截尾缺失數(shù)據(jù)下雙參數(shù)指數(shù)分布的參數(shù)估計.pdf

1、估計是統(tǒng)計學的兩大任務之一，而對于總體分布的參數(shù)進行估計已有大量的研究。在用樣本數(shù)據(jù)對參數(shù)進行估計時，往往由于計算公式很復雜而無法得到我們想要的結(jié)果，這時攻克計算難題顯得尤為重要。由Dempster等人于1976年提出的EM算法是一種迭代計算方法。在保證計算結(jié)果收斂性的前提下，它在處理一些復雜計算上具有良好的效果。目前主要應用于缺失數(shù)據(jù)、分組數(shù)據(jù)、截尾數(shù)據(jù)和截斷數(shù)據(jù)等情形下總體分布的參數(shù)估計以及一些數(shù)學模型的參數(shù)估計。 本文研究

2、的是雙參數(shù)指數(shù)分布的參數(shù)估計。在處理數(shù)據(jù)時，將缺失數(shù)據(jù)、分組數(shù)據(jù)、截尾數(shù)據(jù)和截斷數(shù)據(jù)等幾種情形進行了很好的融合，即在觀測截尾數(shù)據(jù)的同時考慮到有缺失數(shù)據(jù)的情況，同時又將缺失數(shù)據(jù)進行分組得到分組數(shù)據(jù)，然后又研究了截斷數(shù)據(jù)的情形。 在估計雙參數(shù)指數(shù)分布位置參數(shù)時，一律用觀測樣本的最小值作為它的極大似然估計，而估計雙參數(shù)指數(shù)分布尺度參數(shù)時，方法比較多樣，主要有以下兩種： （1）填充算法：用已觀測到的數(shù)據(jù)的和的均值對缺失數(shù)據(jù)進行了

3、填充，討論了截尾缺失數(shù)據(jù)下雙參數(shù)指數(shù)分布尺度參數(shù)的極大似然估計，且討論了該估計的無偏性和大樣本性質(zhì)。 （2）EM算法：一般情況下，分組數(shù)據(jù)的分組依據(jù)即每組的起始時刻和終了時刻都是預先給定的，而本文將已觀測到的數(shù)據(jù)作為數(shù)據(jù)分組的起始時刻和終了時刻，然后利用EM算法給出了尺度參數(shù)的估計。 文中主要結(jié)論通過以下定理的形式給出： 定理1：在假定第一個觀測值不丟失的情況下，μ=X（1）= min（X1，X2，…，Xn）為雙

4、參數(shù)指數(shù)分布位置參數(shù)μ的極大似然估計；（）為雙參數(shù)指數(shù)分布尺度參數(shù)β的無偏估計且其方差為（）。其中Zj的定義為公式（5），CknPk的定義為公式（4）。 定理2：（）其中N（0，β2/p）表示均值為零，方差為β2/p的正念分布，（）表示依分布收斂。定理3：在截尾缺失數(shù)據(jù)情形下，不考慮截尾時刻與無窮大時刻組成的區(qū)間，雙參數(shù)指數(shù)分布的尺度參數(shù)的EM算法的計算公式為：其中μ取它的極大似然估計X（1）=min（X1，X2，…，Xn）。

5、 定理4：在截尾缺失數(shù)據(jù)情形下，考慮截尾時刻與無窮大時刻組成的區(qū)間，雙參數(shù)指數(shù)分布的尺度參數(shù)的EM算法的計算公式為：其中μ取它的極大似然估計X（1）=min（X1，X2，…，Xn）。 定理5：在數(shù)據(jù)截斷即至少有一個區(qū)間觀測數(shù)據(jù)個數(shù)未知情形下，考慮截尾時刻與無窮大時刻組成的區(qū)間的觀測個數(shù)未知且個數(shù)服從負二項分布，雙參數(shù)指數(shù)分布的尺度參數(shù)的EM算法的計算公式為： 其中P的定義為公式（17），μ取它的極大似然估計X（1）