣本均數(shù)分布為漸近正態(tài)。,由小樣本統(tǒng)計量形成的概率分布。對稱分布；曲線易變，不是一條而是一族； n→∞時，以標準正態(tài)曲線為極限。,Ⅱ、t分布,定理3: 總體正態(tài)，σ2未知，n＜30時，樣本平均數(shù)分布

25、為 t 分布。,? 標準誤：,? 檢驗值：,定理4: 總體非正態(tài)，σ2未知，n＞30，樣本均數(shù)的分布為 t 分布或漸近正態(tài)分布。,（1）公式（2） ?2分布的特點 ① 正偏態(tài)分布，n越大越接近正態(tài)分布； ② ?2值都是正值 ③ ?2分布的和也是?2分布，即具有可加性 ④ ?2分布是連續(xù)型分布，但有些離散型的分布也近似?2分布。,Ⅲ、?2分布,（1）公式：,因為,所以,這正是后面講的方差分析的概率分布依據(jù)

26、,Ⅳ、F分布,F分布的密度圖形,F分布的特點,（1）F分布是一個正偏態(tài)分布，分布曲線隨分子、分母的自由度不同而不同，隨df的遞增，漸趨正態(tài)分布；（2）F總為正值；（3）當分子的自由度為1，分母的自由度為任意值時，F(xiàn)值與分母自由度相同概率的t值（雙側概率）的平方相等。,3 總體參數(shù)估計,讓我們先看兩個問題：問題1：根據(jù)往年的經(jīng)驗，某地區(qū)高三學生韋氏成人智力水平的標準差是15，某教師用韋氏成人智力量表測試100名高三學生，M=115。

27、試估計該校高三學生的平均智商大約是多少？問題2：從深圳市各行業(yè)隨機抽取500名在崗人員調查，求得月平均收入為3785元，標準差為1200元。試問我市在崗員工的月平均工資是多少？,參數(shù)估計的意義：所解決的問題,（1）由樣本資料推測總體情況，屬于由已知推測未知的范疇，是推斷統(tǒng)計的主要任務，因此，參數(shù)估計屬于推斷統(tǒng)計的內(nèi)容，是用樣本統(tǒng)計量估計總體參數(shù)；（2）既然是估計，就存在犯錯的可能性，必然發(fā)生的事情用不著估計，所以參數(shù)估計是建立在概率

28、基礎上的；其實明確具體概率值的參數(shù)估計就叫做區(qū)間估計，不明確確體概率值的參數(shù)估計就叫做點估計。,樣本資料,推測？,總體情況,3.1 點估計（point estimation）,含義：直接用樣本統(tǒng)計量的值作為總體參數(shù)的估計值，即：,例：假設從某市隨機抽取113六歲男童，測得平均身高為110.7公分。試估計該市所有六歲男童的平均身高是多少？,用樣本統(tǒng)計量的具體值作為總體參數(shù)的估計值，我們很清楚這樣做十有八九是會犯錯誤的，只是壓根就不知道犯

29、錯誤的可能性有多大，為了盡量減低錯誤，樣本統(tǒng)計量應滿足下述4個條件：,① 無偏性：,② 一致性：,③ 有效性：無偏估計量的變異性問題。,④ 充分性：,n,全部的總體信息,充分反映,想一想,點估計可以為我們提供一個明確的點值，但看似精確實則不準確，如果我們要求準確一點估計，該怎么辦呢？ 如：以《心理統(tǒng)計學》的期末考試為例。,3.2 區(qū)間估計(interval estimation),區(qū)間估計（interval estima

30、tion)是根據(jù)估計量以一定可靠度推斷總體參數(shù)所在的區(qū)間范圍，它是用數(shù)軸上的一段距離表示未知參數(shù)可能落入的范圍。 區(qū)間估計雖然不具體指出總體參數(shù)等于哪一個具體的數(shù)，但指出了未知總體參數(shù)落入某一區(qū)間的概率有多大。,3.2.1 區(qū)間估計中常用的幾個術語,特定可靠性下（概率條件），估計總體參數(shù)所在的區(qū)間范圍。,（1）置信區(qū)間,公式：,（2）顯著性水平(significance level) 是指估計總體參數(shù)落在某一區(qū)

