高等數(shù)學(xué)考研義

1、92第六章多元函數(shù)微分學(xué)6.1多元函數(shù)的概念、極限與連續(xù)性(甲)內(nèi)容要點(diǎn)一、多元函數(shù)的概念1二元函數(shù)的定義及其幾何意義設(shè)D是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，如果對(duì)每個(gè)點(diǎn)P(xy)∈D，按照某一對(duì)應(yīng)規(guī)則f，變量z都有一個(gè)值與之對(duì)應(yīng)，則稱z是變量x，y的二元函數(shù)，記以z=f（x，y），D稱為定義域。二元函數(shù)z=f（x，y）的圖形為空間一塊曲面，它在xy平面上的投影域就是定義域D。例如二元函數(shù)的圖形為以原點(diǎn)為球心，半1:12222?????yxDyxz徑為

2、1的上半球面，其定義域D就是xy平面上以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的閉圓。2三元函數(shù)與n元函數(shù)空間一個(gè)點(diǎn)集，稱為三元函數(shù)???)()(zyxzyxfu。nxxxfun元函數(shù)稱為)(21??它們的幾何意義不再討論，在偏導(dǎo)數(shù)和全微分中會(huì)用到三元函數(shù)。條件極值中，可能會(huì)遇到超過三個(gè)自變量的多元函數(shù)。二、二元函數(shù)的極限設(shè)的鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)任意只要)()(00yxyxf在點(diǎn)00????存在。????????Ayxfyyxx)()()(2020就有則

3、記以AyxfAyxfyxyxyyxx?????)(lim)(lim)()(0000或稱當(dāng)?shù)臉O限存在，極限值為A。否則，稱為極限不存)()()(00yx。fyxyx時(shí)趨于在。值得注意：是在平面范圍內(nèi)，可以按任何方式沿任意曲線趨)()(00yxyx趨于這里94函數(shù)定義域D在圓的內(nèi)部（包括邊界）和拋物線的左2222??yxxy212??側(cè)（不包括拋物線上的點(diǎn)）二、有關(guān)二元復(fù)合函數(shù)例1設(shè))()(22yxfyyxyxyxf求????解：設(shè)解出vy

4、xuyx????)(21)(21vuyvux????代入所給函數(shù)化簡(jiǎn)22)(41)()(81)(vuvuvuvuf?????故22)(41)()(81)(yxyxyxyxf?????例2設(shè))(53)(22yxfyxyxxyyxf求?????解：5)2(532222????????xyyxyxyxyx?5)(2????xyyx5)(2????yxyxf例3設(shè)zfx。zyxfyz和求函數(shù)時(shí)當(dāng)1)1(?????解：由條件可知21)1(1)(1