小波分析及應(yīng)用(附常用小波變換濾波器系數(shù))

1、第八章小波分析理論及應(yīng)用16第八章第八章小波分析及應(yīng)用小波分析及應(yīng)用8.1引言引言把函數(shù)分解成一系列簡(jiǎn)單基函數(shù)的表示，無(wú)論是在理論上，還是實(shí)際應(yīng)用中都有重要意義。1822年法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉(J.Fourier17681830)發(fā)表的研究熱傳導(dǎo)理論的“熱的力學(xué)分析”，提出并證明了將周期函數(shù)展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)的原理，奠定了傅里葉級(jí)數(shù)理論的基礎(chǔ)[1]。傅里葉級(jí)數(shù)理論研究的是把函數(shù)在三角函數(shù)系下的展開(kāi)，使得對(duì)信號(hào)和系統(tǒng)的研究歸結(jié)為對(duì)簡(jiǎn)單的三角函數(shù)的

2、研究。傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換共同組成了平常所說(shuō)的傅里葉分析[2]。傅里葉級(jí)數(shù)用于分析周期性的函數(shù)或分布，理論分析時(shí)經(jīng)常假定周期是，定義如式(8.11)、(8.12)?2，(8.11)?????202Lxf??????????kikxkecxf其中(8.12)??dxexfcikxk?????2021然而，被分析函數(shù)的性質(zhì)并不能完整地由傅里葉系數(shù)來(lái)刻劃，這里有一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明[3]：從任一個(gè)平方可和的函數(shù)出發(fā)，為了得到一個(gè)連續(xù)函數(shù)，只需或者

3、增)(xf)(xg大f(x)的傅里葉系數(shù)的模，或者保持它不變并適當(dāng)?shù)馗淖兿禂?shù)的位相。因此，不可能僅根據(jù)傅里葉系數(shù)大小的階就預(yù)知函數(shù)的性質(zhì)（如大小、正則性）。傅里葉變換的定義如式(8.13)、(8.14)(8.13)????dxexfFxj???????(8.14)????????deFxfxj??????21通過(guò)引入廣義函數(shù)或分布的概念，可獲得奇異函數(shù)（如沖擊函數(shù)）的傅里葉變換的存在。對(duì)于時(shí)域的常量函數(shù)，在頻域?qū)⒈憩F(xiàn)為沖擊函數(shù)，表明具有

4、很好的頻域局部化性質(zhì)。由式(8.13)可知，為了得到，必須有關(guān)于f(x)的過(guò)去和未來(lái)的所有知識(shí)，???F而且f(x)在時(shí)域局部值的變化會(huì)擴(kuò)散到整個(gè)頻域，也就是的任意有限區(qū)域的信息???F都不足以確定任意小區(qū)域的f(x)。在時(shí)域，哈爾(Haar)基是一組具有最好的時(shí)域分辨能力的正交基，它在時(shí)域上是完全局部化的，但在頻域的局部化卻很不好，這是由于哈爾系的兩個(gè)缺點(diǎn)：缺乏正則性與缺乏振動(dòng)性。研究者們希望尋找關(guān)于空間變量（或時(shí)間變量）與頻域變量都

5、同時(shí)好的希爾伯特(Hilbert)基，R.Balian認(rèn)為：“在通訊理論中，人們對(duì)于在完全給定的時(shí)間內(nèi)，把一個(gè)振動(dòng)信號(hào)表示成由其中每一個(gè)都擁有足夠確定的位置與有一個(gè)頻率的小波的疊加這件事感興趣。事實(shí)上，有用的信息常常同時(shí)被發(fā)射信號(hào)的頻率與信號(hào)的時(shí)間結(jié)構(gòu)（如音樂(lè)）所傳遞。當(dāng)把一個(gè)信號(hào)表達(dá)成時(shí)間的函數(shù)時(shí)，其中的頻譜表現(xiàn)并不好；相反地，信號(hào)的傅里分析卻顯示不了信號(hào)每一分量第八章小波分析理論及應(yīng)用18波被認(rèn)為是第二代小波[5]。小波理論及其應(yīng)用

6、仍然處在發(fā)展中，其未來(lái)將在非線性多尺度方法、非規(guī)則集上的小波構(gòu)造以及非平穩(wěn)、非均勻、時(shí)變信號(hào)處理等方面等到更深入的研究。8.2小波變換及其基本性質(zhì)小波變換及其基本性質(zhì)8.2.1連續(xù)小波變換連續(xù)小波變換，的連續(xù)小波變換（有時(shí)也稱為積分小波變換）定義為：????RLtf2????tf(8.21)????021??????????????adtabttfabaWTf?或用內(nèi)積形式：(8.22)??baffbaWT??式中???????????

7、abtatba??21要使逆變換存在，要滿足允許性條件：??t?(8.23)??????????????dC2?式中是的傅里葉變換。???????t?這時(shí)，逆變換為(8.24)??????21adadbbaWTtCtffba????????????這個(gè)常數(shù)限制了能作為“基小波（或母小波）”的屬于的函數(shù)的類，尤其是?C??RL2?若還要求是一個(gè)窗函數(shù)，那么還必須屬于，即????RL1????????dtt?故是R中的一個(gè)連續(xù)函數(shù)。由式(8