31、間時，可能犯錯誤的概率，用符號?表示。 1- ?為置信度或置信水平（confidence level),（3）置信度（置信水平）,指被估計參數(shù)落在置信區(qū)間內(nèi)的概率。用符號D（Degree of reliability）表示，或1-? 。,別名：置信水平、置信系數(shù)、置信概率、可信系數(shù)…,常用值：D（1-?）=.95 D（1-?）=.99,（4）置信限,被估計總體參數(shù)所在區(qū)間的上、下界限。,,

32、下限,上限,,小 結,置信區(qū)間,置信度,下限,上限,思考題,置信區(qū)間與置信度的關系如何？ 置信區(qū)間過寬時：即使有99%的置信度，其結果估計的價值性也不大；置信區(qū)間過窄時：取一低水平置信度，其結果估計也沒有什么價值。,要求,區(qū)間適度置信度較高,,3.2.2 總體平均數(shù)區(qū)間估計的原理與操作,總體平均數(shù)區(qū)間估計的原理是抽樣分布理論。首先讓我們來回憶一下什么是抽樣分布理論。主要是理解在什么條件下樣本統(tǒng)計量的分布是什么分布（詳見原

33、理1、原理2、原理3和原理4），以及抽樣分布的標準誤如何計算。,（1）正態(tài)分布法——應用原理1和原理2,A、σ2已知，總體正態(tài)，n不論大?。籅、σ2已知，總體非正態(tài)，n≥30；,① 應用條件,② 操作步驟,A、 求均數(shù)標準誤：,B、 求置信區(qū)間：,,C、 結果解釋,2）條件分析① σ2已知 ② 總體正態(tài),1）已知：,根據(jù)往年的經(jīng)驗，某地區(qū)高三學生韋氏成人智力水平的標準差是15，某教師用韋氏成人智力量表測試100名高三學生，M=1

34、15。試估計該校高三學生的平均智商大約是多少？,① 求均數(shù)標準誤,3）分析過程,② 求置信區(qū)間,,③ 結果解釋,,（2）t分布法——應用原理3和原理4,A、σ2未知，總體正態(tài)，n 不論大小；B、σ2未知，總體非正態(tài)，n≥30（漸近正態(tài)法）；,① 應用條件,② 操作步驟,A、 求均數(shù)標準誤：,B、 求置信區(qū)間：,C、 結果解釋,,1）已知：,從某市隨機抽取小學三年級學生60名，測得平均體重為28k，標準差3.5 kg。試問該市小學三年級

35、學生的平均體重大約是多少？,2）條件分析 ① 總體正態(tài) ② σ2未知,,② 查 t 值表,① 求均數(shù)標準誤,3）分析過程,,④ 結果解釋,③ 求置信區(qū)間,,從200個服從正態(tài)分布的語文測驗分數(shù)中隨機抽取三個樣本如下表。試分別以這三個樣本均數(shù)對總體均數(shù)進行估計，置信系數(shù)為0.95和0.99。并分析：,① 置信度與置信區(qū)間的關系。 ② n與估計誤差、置信區(qū)間的關系。,同步練習,平均數(shù)區(qū)間估計小結,,習 題,從某

36、幼兒園隨機抽取40名兒童，測得平均身高為90.2公分，標準差為4.8公分；求該幼兒園全體兒童平均身高的0.95置信區(qū)間的估計值，并對結果作解釋。,,解：t 分布法（或近似正態(tài)法）,10名學生參加光反應的實驗，其平均反應時為175.5ms，Sn-1為5.82ms。試估計學生光反應時可信區(qū)間（設總體正態(tài)）。,,解：t 分布法,,某教科所進行初中數(shù)學教學實驗，實驗對象是從全市初一新生中抽取的一個n=50的隨機樣本，初中畢業(yè)時該班參加全省畢業(yè)會

37、考，M=84.3，S=10.78。如果全市都進行這種教學實驗，并且實驗后全市畢業(yè)生的會考成績服從正態(tài)分布，那么，全市初中畢業(yè)生會考成績的平均分至少不會低于多少（置信度為0.95）？試將所得結果與全市初中畢業(yè)生會考成績的平均分71.9分進行比較。,,解：近似正態(tài)法（或 t 分布法）,,結果解釋：,全市初三學生的成績有95%的可能落在81.2～87.4的分數(shù)之間。 我們有95%的根據(jù)說，若全市都進行這種實驗，則全市初中畢業(yè)生會考成績的平均